2-2基本不等式-2022-2023学年高一数学上学期讲与练人教A版2019必修第一册解析版

2.2基本不等式一、基本不等式的概念1、两个不等式重要不等式：,（当且仅当时取号）.常见变形公式：、基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式：；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由公式和引申出的常用结论①（同号）；②（异号）；③或二、基本不等式的证明1、法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2、法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.三、基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.四、利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq\r(p).题型一对基本不等式的理解【例1】若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.【变式1-1】设，，下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，，，由均值不等式，，当且仅当，即时取“”，A错误；对于B，，所以，B错误；对于C，，C错误；对于D，由，，，得，当且仅当时，取“”，D正确.故选：D【变式1-2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为，所以（3）正确；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C【变式1-3】已知且，下列各式中最大的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，，所以，，由均值不等式可知，所以，由上可知：，所以四个式子中最大，故选：D.【变式1-4】（多选）设a＞0，b＞0，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A.，当且仅当时，等号成立，故正确；B.因为，正负不定，故错误；C.，当且仅当，时，等号成立，故正确；D.，故正确；故选：ACD题型二利用基本不等式证明不等式【例2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8.【答案】证明见解析【解析】由于为互不相等的正实数，且，所以，所以.【变式2-1】设，为正实数，求证：．【答案】证明见解析【解析】因为，为正实数，所以，，，当且仅当时取等号，所以，即，当且仅当时取等号；【变式2-2】设a，b为正数，且．证明：（1）：（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1），，当且仅当“”时取“＝”，，当且仅当“”时取“=”，所以，所以．（2）因为，所以所以，因为a，b为正数，且，所以，所以，所以．【变式2-3】设a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以，即，即，当且仅当时，等号成立.（2）因为,所以，当且仅当时，等号成立，即，即，所以，当且仅当时，等号成立.题型三利用基本不等式求最值【例3】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．【答案】【解析】，当且仅当时取等号．【变式3-1】（1）已知，则取得最大值时的值为________．（2）已知，则的最大值为________．【答案】（1）；（2）1【解析】（1），当且仅当，即时，取等号．（2）因为，所以，则,当且仅当，即时，取等号．故的最大值为1.【变式3-2】已知，，，求的最小值；【答案】2【解析】，，当且仅当时，等号成立当时，的最小值为【变式3-3】已知正数a，b满足，求的最小值．【答案】【解析】因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值.【变式3-4】设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________．【答案】【解析】设x=2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，因为所以。题型四基本不等式的恒成立问题【例4】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵当时，不等式恒成立，∴对均成立．由于，当且仅当时取等号，故的最小值等于3，，则实数a的取值范围是．故选：D．【变式4-1】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，若不等式恒成立，恒成立，当且仅当时取等号．，即的最大值为．故选：B．【变式4-2】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由不等式对任意恒成立转化为，其中,即可.，当且仅当，即时，等号成立，即，所以实数的取值范围是.【变式4-3】（多选）若，恒成立，则的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由，可知，，则，，则，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，因为，则.故选：BCD.【变式4-4】若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.题型五利用基本不等式解应用题【例5】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.【答案】每个区域的长和宽分别是m和m时，彩带总长最小，最小值为m【解析】设每个区域的长为，宽为，由题意得，，，则彩带总长==，当且仅当，即且等号成立，所以每个区域的长和宽分别是和时，彩带总长最小，最小值为.【变式5-1】为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）；（2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．【解析】（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，则梯形长的底边，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，，，故海报面积为．（2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，海报宽，海报长，故，当且仅当，即，故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．【变式5-2】2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−.已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）；（2）3万元【解析】（1）由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x=4−则2022年的利润．（2）∵当时，，∴，（当且仅当时等号成立）∴，当且仅当万元时，（万元）．故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．【变式5-3】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少（千台）时