2022届高考数学一轮复习第五章5.1平面向量的概念及其线性运算核心考点精准研析训练理含解析北师大版

第五章核心考点·精准研析考点一平面向量的根本概念1.下面说法正确的选项是 ()A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.2.给出以下命题:①零向量是唯一没有方向的向量;②零向量的长度等于0;③假设a,b都为非零向量,那么使=0成立的条件是a与b反向共线.其中错误的命题的个数为 ()【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.1.解答向量概念型题目的要点(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.2.(1)两个向量不能比拟大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比拟大小.(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.考点二平面向量的线性运算【典例】1.(2021·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,那么= ()A.QUOTE-QUOTEB.QUOTE-QUOTEC.QUOTE+QUOTED.QUOTE+QUOTE2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=QUOTEAB,BE=QUOTEBC.假设=λ1+λ2(λ1、λ2为实数),那么λ1+λ2的值为. 世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由“那么=〞及选项,想到平面向量线性运算.2由“=λ1+λ2〞,想到平面向量线性运算【解析】1.选A.如下图=-=-QUOTE=-QUOTE·QUOTE(+)=QUOTE-QUOTE.【一题多解】选A.在△ABC中,找到向量,,对于选项A,作出向量QUOTE,QUOTE,再作QUOTE-QUOTE,与向量比拟,发现相等,所以选A.2.=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=-QUOTE+QUOTE,所以λ1=-QUOTE,λ2=QUOTE,即λ1+λ2=QUOTE.答案:QUOTE1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法那么求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用向量表示出来求解.2.三种运算法那么的关注点(1)加法的三角形法那么要求“首尾相接〞,平行四边形法那么要求“起点相同〞.(2)减法的三角形法那么要求“起点相同〞且差向量指向“被减向量〞.(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.1.(2021·榆林模拟)点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,那么= ()A.QUOTE+QUOTEB.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTED.QUOTE+QUOTE【解析】选C.如图,因为=2,所以=QUOTE,所以=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE.2.在△ABC中,点M,N满足=2,=.假设=x+y,那么x=;y=.

【解析】由,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(-)=QUOTE-QUOTE=x+y,所以x=QUOTE,y=-QUOTE.答案:QUOTE-QUOTE考点三共线向量定理及其应用命题精解读1.考什么:(1)判断向量共线,三点共线问题,含参数综合问题;(2)考查数学运算核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与解析几何,三角函数图像与性质,三角恒等变换结合考查求参数,最值等.3.新趋势:以考查共线向量定理的应用为主.学霸好方法1.证明向量共线的方法:应用向量共线定理.对于向量a,b(b≠0),假设存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线.2.证明A,B,C三点共线的方法:假设存在实数λ,使得=λ,那么A,B,C三点共线.3.解决含参数的共线问题的方法:经常用到平面几何的性质,构造含有参数的方程或方程组,解方程或方程组得到参数值.向量共线问题【典例】(2021·西安模拟)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,那么λ=. 世纪金榜导学号【解析】因为a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),那么(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以QUOTE解得k=QUOTE,λ=-QUOTE.答案:-QUOTE三点共线问题【典例】(2021·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,假设A,B,D三点共线,那么k的值为. 世纪金榜导学号【解析】因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以QUOTE解得k=-QUOTE.答案:-QUOTE解决三点共线问题应注意什么问题?提示:应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线.含参数综合问题【典例】(2021·唐山模拟)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2QUOTE,BC=2,点E在线段CD上,假设=+μ,那么μ的取值范围是. 世纪金榜导学号【解析】由AD=1,CD=QUOTE,所以=2.因为点E在线段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).因为=+,又=+μ=+2μ=+QUOTE,所以QUOTE=1,即μ=QUOTE.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤QUOTE.答案:QUOTE1.O是正方形ABCD的中心.假设=λ+μ,其中λ,μ∈R,那么QUOTE=()QUOTEQUOTED.QUOTE【解析】选A.=+=+=-+QUOTE=-QUOTE,所以λ=1,μ=-QUOTE,因此QUOTE=-2.2.(2021·大同模拟)△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,那么△PBC与△ABC的面积之比是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选C.因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=QUOTEAC,由三角形的面积公式知,QUOTE=QUOTE=QUOTE.是△ABC所在平面上的一点,满足++=2,假设S△ABC=6,那么△PAB的面积为 ()B.3【解析】选A.因为++=2=2(-),所以3=-=,所以∥,方向相同,所以QUOTE=QUOTE==3,S△PAB=QUOTE=2.1.O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,那么 ()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上【解析】选D.由=+得-=,所以=·,所以点P在射线AB上.2.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如下图的正五角星中,以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形,且QUOTE=QUOTE.以下关系中正确的是 ()A.-=QUOTEB.+=QUOTEC.-=QUOTED.+=QUOTE【解析】选A.由,-=-===QUOTE,所以A正确;+=+==QUOTE,所以B错误;-=-==QUOTE,所以C错误;+=+,QUOTE==-,假设+=QUOTE,那么=0,不合题意,所以D错误.3.点M是△ABC所在平面内的一点,假设点M满足|λ--|=0且S△ABC=3S△ABM,那么实数λ=.