2022-2023学年上海初二年级下册同步讲义第20讲 期末复习解析版

第20讲期末复习

本节主要针对八年级下学期的知识点进行总结，主要有一次函数.代数方程.四边形和

概率初步，特别是四边形章节是本学期的重难点，要求同学们可以和三角形全等的知识结合

起来，需要添加辅助线，综合性较强，也是中考的热门考点之一.

概念

一次函数图像实际应用

实

性质

际

问

一元一次方程.一元一次不等式

题

二元一次方

〔程组

代J

数二元二次方

方程组

程

无理方程

列方程解应用题

一、选择题

1.如果函数片小2的图象不经过第三象限，那么。的取值范围是()

A.k>QB.C.k<0D.Z0

【难度】★

【答案】D

【解析】因为一次函数尸M2的图象不经过第三象限，所以图像经过第一、二、四象限或

第二、四象限，，K0.故选〃

【总结】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与人6的关系.

2.点4(3,a)和点6(2,b)在关于x的函数y=-；x+机的图像上，则a和8的大小关

系是()

A.a>bB.a<bC.a=bD.无法确定

【难度】★

【答案】B

【解析】因为％=-；<0,所以关于x的函数y=+m的值随着x的增大而减小，

因为3<2,所以a<0,故选B.

【总结】本题主要考查一次函数图象的性质.

3.下列方程中，是分式方程的为（）

A.三地B.近三=2C."=2D,。=2

xx3

【难度】★

【答案】A

【解析】4=血，分母中含有未知数的字母，所以它是分式方程，故本选项正确；

x

B.由虫二=2,得「1=2,是无理方程，不是分式方程，故本选项错误；

xVx

2

C.三二=2,分母中不含有未知数的字母，所以它不是分式方程，故本选项错误：

3

D.由原方程，得石（x-1）=2,分母中不含有未知数的字母，所以它不是分式方程；

故本选项错误；故选儿

【总结】考本题考查了分式方程的定义.

4.下列二元二次方程中，没有实数解的方程是（）

A.x+（了-1）%0B.x-（y-1）2=0

C.f+（y-1）2=-1D.x-（y-1）21

【难度】★

【答案】C

【解析】/通过分析，即得x=0,y=1,故本选项错误；8通过解方程得：/=（/一1）2,

可推出x=0,y=1,另外还有其他得解，故本选项错误：C通过分析，

A-（y-1）J-l,等式不成立，本方程无解，故本选项正确；〃项通过解方程得：其

中一组解为片0,尸0,故本选项错误，故选C.

【总结】本题主要考查分析解答高次方程，关键在于正确的对方程进行分析.

5.某工程队修一条长为360米的公路，实际每天比原计划多修2米，结果提前6天

完成任务，设原计划每天修x米，则可列方程为（）

360360360360

A.=6B.=6

x-2XXx+2

360360360360

C.=6D.=6

x+2XXx-2

【难度】★

【答案】B

【解析】设原计划每天修x米，根据题意，可列方程：迎—出=6,故选B.

xx+2

【总结】考察了分式方程在工程问题中的运用，工作效率X工作时间=工作量.

6.下列判断中，不正确的是（）

A.如果通=画，贝“丽=|丽|B.a+b+c=c+b+a

C.a+（b+c）=（a+h）+cD.AB+BA=0

【难度】★

【答案】D

【解析】向量是矢量单位，如果向量相等，则包含方向和长度两个方面均是相等的故1对,

B、「分别是向量的结合律和交换律，〃选项应该是通+BX=6,故错误的选D.

【总结】考察了向量的简单运算.

7.下列事件中，是必然事件的是（）

A.购买一张彩票中奖一百万元；

B.打开电视机，任选一个频道，正在播新闻；

C.在地球上，上抛的篮球会下落；

D.掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于6

【难度】★

【答案】C

【解析】必然事件是一定条件下必然出现的现象，尔6、〃都是不能确定的现象.

【总结】本题考察了必然事件的概念，注意进行分析.

