安徽省合肥市高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 函数的最大（小）值教案 新人教A版必修1

安徽省合肥市高中数学第一章集合与函数概念1.3.1函数的最大（小）值教案新人教A版必修1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容《安徽省合肥市高中数学第一章集合与函数概念1.3.1函数的最大（小）值》新人教A版必修1。本节课主要内容包括：

1.函数最大（小）值的定义及意义；

2.求解函数最大（小）值的方法；

3.利用函数最大（小）值解决实际问题；

4.探究闭区间上连续函数的最大（小）值定理。

教学内容紧密结合教材，旨在帮助学生掌握函数最大（小）值的概念及其应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。核心素养目标1.培养学生逻辑推理能力，通过探究函数最大（小）值的概念，理解数学定义的严谨性；

2.提升数学抽象思维，让学生从具体问题中抽象出函数最大（小）值的一般性规律；

3.强化数学建模能力，学会运用函数最大（小）值解决实际问题；

4.培养数据分析观念，通过分析函数性质，学会从数据中寻找规律，为解决最大（小）值问题提供依据。教学难点与重点1.教学重点：

-函数最大（小）值的定义及其数学表达；

-求解函数最大（小）值的方法，包括图形法、解析法等；

-闭区间上连续函数的最大（小）值定理及其应用；

-实际问题中函数最大（小）值的建模和求解。

例如，强调函数f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(x)在x=a和x=b以及区间内部所有临界点的函数值中的最大者，而最小值的求法则同理。

2.教学难点：

-理解闭区间上连续函数的最大（小）值定理的证明过程；

-函数图形与最大（小）值之间的关系，如何通过图形判断最大（小）值的存在与位置；

-在实际问题中建立函数模型，特别是当问题情境复杂时，如何抽象出函数关系并求解最大（小）值；

-区分局部最大（小）值与全局最大（小）值的概念。

例如，难点在于让学生理解在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值，而开区间则不一定，需要通过罗尔定理和介值定理等数学工具进行深入理解。同时，学生可能会在识别图形的极值点时遇到困难，需要通过具体的函数图像分析和数学计算来突破这一难点。教学资源1.软硬件资源：

-数学软件（如几何画板、Mathematica等）用于函数图像的绘制和分析；

-投影仪和计算机，用于展示函数图像和示例题解；

-白板和标记笔，用于讲解和演示。

2.课程平台：

-学校教学管理系统，用于发布预习资料和课后作业；

-课堂互动平台，用于实时问答和讨论。

3.信息化资源：

-电子教案和PPT，用于课堂教学；

-电子版教材，方便学生随时查阅；

-习题库和模拟试题，用于学生练习和测试。

4.教学手段：

-小组合作学习，鼓励学生讨论和分享解题思路；

-案例教学法，通过具体实例引入和解释函数最大（小）值的概念；

-问题驱动的教学方法，引导学生通过问题探索知识；

-互动问答，提高学生的课堂参与度。教学过程1.导入新课

上课之初，我会对学生说：“同学们，我们已经学习了函数的基本概念，今天我们将进一步探讨函数的一个重要性质——最大（小）值。请大家打开教材第一章集合与函数概念1.3.1节，我们来一起探索函数的最大（小）值及其应用。”

2.基本概念讲解

首先，我会明确本节课的教学重点，即函数最大（小）值的定义及其求解方法。我会解释：“函数的最大值是指函数在某个区间内取得的最大数值，而最小值则相反。求解方法包括图形法、解析法等，下面我会逐一为大家介绍。”

（1）图形法

我会通过数学软件展示一个简单的函数图像，如f(x)=x^2，并提问：“同学们，观察这个函数图像，你们能找出函数的最大值和最小值吗？”在学生思考片刻后，我会邀请他们分享自己的答案。

接着，我会解释：“在图形法中，我们通常通过观察函数图像的走势来确定最大（小）值。对于这个函数，我们可以看到它在x=0处取得最小值0，而在x>0时，函数值逐渐增大，没有最大值。”

（2）解析法

然后，我会引入解析法，以f(x)=x^2为例，解释如何通过求导数来找到函数的极值。我会详细讲解求导过程，并强调：“求导后，我们将导数等于0的点作为可能的极值点，通过判断这些点的左右导数符号来确定最大（小）值。”

3.闭区间上连续函数的最大（小）值定理

我会引导学生通过罗尔定理和介值定理来理解闭区间上连续函数的最大（小）值定理，并强调这个定理在解决实际问题时的重要性。

4.实际问题中的应用

为了让学生更好地理解函数最大（小）值在实际问题中的应用，我会提出一个案例：“假设我们要求解一个实际问题，如最大化一个物体的体积，我们需要根据题目条件建立函数模型，然后利用最大（小）值求解方法找到最优解。”

我会邀请学生分组讨论，尝试解决这个实际问题，并在讨论过程中给予适当的指导。

5.总结与巩固

在课程接近尾声时，我会对本节课的主要内容进行总结，强调：“今天我们学习了函数的最大（小）值，掌握了求解方法以及闭区间上连续函数的最大（小）值定理。希望大家在课后加强练习，将这些知识运用到实际解题中。”

