2022届新高考一轮复习-第三章-函数的概念及基本初等函数-第1讲-函数及其表示-导学案

第三章第三章函数的概念及根本初等函数第1讲第1讲函数及其表示1．能够用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，理解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．2．理解分段函数的概念，并能画出分段函数图象．1．函数概念一般地，设集合，是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一的数和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数．2．函数的三要素在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数定义域，与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，值域是集合的子集．3．分段函数函数在定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．4．复合函数如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当时，称函数为与在上的复合函数，其中叫做中间变量，叫做内层函数，叫做外层函数．1．函数概念辨析【例1】以下图形中，不可能是函数图象的是〔〕A． B． C． D．【变式1．1】设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有〔〕A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【例2】以下选项中不是函数的是〔〕A． B． C． D．【变式2．1】以下各式中是的函数的解析式有_________个．①，②，③，④．【变式2．2】如下图某加油站地下圆柱体储油罐示意图，储油罐长度为，截面半径为〔为常量〕，油面高度为，油面宽度为，储油量为〔为变量〕，那么以下说法：①是的函数，②是的函数，③是的函数，④是的函数．其中正确的个数是〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例3】存在函数，对于任意都成立的以下等式的序号是_______．①；②；③；④．【变式3．1】〔多项选择〕存在函数满足：对任意都有〔〕A． B．C． D．1．判断一个解析式是否为函数，可以看其是否符合函数的定义，对于任意的一个自变量，是否都有唯一确定的的值与之对应．2．判断一个图象是否为函数图象，同样得紧扣定义，可以看是否认义域范围内都有图象，然后可以用与轴垂直的直线与这个图象是否只有一个公共点来判断．2．同一函数的判断【例4】以下函数中，与函数是相等函数的是〔〕A． B． C． D．【变式4．1】〔多项选择〕以下各组函数是同一个函数的是〔〕A．与 B．与C．与 D．与1．判断两个函数是否为同一函数，可以看这两个函数的三要素“定义域、对应关系和值域〞是否相同，只要有一个不同时，这两个函数就不是同一函数．1．具体函数定义域求解【例5】函数的定义域是〔〕A． B． C． D．【变式5．1】函数的定义域为〔〕A． B． C． D．【变式5．2】函数的定义域为________________．常见函数定义域类型=1\*GB3①分式型要满足；=2\*GB3②根式型要满足；=3\*GB3③零指数幂型要满足；=4\*GB3④对数型要满足；=5\*GB3⑤正切型要满足，．2．抽象函数定义域求解【例6】〔1〕的定义域为，求函数的定义域；〔2〕的定义域为，求的定义域；〔3〕函数的定义域为，求函数的定义域．【变式6．1】的定义域是，那么的定义域为〔〕A．， B．，C．， D．，【变式6．2】的定义域是，那么函数的定义域为_______，的定义域为___________．【变式6．3】假设函数的定义域是，那么函数的定义域为___________．抽象函数定义域的求解抓住两点即可：=1\*GB3①函数的定义域指的是自变量的取值范围；=2\*GB3②相同对应关系下，括号内代数式的取值范围一致．3．函数定义域求参数的范围【例7】假设函数的定义域为，那么〔〕A．1 B． C．2 D．无法确定【变式7．1】假设函数的定义域为R，那么实数m的取值范围是_________．【变式7．2】函数的定义域为R，那么__________．【变式7．3】函数的定义域为R，那么实数m的取值范围是〔〕A． B． C． D．【例8】一次函数满足，那么________．【变式8．1】二次函数满足，．〔1〕求的解析式；〔2〕求在上的最大值．【例9】函数，那么__________〔注明定义域〕【变式9．1】假设，那么有_____________．【变式9．2】，那么函数_______，_______．【例10】，，那么的解析式为________．【变式10．1】，求的解析式．【变式10．2】函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．〔1〕求函数，的解析式；〔2〕假设对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；求函数解析式的方法1．待定系数法本方法适用于函数类型或根据题目意思可以确定函数类型，求解析式时，可以先设含待定系数的对应函数解析式，再利用条件建立方程〔组〕，通过解方程〔组〕求出对应的待定系数，即解出解析式．