四川省宜宾市高中2025届高三数学第一次诊断测试试题文含解析

PAGE18-四川省宜宾市中学2025届高三数学第一次诊断测试试题文（含解析）1.已知集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，则∁UA＝（）A.{3，9} B.{7，9} C.{5，7，9} D.{3，7，9}【答案】D【解析】【分析】利用补集的运算,干脆求出A在U中的补集即可.【详解】解:因为集合U＝{1,3,4,5,7,9},A＝{1,4,5},所以.故选:D.【点睛】本题考查了补集的运算,属基础题.2.已知i是虚数单位，复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在其次象限，则实数m的取值范围是（）A.（﹣∞，﹣1） B.（﹣1，2）C（2，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【答案】A【解析】【分析】依据复数对应的点在其次象限,可得,然后解不等式组得到m的取值范围.【详解】解:因为复数m+1+(2﹣m)i在复平面内对应的点在其次象限,所以,解得m＜﹣1.所以实数m的取值范围为(﹣∞,﹣1).故选:A.【点睛】本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法,属基础题.3.已知向量，且，则实数m＝（）A.3 B. C. D.﹣3【答案】D【解析】【分析】依据平面对量的坐标运算和数量积运算法则,列出关于m的方程,然后解方程求出的值.【详解】解:由,得,因为,所以,所以,所以.故选:.【点睛】本题考查了平面对量的坐标运算和数量积,属基础题.4.某车间生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比分别为5：k：3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的产品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为（）A.12 B.24 C.36 D.60【答案】C【解析】【分析】依据题意可得,解方程求出值,再依据种型号的产品所占的比例,求出种型号的产品应抽取的数量.【详解】解:由题意,得,所以k＝2,所以C种型号的产品抽取的件数为12036.故选:C.【点睛】本题考查了分层抽样的定义和特点,属基础题.5.要得到函数的图象，只须要将函数y＝cosx的图象（）A.向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变．B.向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变．C.向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变．D.向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变．【答案】B【解析】【分析】干脆利用三角函数图象的平移和伸缩变换,得到由y＝cosx变换为的方式.【详解】解:要得到函数的图象,只须要将函数y＝cosx的图象向左平移个单位,得到y＝cos(x),再把横坐标缩短为原来的,纵坐标不变即可.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和伸缩变换,属基础题.6.设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.m∥n，m∥α⇒n∥α B.m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥βC.m∥α，m∥β⇒α∥β D.α⊥β，m∥α⇒m⊥β【答案】B【解析】【分析】在中,与平行或;在中,由线面垂直的性质定理得;在中,与相交或平行;在中,,与相交、平行或.【详解】解:因为m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,所以在A中,m∥n,m∥α⇒n⊂α或n∥α,故A错误;在B中,m⊥n,m⊥α,n⊥β,由线面垂直的性质定理得α⊥β,故B正确;在C中,m∥α,m∥β⇒α与β相交或平行,故C错误;在D中,m∥α,α⊥β⇒m与β相交、平行或m⊂β,故D错误.故选:B.【点睛】本题考查了命题真假的推断和空间中线线、线面、面面间的位置关系,属基础题.7.已知，则（）A.b<c<a B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c【答案】A【解析】【分析】将都化为的形式，依据幂函数的单调性推断出三者的大小关系.【详解】依题意，而为上的增函数，故.故选：A.【点睛】本小题主要考查指数运算，考查幂函数的单调性，考查指数幂比较大小，属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；其次次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满意推断条件，终止循环，输出，故选B.9.函数f（x）的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出f(x)的导函数,利用导数探讨函数的单调性,然后结合图象得到答案.【详解】解:由f(x),得f′(x),令g(x)＝1,则g′(x)0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(e)0,g(e2)0,所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0,所以当x∈(0,x0)时,g(x)＞0,f′(x)＞0;当x∈(x0,+∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.