8.如果关于x的分式方程互-与2=必有增根，那么0的值为（）

x+1X+XX

A.-1或-2B.-1或2C.1或-2D.1或2

【难度】★★

【答案】C

【解析】兰一生!■=也可转化为—2=0,原分式方程的增根是

x+1X'+XX

X,=0,x2=-1,分另将%=0，w=-1代入X?_2x—加一2=0,得：Wj=-2,/n,=1.

【总结】本题考察了增根的概念及分式方程的解法.

9.如果点G2在线段48上，\AC\=\BD\,那么下列结论中正确的是（）

A.而与丽是相等向量B.而与能是相等向量

C.而与8方是相反向量D.而与8万是平行向量

111I

ACDB

【难度】★★

【答案】D

【解析】解：：点C、〃在线段四上，|AC|=|8万I，

A.AC与瓦5方向相反：B.AZi与Bd方向相反：

C.相反向量是方向相反，模相等的两向量，而|而|=|BCj>|丽|；

D.A15与BD共线，是平行向量，故本选项正确.故选〃.

【总结】此题考查J'平面向量的知识，解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量

的定义与数形结合思想的应用.

10.抛掷两枚硬币，则正面全都朝上的概率是（)

D.-

4

【难度】★★

【答案】D

【解析】该事件发生的可能性如右图所示：/代表正面朝上，方代表反面朝上，共四中可能,

两次都是正面朝上的概率是」.

4

【总结】考察了随机事件发生的可能性，用树形图表示简单明了.

11.如果直线尸2户勿与两坐标轴围成的三角形面积等于勿，求力的值（）

A.±3B.3C.±4D.4

【难度】★★

【答案】D

【解析】一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积和人6的关系是s=E,在本题中A=2,

21Al

b=m,代入上式即可求出z»=4,故选D.

【总结】考察了一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积问题，注意数形结合的运用.

12.在四边形/时中，/C与劭相交于点。，要使四边形/四是平行四边形应

符合下列条件中的（）

A.AB//CD,BC=AD；B.AB=CD,OA=OC；

C.AB//CD,OA=OC-,D.AB=CD,AC=BD.

【难度】★★

【答案】C

【解析】由ABHCD,OA=OC,得侬△，⑺，得A8=CD,

又因为4?〃中，所以四必是平行四边形，故选C.

【总结】考察了平行四边形的判定定理的运用.

13.下列命题中错误的是（）

A.矩形的两条对角线相等

B.等腰梯形的两条对角线互相垂直

C.平行四边形的两条对角线互相平分

D.正方形的两条对角线互相垂直且相等

【难度】★★

【答案】B

【解析】等腰梯形的性质有：同一底上的内角相等，对角线相等，没有对角线互相垂直的性

质，故错误的选B.

【总结】本题考察了等腰梯形的性质及特殊的平行四边形的性质，注意仔细辨析.

14.如图，在四边形4%/中，4C与劭相交于点0,ACLBD,B0-D0,那么下列条件中不能

判定四边形4式。是菱形的是（）

A.Z0AB=Z0BAB.Z0BA=Z0BC

C.AD//BCD.AD-BC

【答案】A

【解析】4'：ACLBD,BODO,是切的垂直平分线，.•./©=/!〃，CD=BC,

:.NABD=NADB,NCBANCDB,•:N0AB=N0BA,:.NOAB=NOBA=45°,

:.NABIA/ADB=2CBD=4CD加45°,BIABD,:.△ABD^XCBD、

:.AB=BOAD=CD,N砌介90°..四边形40是正方形形，故此选项错误;

B.,：ACLBD,BO-DO,是龙的垂直平分线，：.AB=AD,CD=BC,

：.4ABI。ADA,NCBIA4CDB,A0BA=Z0BC,

:.NAB!)=4ADB=/CBANCDB,BD=BD,:.△ABMXCBD,

.../比陷力作5，四边形/腼是菱形，故此选项正确；

C.'：AD//BC,：.ADAOAACB,"：AA0l>ABOC,BO-DO,:.△AQIJ^ABOC,

.•./庐此办/〃，...四边形4交9是菱形，故此选项正确;

D.'：AD=BC,BODO,ZBO（=ZAOD=^,：.^AOD^l\BOC,

4斤除,.四边形力及力是菱形，故此选项正确.故选：A.