2．换元法对于形如的函数解析式，令，从中求出，然后代入求出，再将换成，得到的解析式，但要注意新元的取值范围．3．配凑法由条件，可将改写成关于的表达式，然后以代替，得到的解析式．常见的配凑形式有：=1\*GB3①；=2\*GB3②．4．解方程组法如果对任意的都有=1\*GB3①因为方程=1\*GB3①对任意都成立，那么显然可以将换成得到一个新的方程=2\*GB3②联立方程=1\*GB3①和方程=2\*GB3②可得如下方程组：，解方程组即可得到函数解析式．1．分段函数求值【例11】，那么〔〕A．1 B．2 C．3 D．15【变式11．1】函数，那么_________．2．分段函数解析式，求参数值【例12】假设函数，满足，那么的值等于〔〕A．2 B．0 C． D．【变式12．1】，函数，假设，那么___________．【变式12．2】函数，(a>0，a≠1)，假设，那么___________，___________．3．分段函数解析式，求复合函数的解析式【例13】函数，那么不等式的解集为〔〕A． B． C． D．【变式13．1】设函数，那么满足的的取值范围是〔〕A． B． C． D．【变式13．2】函数，那么不等式的解集为___________．4．分段函数解析式，解不等式【例14】设函数，，求．【变式14．1】假设函数，满足对于任意的，都有成立，．〔1〕求b的取值范围；〔2〕当b=2时，写出f[g(x)]，g[f(x)]的表达式．一、选择题．1．以下各图中，可表示函数的图象的只可能是〔〕A． B．C． D．2．以下函数中，表示同一个函数的是〔〕A．与 B．与C．与 D．与3．假设函数的定义域是，那么函数的定义域为〔〕A． B． C． D．4．函数在定义域上单调，且，那么的值为〔〕A．3 B．1 C．0 D．5．函数的定义域为，那么的取值范围是〔〕A． B． C． D．6．函数，假设，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．7．〔多项选择〕以下式子中，能表示是的函数关系有〔〕A． B． C． D．二、填空题．8．函数的定义域为__________．9．函数，那么________．10．函数，假设，那么_________．11．假设函数对于一切恒成立，那么求实数的取值范围是．三、解答题．12．求函数解析式：〔1〕假设，求；〔2〕假设，求；〔3〕假设，求．答案与解析答案与解析【例1】【答案】D【解析】根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，表现在图象上，用一条垂直于轴的直线交函数图象，至多有一个交点，所以D不是函数图象．应选D．【变式1．1】【答案】C【解析】对于①，函数图象不满足函数的定义域，故错误；对于②，函数图象满足函数的定义域以及函数的值域，故正确；对于③，函数图象满足函数的定义域以及函数的值域，故正确；对于④，函数图象不满足函数的定义〔任意的，存在唯一实数与之对应〕，故错误，应选C．【例2】【答案】D【解析】A，B，C选项任意的都能找到唯一的值与之对应，所以是函数，而D选项反例：时，，因此不是函数．【变式2．1】【答案】3【解析】对于①②③，定义域中的任意一个，都有唯一的数与之对应，满足函数定义，对④，当时，，不满足函数定义，故是的函数的解析式有3个，故答案为3．【变式2．2】【答案】B【解析】因为，所以，所以是的函数，故④正确；因为，所以，对于的每一个取值，都有2个与之对应，所以不是的函数，故③不正确；由知，对于的每一个取值，都有2个与之对应，而对于的每一个取值，弓形的面积都有一个取值与之对应，所以根据柱体体积公式可知，对于的每一个取值，都有2个与之对应，所以不是的函数，故②不正确；根据柱体体积公式可知，对于每一个确定的，都有唯一的一个与之对应，对于每一个确定的，都有唯一的与之对应，所以是的函数，故①正确，应选B．【例3】【答案】④【解析】①当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；②当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；③当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；④令，所以，令，所以，所以，所以，符合，故答案为④．【变式3．1】【答案】CD【解析】A：取时，，，取时，，，故A不正确；B：取时，，，取时，，，故B错误；C：，令，那么，C正确；D：，令，那么，D正确，应选CD．【例4】【答案】B【解析】的定义域为；对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误，应选B．【变式4．1】【答案】AC【解析】对于选项A：的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项B：的定义域为，的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；对于选项C：的定义域为，的定义域，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项D：的定义域为，的定义域为，对应关系不同，不是同一个函数，应选AC．【例5】【答案】C【解析】由题意得，解得或，所以原函数的定义域为，应选C．【变式5．