最后，我会布置一些与函数最大（小）值相关的习题，要求学生在课后完成，并提醒他们：“在完成作业时，要仔细思考，遇到问题可以相互讨论，共同进步。”学生学习效果1.理解并掌握函数最大（小）值的定义，能够准确地用数学语言描述这一概念。

2.学会使用图形法和解析法求解函数的最大（小）值，特别是能够通过求导数的方法找到函数的极值点，并判断它们是最大值还是最小值。

3.掌握闭区间上连续函数的最大（小）值定理，理解其证明的思路和意义，并能够应用该定理解决实际问题。

4.能够将实际问题抽象成函数模型，运用所学知识求解最大（小）值，从而解决实际问题。

5.通过小组合作和课堂讨论，提高学生的逻辑思维能力、数学抽象思维和数据分析观念，增强团队合作意识。

6.在解决实际问题的过程中，学生能够将数学知识与现实世界联系起来，增强数学建模能力。

7.学生能够理解函数最大（小）值在生活中的应用，如优化问题、成本最小化、收益最大化等，提高对数学价值的认识。

8.学生在完成课后习题的过程中，能够独立思考，遇到困难时能够主动寻求帮助，形成良好的学习习惯。

9.学生能够将本节课所学知识与其他数学知识进行整合，形成完整的数学知识体系。

10.学生在学习过程中，能够逐渐培养对数学的兴趣和热情，提高自主学习能力。课堂小结，当堂检测1.课堂小结：

本节课我们学习了函数的最大（小）值，重点掌握了以下知识点：

-函数最大（小）值的定义及求解方法（图形法、解析法）；

-闭区间上连续函数的最大（小）值定理；

-实际问题中建立函数模型并求解最大（小）值的方法。

通过本节课的学习，我们明白了如何寻找函数的最大（小）值，并将其应用于解决实际问题。

2.当堂检测：

（1）选择题：

1）函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最小值是（）

A.0

B.1

C.-1

D.-2

2）已知函数g(x)=x^3-3x在x=1处取得极值，那么该极值是（）

A.最大值

B.最小值

C.不是极值

D.无法判断

（2）计算题：

求函数h(x)=x^4-4x^2+4在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

（3）应用题：

某企业的生产成本C(x)与产量x之间的关系为C(x)=3x^2+5x+10，其中x表示生产的产品数量（单位：万件）。求该企业在产量为多少时，成本最低？

（4）思考题：

请思考，为什么闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值？

当堂检测旨在检验学生对本节课知识点的掌握程度，希望大家能够积极参与，认真完成。在完成检测过程中，如果遇到问题，可以与同学讨论或向老师请教。课后作业1.计算题：

求函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

2.应用题：

一辆汽车以vkm/h的速度行驶，其燃油消耗量C(v)与速度v之间的关系为C(v)=0.1v^2+2v+10。求该汽车在什么速度下行驶时，燃油消耗量最小？

3.分析题：

分析函数g(x)=(x-1)^2在区间[0,2]上的最大值和最小值，并说明理由。

4.证明题：

证明函数h(x)=x^2在区间[0,1]上取得最大值和最小值。

5.拓展题：

设函数F(x)=x^4-4x^3+4x^2，求在区间[0,3]上的最大值和最小值，并讨论函数的增减性。

1.计算题答案：

f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得到x=±1。在x=-1时，f(x)取得最大值2；在x=1时，f(x)取得最小值-2。

2.应用题答案：

C(v)的导数为C'(v)=0.2v+2，令C'(v)=0得到v=-10。由于速度不能为负数，所以考虑v=0时，C(v)取得最小值10。

3.分析题答案：

g(x)在x=1处取得最小值0，在x=2处取得最大值1。因为g(x)是一个开口向上的抛物线，对称轴为x=1，所以在x=1处取得最小值，而在区间端点x=0和x=2处，由于离对称轴越远，函数值越大。

4.证明题答案：

h(x)=x^2在区间[0,1]上取得最小值0（在x=0时），最大值1（在x=1时）。因为h(x)是一个开口向上的抛物线，且在[0,1]区间内单调递增。

5.拓展题答案：

F(x)的导数为F'(x)=4x^3-12x^2+8x，令F'(x)=0得到x=0,2,2（重根）。在x=0时，F(x)取得最小值0；在x=2时，F(x)取得最大值4。此外，F(x)在[0,2]区间内单调递减，在[2,3]区间内单调递增。板书设计1.标题：

第一章集合与函数概念

1.3.1函数的最大（小）值

2.重点知识点：

-函数最大（小）值的定义

-求解方法：

-图形法

-解析法（导数法）

-闭区间连续函数最大（小）值定理

3.结构框架：

-引入：函数极值的概念

-展开：

-图形法示例

-解析法步骤

-最大（小）值定理说明

-应用：实际问题案例分析

4.示例与解答：

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