【总结】此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练地掌握菱形的判定，注意与矩形、正方形、

平行四边形的判定进行比较，是提高同学们综合能力的关键.

15.顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

【难度】★★

【答案】B

【解析】顺次联结等腰梯形四边的中点得到的是菱形，根据中位线的性质得到.

【总结】考察了中位线的性质及菱形的判定.

16.如图，梯形4比》中，AD//BC,AD=AB,BC=BD,N4=100°,则/田（）

A.80°B.70°C.75°D.60°

【难度】★★

【答案】B

【解析】在△/初中，AB-AD,N4=100°,：.4ADB=/ABIA40°,

'：AD//BC,：.NADB=4DBC<0°,又•：BD=BC,:./C=/BDC3Q0.

【总结】本题考察了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的综合运用.

17.如图，在周长为20c"的夕6切中，AB^AD,AC.即相交于点0,OE1BD交AD于E,则

△力座的周长为（）

A.15cmB.20cmC.5cmD.\0cm

【难度】★★

【答案】D

【解析】＜OELBD,OB=OD,:.B芹DE,

AC.„=-x20=10.

A/AIOKCF=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD2=o-AoCCzJr2n

【总结】考察了平行四边形的性质及线段垂直平分线性质的综合运用.

18.如图，平行四边形力版和平行四边形加"的边火和助在同一直线上则下列说法中错

误的个数是（）

①|荏|=|就|；®ED=DC；®AB+CD=O；®EA=CB.

【难度】★★

【答案】B

【解析】向量包含两部分，相等向量是长度和方向都是一致的情况下才成立的，故①②都是

正确的，③中通+也=6,④丽=丽与丽只是长度相同，方向不同，故均错误，

因此选B.

【总结】本题主要考察了向量的基本概念及简单运算.

19.在1、2、3三个数中随机抽取一个数，其中确定事件是（）

A.抽取的数是素数B.抽取的数是合数

C.抽取的数是奇数D.抽取的数是偶数

【难度】★★

【答案】B

【解析】4是随机事件，故选项正确；8是不可能事件，故是确定事件；C是随机事件；

〃是随机事件.故选民

【总结】本题主要考查了随机事件的定义，理解定义素数、合数的概念是关键.

20.在一个凸多边形中，它的内角中最多有〃个锐角，则〃为（）

A.2B.3C.4D.5

【难度】★★

【答案】B

【解析】根据任意凸多边形的外角和是360°,可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角

中，最多有3个锐角.

【总结】本题主要考察了内角与其相邻的外角是邻补角，由于外角和是不变的，所以分析内

角的关系可以从外角的情况入手，难度适中.

二、填空题

1.（1）方程f-16=0的解是

(2)方程a^Tx=%一[的解是；

(3)方程组x，—’y=21的解是

[x2-y2=-3—

【难度】★

[x=-l

【答案】(1)%=2.=一2；(2)x=3；(3)\「

[y=-2

4

【解析】(1)x=16,，犬=4,所以原方程的解为：X1=2,x2=-2：

(2)两边同时平方，原方程可转化为犬-工-6=0,内=3,%=-2,经检险当七=-2

时，原方程不成立，为方程的增根，故，7-x=/一1的解为、=3；

x-y=\®

(3)方程组42.，g由①，得：尸1+H代入②，得：2片-4,

x-y二-3②

[x=-1

解得原方程组的解为：.

[y=-o2

【总结】本题主要考察的是代数方程的一般解法，相对基础，注意无理方程解完要检验.