故选:C.【点睛】本题考查了利用导数探讨函数的单调性和零点存在定理,属中档题.10.已知，且3sin2α﹣5cos2α+sin2α＝0，则sin2α+cos2α＝（）A.1 B. C.或1 D.﹣1【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切,求出,再求出的值,进一步求出sin2α+cos2α.【详解】解:由3sin2α﹣5cos2α+sin2α＝0,得,所以,即3tan2α+2tanα﹣5＝0,解得tanα＝1或tan.因为,所以tanα＝1,所以,所以sin2α+cos2α＝sincos.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值和同角三角函数基本关系式,考查了转化思想和计算实力,属基础题.11.如图，在Rt△ABC中，，，AC＝4，D在AC上且AD：DC＝3：1，当∠AED最大时，△AED的面积为（）A. B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】依据条件得到,然后设∠AED＝θ,∠AEC＝α,∠DEC＝β,用两角差的正切公式求出tanθ,再用基本不等式求出tanθ最大值,从而得到当∠AED最大时,△AED的面积.【详解】解:因为AD:DC＝3:1,所以DCAC＝1,所以S△AED＝S△ACE﹣S△DECAC•CEDC•ECAC•CE•AC•CE＝AC•CE(AC•EC.因为AC＝4,CE≤CB,而在Rt△ABC中,,AC＝4,所以CB＝4,∠AED＝∠AEC﹣∠DEC.设∠AED＝θ,∠AEC＝α,∠DEC＝β,则tanθ＝tan(α﹣β)当且仅当EC,即EC＝2时,取等号,所以tanθ的最大值为,此时∠AED最大,所以当∠AED最大时,△AED的面积=•4•2＝3.故选:C.【点睛】本题考查了三角形的面积公式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和计算实力,属中档题.12.已知函数f（x）＝4alnx﹣3x，且不等式f（x+1）≥4ax﹣3ex，在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围（）A. B. C.（﹣∞，0） D.（﹣∞，0]【答案】B【解析】【分析】不等式f(x+1)≥4ax﹣3ex,在(0,+∞)上恒成立等价于在上恒成立,然后利用函数f(x)单调性进一步求出的范围.【详解】解:f(ex)＝4ax﹣3ex,所以f(x+1)≥4ax﹣3ex在(0,+∞)上恒成立,等价于f(x+1)≥f(ex)在(0,+∞)上恒成立,因为x∈(0,+∞)时,1＜x+1＜ex,所以f(x)在(1,+∞)上递减,所以当x＞1时,f′(x)≤0恒成立,即x＞1时,恒成立,所以ax,所以a,所以a的取值范围为.故选:B.【点睛】本题考查了函数恒成立问题和利用函数的单调性求参数范围,考查了转化思想和计算实力,属中档题.13.书架上有6本不同的数学书，4本不同的英语书，从中随意取出1本，取出的书恰好是数学书的概率是_____．【答案】【解析】【分析】先算出“随意取出1本书”的基本领件总数,再算出事务“取出的书恰好是数学书”包含的基本领件个数,然后利用概率公式求出概率.【详解】解:从6本不同的数学书,4本不同的英语书中随意取出1本的基本领件总数为10,取出的书恰好是数学书包含的基本领件个数为6,则取出的书恰好是数学书的概率P=,故答案为:.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算,关键属熟识古典概型的概率计算步骤,属基础题.14.已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+2在x＝2处取得极值，则实数a＝_____．【答案】6【解析】【分析】先求出,再依据是的一个极值点,得到(2),然后求出的值.【详解】解:由f(x)＝2x3﹣ax2+2,得f'(x)＝6x2﹣2ax.因为在x＝2处取得极值,所以f'(2)＝24﹣4a＝0,所以a＝6.经检验a=6时x=2是f(x)的一个极值点,所以a=6.故答案为:6.【点睛】本题考查了函数极值点的定义,考查了方程思想,属基础题.15.若△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，，则a＝_____．【答案】【解析】【分析】依据,b=4得到①,再依据得到②,联立①②解出A和c,然后在△ABC中利用余弦定理求出.【详解】解:因为,,所以,所以ccosA＝﹣2①.因为,所以csinA＝2②.联立①②,得tanA＝﹣1,所以,所以,所以,在△ABC中,由余弦定理,得,所以.故答案:.【点睛】本题考查了平面对量的数量积、三角形的面积公式和余弦定理,考查了方程思想和计算实力,属基础题.16.同学们有如下解题阅历：在某些数列求和中，可把其中一项分裂为两项之差，使某些项可以抵消，从而实现化简求和．如：已知数列{an}的通项，则将其通项化为，故数列{an}的前n项的和．斐波那契数列是数学史上一个闻名数列，在斐波那契数列{an}中，a1＝1，a2＝1，，若a2024＝a，那么S2024＝_____．【答案】a﹣1【解析】【分析】依据题意可得,然后类比数列的裂项相消法求出S2024.【详解】解:由题意,得an＝an+2﹣an+1,则S2024＝a1+a2+a3+…+a2024＝a3﹣a2+a4﹣a3+a5﹣a4+…+a2024﹣a2010＝a2024﹣a2＝a﹣1.