广西南宁三校联考2024-2025学年高二数学上学期段考期中试题文含解析

PAGE18-广西南宁三校联考2024-2025学年高二数学上学期段考（期中）试题文（含解析）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知向量，，若，则实数的值为（）.A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量共线的坐标公式计算即可．【详解】故选：D【点睛】本题考查平面对量的坐标表示，考查向量共线的应用，属于基础题．2.化简的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据两角和余弦公式化简求值即可.【详解】，故选C．【点睛】本题考查了三角恒等变换，逆用两角和余弦公式化简求值，属于简洁题.3.已知中，,那么为（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】试题分析：在中，,，，那么为锐角，由正弦定理可得解得.考点：正弦定理的应用.4.已知数列满意，则（）A.18 B.20 C.32 D.64【答案】A【解析】【分析】由已知可得数列是等差数列，然后由等差数列的性质易得结论．【详解】因为，所以，所以数列是等差数列，所以．故选：A．【点睛】本题考查等差数列的推断，考查等差数列的性质．推断等差数列的方法：（1）定义法：证明，为常数；（2）等差中项法：；（3）通项公式法：；（4）前项和法：．证明数列为等差数列通常用定义法．5.若，则()A. B. C. D.【答案】D【解析】.分子分母同时除以，即得：.故选D6.数列满意，，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由递推关系，可求出的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出即可.【详解】由，可得，由，可得，，，，由，可知数列是周期数列，周期为4，所以.故选：B.7.的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意，则的形态是（）A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，再结合已知可求得，从而可得，可推断的形态.【详解】解：中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，∴或，即或，∴为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【点睛】本题考查推断三角形的形态，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形态．8.的三边为，若为锐角三角形，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形的内角和定理，得到，再由，求得，依据正切函数和正弦函数的单调性及诱导公式，可判定A、B不正确；再由余弦定理，可判定D不正确.【详解】由为锐角三角形，可得，又由，可得，即，所以C正确；由，可得，由正切函数在上为单调递增函数，可得，所以，所以A不正确；由正弦函数在上为单调递增函数，可得，即，所以B不正确；由余弦定理可得，则，所以D不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了锐角三角形的性质，以及正弦函数、正切函数的单调性的应用，以及余弦定理的应用，着重考查了推理与论证实力，属于基础题.9.已知，点为斜边的中点，,,,则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可分别以直线AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，依据条件便可求出点A，B，C，D的坐标，进而求出点E的坐标，从而得出向量的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出的值．【详解】如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：因为，所以∴=，∴故选C．【点睛】考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算．10.已知向量，满意，，且，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由向量垂直求得，再依据数量积的定义求得在方向上的投影．【详解】因为，，，所以在方向上的投影为．故选：B．11.已知数列满意：，．则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得，构造为等比数列，求解出通项，进而求出.【详解】因为，所以两边取倒数得，则，所以数列为等比数列，则，所以，故.故选：C【点睛】方法点睛：对于形如型，通常可构造等比数列（其中）来进行求解.12.在中，角的对边分别为，已知，且，点满意，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得是的重心，设直线交于，则是中点，利用得，两边平方后可求得，再由可得三角形面积．【详解】∵，∴是的重心，设直线交于，则是中点，设，∴，则，∴，化简得，解得（舍去），由，是三角形内角，则，∴．故选：D．【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积运算，考查三角形面积公式．解题关键是由得是的重心，然后可由向量的线性运算得出关系式（是边中点），平方后变成向量的数量积运算，从而求得中线长，由面积公式可得面积．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知在等比数列中，，则=_______．【答案】【解析】【分析】由等比数列的性质干脆计算．【详解】因为是等比数列，所以，又同号，所以．故答案为：6．14.已知向量，满意，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为__________【答案】【解析】【分析】依据已知条件求得，再对向量垂直进行转化，即可列出等式求得参数值.