2.(1)若分式%上?-上4-3竺尤+上2的值为0,则工=；

x+l

(2)方程占生一华义=3,若用换元法设y==生，原方程可变形为___________.

x+2x2+3x+2

【难度】★

【答案】(1)-2；(2)/-3y-4=0.

+3x+2

【解析】(1)若分式4的值为零,分母不能为零即*WT,

x+l

由f+3x+2=0，解得：占=-1，X2=-2,故产-2；

(2)士虫_*：+2)=3可以转化为y-1=3,化简，得：3y-4=0.

【总结】本题考察「分式方程的基本解法，属于基础题型.

3.某企业的年产值两年内从1000万元增加到1440万元，如果这两年中每年的增长率相同,

在求这两年中每年的增长率时，如果设这两年中每年的增长率为x,那么可以列出的方程是

【难度】★

【答案】1000(1+x)=1440.

【解析】企业的年产值两年内从1000万元增加到1440万元，这两年中每年的增长率相同,

设这两年中每年的增长率为x,那么可以列出的方程是1000(1+x)=1440.

【总结】此题主要考查了方程在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据

题目的数量关系列出方法解决问题.

4.(1)若直线y=2x+3与直线y=履-1平行，则左=；

(2)若点(3,在一次函数y=3x+l的图像上，则。=-

⑶一次函数y=4x-1,y的值随x值的增大而.(填“增大”、“减小”或“不变”).

【难度】★

【答案】(Dk=2；(2)a=10；(3)增大.

【解析】(1)直线y=2x+3与直线y="-l平行则左值相等，即A=2；

(2)由题意，得：于3x3+1=10；

(3)y=4x—l,k>0,则随着*的增大y的值逐渐增大.

【总结】本题主要考察了一次函数的性质的运用.

5.(1)如果一个多边形的每个外角都等于72,那么这个多边形的边数是；

(2)如果一个多边形的内角和是1800°,则该多边形的对角线有条.

【难度】★

【答案】⑴5；(2)54.

【解析】(1)多边形的外角和是360°,每个外角都是72°,则边数是360°+72°=5；

(2)多边形内角的公式(斤2)77=1800°,炉12,

故多边形对角线的条数是皿二2=吆北二2=54.

22

【总结】本题主要考察了多边形的内角和外角的相关公式的运用.

6.如图，一次函数y=H+b的图象经过A,3两点，则履+6>0的解集是___.

【难度】★★

【答案】x>-3.

【解析】从图像中易得当x>-3时，y>0即公:+6>0的解集是x>-3.

【总结】本题考察了•次函数与不等式的关系，要学生比较熟悉图形.

7.(1)如图(1),平行四边形/腼中，设4方=£,8。=九用£、3表示CO,则

co=；

(2)如图(2),梯形中，AB//CD,AB^2CD,AD,AB=b,请用向量

a>b表示向量AC=.

【难度】★★

C

-1一

【答案】(1)—a—h;(2)力.

【解析】(1)根据向量的三角形法则，

得：AB+BO=AO=a+b，'：AO=-Cd，：.CO^-a-b;

(2)由A8=2C£>,得：DC=-AB=-b,iiCAC=AD+DC=a+-b.

222

【总结】本题主要考察了向量的加减运算在几何图形中的运用.

8.(1)菱形的两条对角线长分别是6和8,则菱形的面积为；

(2)在矩形45徵中，AB=a,除4,与/C的平分线相交于点尸，如果点尸在这个矩形

的内部(不在边力。上)，那么。的取值范围为.

【难度】★★

【答案】(1)24；(2)2<a<4.

【解析】(D对角线互相垂直的四边形的面积是

两条对角线乘积的•半，即面积为,x6x8-24；

2

(2)因为四边形4及力是矩形，毋,和。别平分//叱和/6C力，

则△珈C是等腰直角三角形，过一作法L6。，则上陷陷2,

由点尸在这个矩形的内部(不在边力。上)则a>2,又因为三角形4郎也是等腰直角三

角形，所以/片力生水4,综上2<a<4.

