浙江省绍兴市柯桥区2025届高三数学上学期期末考试试题含解析

PAGE24-浙江省绍兴市柯桥区2025届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合的补集，然后求解交集即可.【详解】解：由已知，所以，故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，基本学问的考查.2.若实数，满意约束条件，则的最大值是（）A.-1 B.0 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数为直线方程的斜截式，

由图可知，当直线过点A时，直线在轴上的截距最小，最大，为.

故选：D.【点睛】本题考查了简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.3.双曲线的焦点到其渐近线的距离是（）A.1 B.C.2 D.【答案】C【解析】分析】求出双曲线的，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，可得所求值.【详解】解：双曲线的，焦点为，

渐近线方程为，即，

即有焦点到渐近线的距离为，

故选：C.【点睛】本题考查双曲线的焦点和渐近线，考查运算实力，属于基础题.4.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）（单位：）A.2 B.6C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】由三视图可得原几何体为四棱锥，利用棱锥的体积公式求结果.【详解】解：由三视图可得原几何体为四棱锥，如图：则体积，故选：A.【点睛】本题主要考查三视图和几何体体积计算，考查学生空间想象实力，是基础题.5.已知则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，其表示的是如图阴影圆弧部分，其表示的是如图阴影部分，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案选考点：命题的充分必要性.6.在同一坐标系中，函数与的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据指数函数，幂函数的性质逐一推断，可得结果.【详解】解：对A，由图知中的，中的，符合；对B，由图知中的，的图没有过，不符；对C，由图知中的，中的，不符；对D，由图知中的，此时中的，不符；故选：A.【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质，是基础题.7.已知多项式，则（）A.-15 B.-20 C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】令，原多项式转化为，利用通项公式求绽开式第四项的系数即可.【详解】解：令，原多项式转化为，则，故选：C.【点睛】本题考查二项绽开式的确定项的系数，利用换元法可简化原多项式，是基础题.8.斜三棱柱中，底面是正三角形，侧面是矩形，且，是的中点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】过点作面交面于点，连结，过点作交于点，连结，则，，表示出这些角然后比较大小即可.【详解】解：如图：过点作面交面于点，连结，过点作交于点，连结，则，，因为直线与平面所成的角为直线与平面内全部直线所成的角中最小的，故，又因为，故，故选：B.【点睛】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面所成角的大小及二面角的大小，考查空间想象实力及分析问题的实力，是一道难度较大的题目.9.已知函数，则满意“对于随意给定的不等于1的实数，都有唯一的实数，使得”的实数的值（）A.不存在 B.有且只有一个C.有且只有两个 D.多数个【答案】A【解析】【分析】求出，然后将题目转化为直线一旦和的图像相交，则必有两个交点且交点横坐标不为1，画出的图像，视察即可得结果.【详解】解：由已知得，“对于随意给定的不等于1的实数，都有唯一的实数，使得”即直线一旦和的图像相交，则必有两个交点且交点横坐标不为1，现在探讨的图像，若，明显不行能；若，当时，完整的抛物线的图像其对称轴，与轴交点坐标，开口向上；当，单调递增，与轴交点坐标，图像如图：由图可知，不行能存在这样的直线一旦和的图像相交，必有两个交点，故选：A.【点睛】本题考查等式恒成立问题，关键是转化为图像的交点个数问题，是一道难度较大的题目10.已知数列满意，，若对于随意，都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用解除法，将，代入验证解除，即可得结果.【详解】解：用解除法：当时，，明显有，下面用数学归纳法证明，当时，，成立；假设当时，成立，则当时，，所以当时，成立，综上：对随意，都有；另外，所以，所以当时，恒成立，解除CD；当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故解除A，故选：B.【点睛】本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用解除法可便利得出结果，是一道难度较大的题目.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知复数，，则复数______.【答案】【解析】【分析】设，依据条件利用复数相等列方程组求解即可.【详解】解：设，则，，解得，，故答案为：.【点睛】本题考查复数代数形式的求解，关键是理解复数相等，是基础题.12.设直线与圆：相交于，两点，若，则______，当改变时，弦中点轨迹的长度是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】第一空：利用垂径定理列方程可求出的值；其次空：设，弦中点，联立，利用韦达定理通过消去参数可得弦中点轨迹，依据轨迹可得轨迹的长度.【详解】解：由垂径定理可得，解得；设，弦中点，则，联立，消去得，，解得，，，即，消去得，又由得，故弦中点轨迹长度为半径为1的圆的周长的，如图：所以弦中点轨迹长度为，故答案为：；.【点睛】本题考查消参法求轨迹方程，要特殊留意参数是有范围，使得轨迹只是图形的一部分，本题难度较大，主要是易错.13.设随机变量的分布列是-101若，则______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用分布列以及期望列出方程，然后求解即可.【详解】解：由题意可得：，可得，解得,