【详解】依据与垂直得到（）·=0，所以故答案为：.【点睛】本题考查数量积的运算，以及向量垂直的转化，属综合基础题.15.若，，，，则________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，，再由，依据两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵，，则，，∴，，因此，故答案为：【点睛】本题考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，熟记公式是解题的关键，考查了基本运算求解实力，属于基础题.16.如图，在同一个平面内，与的夹角为，且，与的夹角为，，，，若，则的取值是_______．【答案】【解析】【分析】由，与的夹角为，可建立如图所示的平面直角坐标系，进而用坐标表示出，，，结合，可求出的值.【详解】由题意，可知，与夹角为，建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，，，所以，，，由，可得，即，所以.故答案为：.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，是直角斜边上一点，．（1）若，求角的大小；（2）若，且求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得可得，从而求得角；（2）由直角三角形求得，再用余弦定理计算．【详解】解：（1）在中，由正弦定理得：，由题意得：，∵，∴，∴；（2），∴在中，∴，在中，由余弦定理得：．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，驾驭正弦定理与余弦定理解三角形的类型是解题关键．正弦定理解三角形类型：（1）已知两角及一角对边；（2）已知两边及一边对角（这种类型可能出现两解，需推断）；余弦定理解三角形类型：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边求内角．在已知两边及一角时都可得用余弦定理解三角形．18.某中学组织了地理学问竞赛，从参与考试的学生中抽出40名学生，将其成果（均为整数）分成六组，，…，，其部分频率分布直方图如图所示．视察图形，回答下列问题．（1）求成果在的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的平均分（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）；（3）从成果在和的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．【答案】（1）频率为0.3，频率分布直方图见解析；（2）71分；（3）．【解析】【分析】（1）由全部频率之和为1可求得成果在的频率，从而可补全频率分布直方图；（2）由每组数据的中值乘以频率相加可得均值；（3）成果在的人数为人，成果在的人数为人，将分数段的4人编号为，，，，将分数段的2人编号为，，用列举法写出任取2人的全部基本领件，同时得出同一分数段内所含基本领件，计数后可得概率．【详解】（1）因为各组的频率之和等于1，所以成果在的频率为．补全频率分布直方图如图所示：（2）利用中值估算学生成果的平均分，则有所以本次考试的平均分为71分．（3）成果在的人数为人，成果在的人数为人从成果在和的学生中选两人，将分数段的4人编号为，，，，将分数段的2人编号为，，从中任选两人，则基本领件构成集合共15个，其中同一分数段内所含基本领件为：，，，，，，共7个，故所求概率为=．【点睛】方法点睛：本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图求均值，考查古典概型．求古典概型方法：列举法，用列举法写出事务空间中的全部基本领件，同时得出所求概率事务中所含有的基本领件，计数后计算概率．假如元素个数较多，事务的个数也可用排列组合学问计算．19.已知数列中，已知：，．（1）设，求证数列是等比数列；（2）记，求．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）已知等式变形为由的定义可得，同时求得，从而证得等比数列；（2）求出等比数列的通项公式，然后利用等差数列的前项和公式教化处出．【详解】（1）∵∴∵∴是首项为，公比为的等比数列．（要指明首项和公比，否则扣1分）（2）∵，．【点睛】本题考查等比数列的证明，证明方法是等比数列的定义．本题证明事实上可以干脆由得，代入已知等式即可递推关系，然后肯定要计算出，只有在时才能确定数列为等比数列，这是易错点．20.如图，四边形是正方形，平面，，且（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证明平面；（2）先证明平面，设点到平面的距离为，利用等体积法得，通过计算即可得.【详解】（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以，又平面，平面，平面，因为，同理可证平面，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）因为平面，∴，平面，又∵，，∴平面，∴又，设点到平面的距离为∵又∵∴;∴即点到平面的距离为【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.21.已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)证明：对随意，都有，使得成等比数列.【答案】（1）（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由和项求通项，主要依据进行求解.因为所以当时又时，所以（2）证明存在性问题，实质是确定要使得成等比数列，只须要，即.而此时，且所以对随意，都有，使得成等比数列.试题解析：（1）因为所以当时又时，所以（2）要使得成等比数列，只须要，即.而此时，且所以对随意，都有，使得成等比数列.考点：由和项求