【总结】本题主耍考察了平行四边形的性质，注意数形结合思想的运用.

三、解答题

1.解下列关于x方程(组)：

(1)x+J2x-1=2；(2)解方程：匕^一~鸵_=二一；

x-2x-4x+2

⑶解方程组：卜2一孙」2y2=o.

y=3

【难度】★★

6

/_3=一

【答案】(1)尸1；(2)产-3：(3)\J5.

【解析】(1)原方程两边同时平方，得丁-6*+5=0,解此方程，得：x,=l,X2=5,

经检验当x=5时原方程无意义，是方程的增根，

所以x+J2x-1=2的解是产1;

(2)原分式方程可转化为f+x-6=0,解此方程得：为=2,9=-3,

经检验尸2时原分式方程无意义，

所以统一Y_=_3_的解为产-3；

x-2x--4x+2

(3)卜一一孙一2广=0?,由①得武尸0,尸2尸0与②构成如下的方程组

[2x+y=3②

Y_6

盘”或UM'解以上方程组得原方程组的解为：

【总结】本题考察了分式方程、无理方程及二元二次方程组的解法，注意分式方程和无理方

程解完耍检验.

2.某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来

多加工25套,结果提前了3天完成任务.求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具.

【难度】★★

【答案】100.

【解析】设原来每天加工x套，新技术革新后每天加工x+25套，根据题意可列方程

10001500.2500

----+------+3=---->解得：产1)0n0n,

xx+25x

经检验产100是原方程的解且符合题意.

故该文具厂原来每天加工100套文具.

【总结】本题考察了分式方程的应用，找出题目中的等量关系是列方程的关键.

3.如图，在。第中，对角线47与协相交于点0,设而=£丽=5，

(1)试用向量a,B表示下列向量：BC-：CD-

(2)求作：AC+BC,AC-BD.(保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法).

G

A

【难度】★★

【答案】(1)BC=a-b-,(2)CD=-a-b.

【解析】(1)BC=BO+OC=-Dd+AO=a-h；

CD=CO+OD=-AO-DO=-a-b

(2)AC-BD=2(OC+OB),

作图如图所示：其中荏表示AC+Bd；OGAC-BD.

【总结】本题考查了平面向量的加减运算，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法

则的熟练运用.

4.已知：直线了=履+2优*0）图像经过第一、二、四象限，且与坐标轴围成的三角形中有一

个内角为30°,求此直线的表达式.

【难度】★★

【答案】y=一日x+2或y=->/5x+2.

【解析】由题意得一次函数的图像，

如右图所示两种情况

如图（1）,得B（空,0）,

3

将8点代入一次函数的解析式，得y=-6x+2；

如图（2）,得B（2也,0）将6点代入一次函数解析式，得y=—@x+2；

综上，此直线的表达式为y=-3x+2或y=-昌+2.

【总结】本题考察了一次函数解析式的求法及直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论.

5.如图，在△/仇?中，AB-BC,勿是中线，过点、D作■DE//BC,过点力作/%劭，AE与施交

于点反求证：四边形/龙£是矩形.

【难度】★★

【解析】•.•〃是小的中点，."方微

'：AE//BD,DE//BC,EA2/BDC,ZADE^ADCB,

:.△ADEaMDCB'：.AB=DB,，四边形49应1是平行四边形，

,：AB-CB,AD-CD,J.BDVAC,即N/1ZW=9O°,

...平行四边形力颇是矩形.

【总结】本题考察了等腰三角形的性质，平行四边形的判定及矩形的判定定理的综合运用.

6.己知：如图，在梯形4%力中，AD//BC,力氏微点民尸在边6c上，BE=CF,EF^AD.求

证：四边形/皿是矩形.

【难度】★★

【解析】：在梯形被力中，AD//BC,乂,：E户AD,

二四边形4日叨是平行四边形.：.AE//DF,：.ZAEP=ADFC.

'：AB-CD,:./斤NC.又"：BE^CF,JXAB恒IXDCF.