1】【答案】C【解析】由题意，函数有意义，那么满足，解得，所以函数的定义域为，应选C．【变式5．2】【答案】【解析】要使函数有意义，那么，即，所以，故答案为．【例6】【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕．【解析】〔1〕∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，∴，即的定义域为．〔2〕由题意知中的，∴．又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．〔3〕∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为．【变式6．1】【答案】A【解析】的定义域是，故由可得，解得，，因此，函数的定义域为，应选A．【变式6．2】【答案】，【解析】因为的定义域是，所以，那么，即函数的定义域为．由，得，得，即函数的定义域为．故答案为，．【变式6．3】【答案】【解析】因为函数的定义域是，要使函数有意义，那么且，所以函数的定义域为，故答案为．【例7】【答案】B【解析】函数的定义域为，那么的解集为，即，且的根，故．应选B．【变式7．1】【答案】【解析】依题意，当时，恒成立，当时，，符合题意；当时，那么，即，解得，综上，实数m的取值范围是，故答案为．【变式7．2】【答案】【解析】因为任意，根式恒有意义，所以的解集为R，即不等式在R上恒成立．①当时，恒成立，满足题意；②当时，，解得，综上，，故答案为．【变式7．3】【答案】A【解析】函数的定义域为R，等价于无解，设，那么，当时，，单调递减；当时，，g(x)单调递增，，又∵当x趋近于时，趋近于，∴g(x)的取值范围是，由于无解，，∴，∴m的取值范围是，应选A．【例8】【答案】【解析】设，那么由，得，即，故，解得，所以，故答案为．【变式8．1】【答案】〔1〕；〔2〕3．【解析】〔1〕设，，那么，∴由题，恒成立，∴，，得，，，∴．〔2〕由〔1〕可得，所以在单调递减，在单调递增，且，，∴．【例9】【答案】【解析】令，那么，，所以，，所以，故答案为．【变式9．1】【答案】【解析】令，那么，因为，所以，即，故答案为．【变式9．2】【答案】，11【解析】令，那么，所以，所以，所以．故答案为，．【例10】【答案】【解析】由题知，，①；又，②，由①②，得，那么，故答案为．【变式10．1】【答案】．【解析】因为，用代替可得，由，消去，解得，所以．【变式10．2】【答案】〔1〕，；〔2〕．【解析】〔1〕，用代替得，那么，解方程组得，．〔2〕由题意可得对任意恒成立，令，，因为在单调递增，故，那么对恒成立，因为，当且仅当时，等号成立．故，即实数的最大值为．【例11】【答案】A【解析】因为，所以，所以，应选A．【变式11．1】【答案】1【解析】因为，，所以，故答案为．【例12】【答案】A【解析】由题意易知，分别在上单调，假设，那么不在同一单调区间，又，一定有，∴，即，∴，∴，应选A．【变式12．1】【答案】2【解析】，故，故答案为2．【变式12．2】【答案】1，2【解析】，解得，由，那么，得，故答案为1，2．【例13】【答案】A【解析】易得函数在R上单调递增，那么由可得，解得，故不等式的解集为，应选A．【变式13．1】【答案】D【解析】当时，函数是减函数，那么，作出的大致图象如下图，结合图象可知，要使，那么需或，解得或，所以，应选D．【变式13．2】【答案】【解析】，或，解得或，即，不等式的解集为，故答案为．【例14】【答案】．【解析】比拟两个分段函数的定义域，可将函数区间分为三个区间段求，当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以，综上可知：．【变式14．1】【答案】〔1〕；〔2〕，．【解析】〔1〕因为任意的，都有成立，故设任意的时，有，即分段函数在R上单调递增，故当时，单调递增，即，即；当时，单调递增，即对称轴，即；且在临界点处，左边取值不大于右边取值，即，即．综上，b的取值范围是．〔2〕当b=2时，，又，故当时，即时，；当时，即时，，故；当时，，那么，当时，，那么，故．一、选择题．1．【答案】D【解析】由函数的定义可知，在定义域内的每一个，都有唯一一个与它对应，那么只有D正确，应选D．2．【答案】B【解析】对于A：的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；对于B：与显然是同一个函数；对于C：的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；对于D：的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，应选B．3．【答案】B【解析】函数的定义域为，，，应选B．4．【答案】A【解析】因为函数在定义域上单调，且，所以为常数，不妨设，那么，由，得，解得，所以，所以，应选A．5．【答案】C【解析】由题意得在上恒成立．，即时，恒成立，符合题意；时，只需，解得，综上：，应选C．6．【答案】A【解析】因为，当时，单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为，应选A．7．【答案】BCD【解析】选项A中，时，可以有与之对应，故不是的函数关系；选项B中，对应实数集中的每个x值，都有唯一确定的的值与之对应，故是的函数关系；选项C中，对应实数集中的每个x值，都有唯一确定的的值与之对应，故是的函数关系；选项D中，对