所以,

故答案为：；.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查计算实力.14.在中，，，点在线段上，满意，且，则______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先求出，然后由三角形内角和外角的关系得，利用两个差的余弦公式代入角的三角函数值计算即可；在中，利用正弦定理即可求得【详解】解：在中，，，，在中，，，故答案为：；【点睛】本题考查求解三角形的边与角，关键是对公式要熟识，并能敏捷应用，考查了计算实力，难度不大.15.已知双曲线：的右焦点关于直线的对称点在直线上，则该双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】先求出点到渐近线的距离，在利用，得，代入数据整理计算即可得双曲线的离心率.详解】如图：，由已知点到渐近线的距离，由对称性可得，由题得，所以，即，整理得，故，故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，关键是要依据题目条件找到之间的等量关系，是中档题.16.已知正三角形的边长为4，是平面内一点，且满意，则的最大值是______，最小值是______.【答案】(1).不存在(2).【解析】【分析】依据题意可得点在正三角形的外接圆的优弧上，以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算计算，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：设正三角形的外接圆为，则的直径，，如图以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，，则点在的优弧上，设，又，，，，则，则的最大值不存在，最小值是.故答案为：最大值不存在，最小值是.【点睛】本题考查向量数量积的最值问题，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算去解决问题会便利很多，本题难度较大.17.设实数、满意，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】将的最大值问题转化的角最小的问题，数形结合，构造以的大小为边长的三角形，视察图像，利用对勾函数的性质，可得最大值.【详解】解：设，则的几何意义为以为长度构成的三角形中，长度为的边所对角的余弦值，要最大，则须要最大，即须要最小，分别以为圆心，以为半径作圆，会得到两个圆环，圆环的公共区域满意，又，当点在弧，弧，线段围成的封闭区域（包括边界）内时，，其中，要最小，则点必在弧上运动，此时，依据对勾函数的性质，当时，取最大值，最大值为，的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查最值的求法，留意运用不等式的性质和函数的单调性，考查运算实力，是一道难度较大的题目.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.18.已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）（2）最小正周期为，递增区间是.【解析】【分析】（1）干脆将代入求值即可；（2）将变形为，然后即可求最小正周期和单调递增区间.【详解】解：（1）.（2），所以的最小正周期为，由得，，所以函数的递增区间是.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，是基础题.19.如图，三棱锥中，平面平面，，，分别是，中点，且.（1）证明：；（2）求与平面所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先由已知得到平面，从而，再加上，可得线面垂直，进而可得线线垂直；（2）取中点，连接与相交于，可得即为与平面所成角，利用余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为平面平面，且，所以平面，所以，又由于，所以，所以平面，所以.（2）取中点，连接与相交于，由于平面平面，且，所以平面，所以，设，则，又，所以平面，所以平面平面，所以在平面上的射影在直线上，则即为与平面所成角.因为，则，所以，，由余弦定理可得：.所以与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，以及线面角的求解，关键是要找到线面角的平面角，考查学生空间想象实力和作图实力，是中档题.20.设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满意，.（1）求数列、的通项公式；（2）记，，证明：.【答案】（1），.（2）见解析【解析】【分析】（1）依据等差数列的通项公式和前项和公式列方程组求出和，进而可得的通项公式；由，得，可得，利用，可得的通项公式；（2）利用数学归纳法,①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，证明当时，不等式也成立.【详解】解：（1）设首项为，公差为，则，解得，，故，由，得，即，，所以，即，所以，故.（2）由（1）知，用数学归纳法：，①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，即当时，.即当时，不等式也成立.由①，②可知，不等式对随意都成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及法求数列的通项公式，考查数列归纳法，是中档题.21.已知抛物线：，直线截抛物线所得弦长为.（1）求的值；（2）若直角三角形的三个顶点在抛物线上，且直角顶点的横坐标为1，过点、分别作抛物线的切线，两切线相交于点.①若直线经过点，求点的纵坐标；②求的最大值及此时点的坐标.【答案】（1）（2）①-3.②最大值见解析，【解析】【分析】（1）联立，求出交点，利用两点距离公式列方程求解即可；（2）①设点，，，切线：，：，化归为二次方程的根的问题，可得直线的方程，代入点，即可得点的纵坐标；②由题设知，即，利用面积公式表示出，利用函数的性质求其最值.【详解】解：（1），解得两交点为，.所以，.（2）①设点，，.切线：，：，由题设知，，即，是方程的两根，于是，.故直线：.又因为直线经过点，所以，即点的纵坐标为-3；②由题设知，即.则，若，令，，若，令，，当且仅当，时，等号成立，此时点的坐标为.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线方程的综合问题，设而不求的思想，韦达定理的应用，函数的单调性等学问，考查计算实力转化思想的应用，是中档题.22.设函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）当时，若对随意，均有，求的取值范围.【答案】（1）递减区间是，递增区间是.（2）【解析】【