2AEF乙DFC,：.NAEB=NAEF.

；觎N4废180°,二//旌90°,二四边形/"》是矩形.

【总结】考察了梯形的性质与矩形判定定理的综合运用.

7.如图，四边形""力中，E为48边上一点,且AADE和ABCE都是等边三角形，点只Q、

M、N分别是4?、BC,CD、刃的中点，试判断四边形尸。仞V是怎样的特殊四边形，并证明你

的结论.

D.

N

'B

【难度】★★

【解析】连接然和BD.

阿和△旌都是等边三角形，

点、P、Q、M、*分别为力从BC、CD.的的中点，

AC,且，PQ//AC,且MN=PQ=、AC,M①、BD

22

C.MN//PQ,MN^PQ,

：.四边形PQ邮是平行四边形.

庞和△及方都是等边三角形，

:.A2A2DE,EOEB^BC,NDEA=/CES,

:.NAEC=NDEB=6Q°+N乃小120°,

:./\AEC^4DEB,J.AC-BD,

MQ=-BD,:.MN=MQ,

22

...四边形/划网'是菱形.

【总结】本题考察了菱形的判定定理及中位线性质定理的综合运用.

8.(浦东四署2019期中26)在平面直角坐标系中，直线AB：y=2x+6与直线AD：

y=-2x+2交于点A,直线AB与x轴交于点B,直线AD与x轴交于点D,与y轴交于点C.

(1)求交点A的坐标；

(2)若在直线AB上存在一点P,使得AP处的面积是AA8D的面积的2倍，求点P的坐标；

(3)在平面直角坐标系中，是否存在点M,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形为平行四

边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】A(-1,4)；(2)P(1,8)或P(-7,-8)；(3)M,(-4,2);M,(-2,-2);(2,6)；

【解析】⑴设直线AB与AC交于点A(x,y),由1#=，解得「=一]・.47,4)；

y=—2x+2[y=4

(2)设点P(m,2m+6),由题意可知B(-3,0),D(1,0),因为AP3D的面积是

的面积的2倍，所以工x4x|2"i+6|=2xLx4x4,二加=1或帆=-7,P(l,8)或P(-7,-8)；

22

(3)M,(-4,2);M2(-2,-2);M,(2,6).

9.(普陀2018期中25)如图，在平面直角坐标系x0中，直线Z经过点/(-5,-6)且与

直线%丫=-京+6平行，直线4与x轴、y轴分别交于点8、C.

(1)求直线△的表达式及其与x轴的交点〃的坐标；

(2)判断四边形/腼是什么四边形？并证明你的结论；

(3)若点£是直线46上一点，平面内存在一点F,使得四边形/%是正方形，求点6的

坐标，请直接写出答案.

O\

3

【答案与解析】解：(1)设直线乙的表达式是旷=-2尤+。，；直线，经过点A(-5,-

327327

6),・・・-6=-一乂(-5)+。，得。二一一，即直线1的表达式是y二-一x一一，当片0时，

2222

得产-9,即点〃的坐标为(-9,0)；

3

(2)四边形4?勿是矩形，证明：•.•直线4：y=--x+6,直线人与x轴、y轴分别交于

点3、C两点，

...点8(4,0),点<7(0,6),•点/(-5,-6),点〃(-9,0),.,.僻/㈠_(_刃］:+(-6—0)。

二2g，

B气&-o尸+(0-6产2、工,庐阳〃微...四边形4%力是平行四边形，

AB=7(-5-4):+(-6-0)==3vH，卧4-(-9)=13,4代2旧,您+/我

+N的炉90°，因为四边形/8切是平行四边形，,四边形”"为

是矩形；

(3)E、(-2,-4),&(10,4),•.•点力(-5,-6),点6(4,0),设过点力、6的直线

解析式

2

为尸k/b,卜5&+6=-6,得A=-,即直线协的解析式为)，=2%一号，•.•点E在直线

4k+b=0o33

b=~

3

AB±.,

9Q

・・・设点£的坐标为(见§。一§),・..四边形胸'是正方形，点4(4,0)，点C(0,6),

EB=EC,B0(4-0)：+(0—6)==2E,；.陟2VH,；.^(a-4)2+(|a-|-0)2=2岳,

28

解得，-2或乎10,...当a=-2时'，—a——=一4,当炉10时，=a—?=4,...点笈(-2,

3333

-4),&(10,4).