故答案为:a﹣1.【点睛】本题考查了数列的裂项相消法求和,考查了类比推理实力,属基础题.（一）必考题：共60分.17.已知数列{an}的前n项和为Sn，满意．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)依据数列的递推式可知,当时,,当时,,进一步求出通项公式;(2)先求出的通项公式,再利用错位相减法求出{bn}的前n项和Tn.【详解】解:(1)因为,所以当时,,当时,,上式对也成立,所以.(2)由(1)知,所以,,两式相减,得,所以.【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式和错位相减法求数列的前n项和,考查了分类探讨思想和计算实力,属中档题.数列前n项和的求法有公式法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法和分组求和法.18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满意．（1）若，a+c＝10，求c；（2）若a＝4，，求△ABC的面积S．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理,将边化为角,然后求出,进一步求出;(2)利用余弦定理,得到关于的一元二次方程,并求出,然后代入面积公式中求出S.【详解】解:(1)因为,所以,所以,因为,所以,,由正弦定理,知,所以,又,所以.(2)由(1)知,,所以由余弦定理,得,所以,即,所以,所以△ABC的面积.【点睛】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用和三角形的面积公式,考查了转化思想和方程思想,属中档题.19.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参与远足拉练活动，再从6人中选取2人担当领队，求这两人均来自区间（150，170]的概率．【答案】（1）125；（2）112；（3）【解析】【分析】(1)由频率和为1,列出关于a的方程,然后求出的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值;(2)依据一天行走步数不大于13000频率样本容量,求出频数;(3)依据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出基本领件数,计算所求的概率值.【详解】解:(1)由题意,得,所以.设中位数为,则,所以,所以中位数为125.(2)由,所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人.(3)在区间,中有人,在区间,中有人,在区间,中有人,按分层抽样抽取6人,则从,中抽取4人,,中抽取1人,,中抽取1人;设从,中抽取职工为、、、,从,中抽取职工为,从,中抽取职工为,则从6人中抽取2人的状况有、、、、、、、、、、、、、、共15种状况,它们是等可能的,其中满意两人均来自区间,的有、、、、、共有6种状况,所以两人均来自区间(150,170]的概率;【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属基础题.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE翻折得到△ASE，且平面ASE⊥平面ABCE．（1）求三棱锥B﹣CES的体积；（2）设线段SC上一点G满意，在BE上是否存在点H使GH∥平面SAE？若存在，求出EH的长度；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析【解析】【分析】(1)过作于,从而得到平面,进一步得到,由此求出三棱锥的体积.(2)连接,交于,连接,推导出,由此能求出结果.【详解】解:(1)过作于,因为平面平面交线为,所以平面.在中由,得,因为,所以.所以三棱锥的体积为.(2)连接,交于,连接,因为,,所以,所以,又因为,所以,所以,所以.又因为平面,平面,所以平面,此时.【点睛】本题考查了折叠问题、三棱锥体积的求法和线面平行的判定定理,考查了转化思想和运算求解实力,属中档题.21.已知函数f（x）＝lnx．（1）若a＝4，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】(1)将a=4代入f(x)求出f(x)的导函数,然后依据导函数的符号,得到函数的单调区间;(2)依据条件将问题转化为在,上恒成立问题,然后依据函数的单调性求出的范围;(3)依据条件将问题转化为成立问题,令,即成立,再利用函数的单调性证明即可.【详解】解:(1)的定义域是,,所以时,,由,解得或,由,解得,故在和,上单调递增,在,上单调递减.(2)由(1)得,若函数在区间,递增,则有在,上恒成立,即在,上恒成立成立,所以只需,因为函数在时取得最小值9,所以,所以a的取值范围为.(3)当时,不等式明显成立,当时,因为,,所以要原不等式成立,只需成马上可,令,则,由(2)可知函数在,递增,所以,所以成立,所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).【点睛】本题考查了利用导数探讨函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化思想和分类探讨思想,属难题.（二）选考题：共10分．22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切