10.(静安2018期末26)在矩形40中，48=1,对角线/G劭相交于点0,过点。作历

。分别交射线/〃与射线或于点£和点F,联结CE、AF.

(1)如图，求证：四边形力磔'是菱形；

(2)当点区户分别在边和比'上时，如果设4〃=x,菱形4A方的面积是y,求y关于x

的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)如果△。应■是等腰三角形，求/〃的长度.

【答案与解析】解：（1）①证明：如图1中，・・,四边形/用力是矩形，・・・?!〃〃a；OB=OD,

/EDO=NFBO

"EDO=/FB0,在△〃偌和△呼中，10D=013,：./\DOE^/\BOF,:・EO=OF,:

ZEOD=ZBOF

OB=OD,

・•・四边形被叨是平行四边形，,:EFLBD,OB=OD,・••曲=功，，四边形幽切是菱形.

(2)由题意可知：AC—\1\4-x~'OA—0C——Jl+，*/cosDAC=----=-----,AE—

v2ACAE

\+x2

2x

：.y=AE*CD=^-,'JAE^AD,/.Z>l,Vx>0,即/=^^(*2

2x2x2x

1).

(3)①如图2中,当点E在线段AD.匕时,ED=EO,则RtACED^RtACEO,：.折CgAO

=1,

在RtZUZT中，AD^^AC2-DC-=V22-l2=y/3■如图3中，当的£在线段4。的延长线上

时，DE=DO,'：DE=DO=OC,EC=CE,:展XEC咯RtACEO,:.CD=EO,,：ZDAC=ZEAO,

NADC=NA0E=9G°,：./\ADC^/\AOE,：.AE=AC,.."O垂直平分线线段/C,：.EA=EC,

...胡二夕左龙是等边三角形，."，=a>tan30°=显，综上所述，满足条件的

3

AD的值为石或

E

11.(金山2018期中27)如图，平面直角坐标系中，直线y="+＞经过点A(2,0)、0(0,1),

点B是第一象限的点且AB=逐，过点B作轴，垂足为C,CB=1.

(1)求直线y=的解析式和点B的坐标；

(2)试说明：ADVBO-.

(3)若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N,且以0、B、M、N为顶点

的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标.

【答案】(1)y=~x+\,B(l,2)；(2)证明如下；(3)乂(3,0),/V2(-3,0),/V,(7,0)；

,1

2攵+0=0k=---

【解析】解：(1)把4(2,0)、。(0,1)代入丁=辰+匕中，得《，解得〈2,

h=l,.

i=1

所以一次函数的解析式为：y=_'x+i，・・,8C=1,8C，龙轴，，设5(工机)，・・・45=逐，

2

.-.l+m2=5,解得加=±2(负值舍去)B(l,2)；(2)•.•4O=2,OO=1,8C=1,OC=2,

/.OA=OC、BC—OD，

・.・N8CO=NAOD=90。，/.MODAOCB(SAS),:.NCOB=NOAD，

-,­ZCOB+ZBOA=90°,

・,.NOAD+NBOA=90。,.\ZDEO=90°：,AOLBO；(3)

M(3,o),N?(—3,0),N3(7,0).

12.（杨浦2019期中27）如图，直线y=-1-x+3图像与y轴、x轴分别交于A、B两点

（1）求点A、B坐标和NBAO度数

（2）点C、D分别是线段OA、AB上一动点（不与端点重合），且CD=DA,设线段OC的长度

为x,SAOCD=y.请求出y关于x的函数关系式以及定义域

（3）点C、D分别是射线0A、射线BA上一动点，且CD=DA,当A0DB为等腰三角形时，求C

的坐标（第（3）小题直接写出分类情况和答案，不用过程）

C(0,3百-3)或(0,0)或(0,6)；

【解析】解：⑴一次函数y=_逅X+3,令y=o,得O=_3X+3,得8(36,0)；

-33

令x=0,得y=3,二4(0,3),所以0A=3,0B=35/3,在RtAAOB中，乙4。8=90。，

AB=ylAOr+OB1=6),/AB=2AO,ZABO=30°,/.ZBAO=60°；(2)过点D作

轴于【I,因为A0=3,C0=x,所以AC=3-x,因为AD=CD,NQ48=60°,所以410。

是等边三角形，所以A”=土AC=3—x,易得：NADH=30°,所以

22

DHfAH所以y=*.立(3—X)」=3任一*亡(0<x<3)；(3)当

2224

OD=DB时，C(0,0)；当BD=OB时，C(0,30-3)；当0D=0B时,C(0,6).

13.（松江2019期中26）已知一次函数=_2x+4的图像与x轴、y轴分别交于点上A.

以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,且NABC=90°,BA=BC,作OB的垂直平分

线1,交直线AB与点E,交x轴于点G.

(1)求点c的坐标；

(2)在0B的垂直平分线1上有一点M,且点M与点C位于直线AB的同侧，使得

S

2slMM=MBC,求点M的坐标；

(3)在(2)的条件下，联结CE、CM,判断4CEM的形状，并给予证明.

【答案】(DC(6,2);(2)M(l,7);(3)等腰直角三角形.

【解析】解：(1)如图1,过点C作x轴的垂线，交x轴于点H,y=-2x+4,.・.A(0,

4),B(2,0),

VBA=BC,Z.\AOBAHCB(ASA),.\BH=A0=4,CH=0B=2,AC(6,2)(2)如图2,由

题意可知点G(1,0),点E(l,2),•••AB=BC=2石，••・SMBC=：A8-BC=10,：

25AA所”=SSBC，=5,而SMHM+SAES”,设M(1,a)，则

5=~(a-2)+-(a-2),解得a=7,则M(l,7)；(3)如图3,联结CM,CE,由于点

E(1,2),C(6,2),M(1,7),则CE=5,EM=5,CM=50,可得：CM2+EM2=CM2,CE=EM,

AEMC是等腰直角三角形.

14.(长宁2018期末24)在平面直角坐标系中，过点(4,6)的直线片取+3与y轴相交于

点儿将直线向下平移』个单位，所得到的直线/与y轴相交于点反

2

(1)求直线/的表达式；

(2)点C位于第一象限且在直线/上，点〃在直线片叱3,如果以点从B、a〃为顶点

的四边形是菱形，求点，的坐标.

3157

【答案】(1)y=+(2)(2,2)或(；，二)；

4234

33

【解析】解：(1)将点(4,6)代入直线片M3,可得忆=一，.・.)，=11+3,

44

将直线向下平移巳5个单位，3得到直线/的表达式：y=[x+1；；(2)由题可得/(0,3),

242

IQ13111

8(0,一)，设C(f,T+—),当45〃龙时，AS=BC,即产+(T+----)2=(3——产，解

2424222

得G=2,t2=-2,又•；/>(),：.C(2,2)；当AB,5为菱形的对角线时，AC=BC,

2c3122/3112

55757

解得Z=一，・,・「(1,/).综上所述，点C的坐标为(2,2)或弓,：).

33434

15.(青浦2018期末24)如图，平面直角坐标系x4中，直线y=-JIx+20与x轴、

y轴分别交于点4B.

(1)求△力如的面积；

(2)点一是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点0,使以4B.P、0为顶点的四边形

是菱形？若存在，请直接写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

y,

K4v

II备用国

【答案】(1)2垂>；(2)Q(-2,0),8(2,4),a(2,-4),研(2,建)；