15.1.1从分数到分式教案2023-2024学年人教版八年级上册数学

.1.1从分数到分式分式例题练习二、分式有意义三、分式值为零教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图常规积累回忆所学知识，你能说出整式的概念吗？1、 整式包括单项式和多项式2、 单项式：只有数字或字母的积的式子3、 多项式：几个单项式的和思考回答让学生通过复习整式的概念，明确单项式和多项式统称为整式，为本节课的迁移伏笔．环节一：创设情境导入新课【探究1】思考：1.长方形的面积为10cm²，长为7cm，宽应为

cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为

。2.把体积为200cm³的水倒入底面积为33cm²的圆柱形容器中，水面高度为

cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为

.给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情境中，类比学过的分数的知识，归纳其他这几个式子与分数的相同点和不同点，从而引入分式的概念通过具体的实际问题列出式子，形成对比，自然过渡到分式的探索和学习分式的必要性，让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程．问题情境的引入，让学生初步感受分式是解决问题的一种模型，体会用字母表示实际问题中的数量关系，从特殊到一般的思想。环节二：实践探究交流新知分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式。如果B中含有字母，代数式就叫做分式。A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．【探究2】分式与整式的区别和联系下列各式中，那些是整式？那些是分式？5x－7，3x2－1，eq\f(b－3,2a＋1)，eq\f(m（n＋p）,7)，－5，eq\f(x2－xy＋y2,2x－1)，eq\f(2,7)，eq\f(4,5b＋c)，eq\f(a,π)，eq\f(x,x)，eq\f(a2－b2,a－b).学生回答完问题后，让学生说出整式与分式的区别．⑴联系：分式的分子分母必须为整式⑵区别：整式的分母不含有字母；分式的分母必须含有字母【探究3】我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0，要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式有意义、无意义及分式值为0的条件：我们知道除数不能为0，通过学生思考、讨论等活动，让学生充分认识到：(1)分式有意义：分母不为0；(2)分式无意义：分母为0；(3)分数值为0：分子为0，分母不为0.让学生观察思考，并与小学学过的分数对比，学生先回答，教师后归纳总结．借助学生对于分数的概念的已有认识，学习分式的概念是十分自然的知识扩充，教学中按照从特殊到一般、具体到抽象的认识过程易于让学生接受．与整式比较突出对分式概念的理解，加深学生对分式的理解．类比分数的分母不能为0，得出分式有意义的条件，进而能归纳出分式无意义以及值为0的情况．环节三：开放训练体现应用例1下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)eq\f(2,3x)；(2)eq\f(x,x－1)；(3)eq\f(1,5－3b)；(4)eq\f(x＋y,x－y).解：(1)要使分式eq\f(2,3x)有意义，则分母3x≠0，则x≠0；(2)要使分式eq\f(x,x－1)有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；(3)要使分式eq\f(1,5－3b)有意义，则分母5－3b≠0，即b≠eq\f(5,3)；(4)要使分式eq\f(x＋y,x－y)有意义，则分母x－y≠0，即x≠y；变式1：当x为何值时，下列分式的值为0?(1)eq\f(2x,2x－6)；(2)eq\f(x2－16,x－4)变式2：当x为何值时下列分式无意义？(1)eq\f(x－5,x＋5)，(2)eq\f(x－3,（x＋3）（2x－2）).变式3：当x为何值时分式eq\f(3,x－5)的值为正？师生共同总结解决上述问题的注意事项：(1)分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的x的解集中的公共部分，就是这类题目的解．(2)分式的值为正数或负数时，分式的分子分母同号或异号.练习：填空：⑴当x______时，分式有意义；⑵当x______时，分式有意义；⑶当b______时，分式有意义；⑷当x,y满足关系_______时，分式有意义；求当x时，分式的值为零.探究问题：分式正负性的判断当x为何值时，分式eq\f(3x－6,x2＋1)的值为负数？解：因为eq\f(3x－6,x2＋1)为负数，所以3x－6与x2＋1异号．因为x2＋1>0，即x2＋1为正数，所以只有当3x－6为负数，即3x－6<0时，eq\f(3x－6,x2＋1)的值为负数，所以x<2.分式的分子与分母同号时，分式的值为正数；异号时，分式的值为负数．在解答分式值的正负性问题时，要按照以上结论分情况讨论．思考题：若分式eq\f(2x,x＋2)－1的值是正数、负数、0时，求x的取值范围．学生观察、思考、讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示结果后,教师点评归纳．教师引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示教师引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示．1.通过例题教学加深学生对分式有意义的条件的理解，并能正确地求出分式有意义的条件．2．让学生明白分式的值为0、为正数、负数时必须同时满足的条件．区别“或”“且”的用法.通过具体问题让学生自主探究，教师引导学生比较、探索，并充分讨论．学生在这样的数学活动中，通过积极参与来达到知识技能、数学思维、情感态度等目标的全面提高．环节四：课堂小结这节课我们学习了那些知识？学生自己回顾、总结、梳理所学的知识：(1)分式的概念；(2)分式何时有意义，何时无意义，何时值为0；(3)分式的值为正数、负数时必须同时满足的条件，“或”与“且”的正确使用．教师可利用下表帮助学生总结：引导学生从知识和方法两个方面总结自己的收获，提升综合运用知识的能力.学生对学习情况反思，帮助学生获得成功的体验和失败的感受，积累学习经验.课后反思

备课素材一、导入新知【类比导入】1.计算：（1）eq\f(4,64)；（2）eq\f(20,1280).思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题.学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质.2.你能说出分数的基本性质吗？一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.3.尝试用字母表示分数的基本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式eq\f(a,b)＝eq\f(a·b,b·c)，eq\f(a,b)＝eq\f(a÷c,b÷c)（其中a，b，c是实数，且c≠0）.【说明与建议】说明：通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步学习运用类比转化的思想方法研究问题.建议：教师引导学生用语言和式子表示分式的基本性质，这是学生运用类比的方法可以做到的.教学中教师可再设计一些分式变形的题目帮助学生探索分式的基本性质.【归纳导入】1.请同学们考虑：eq\f(3,4)与eq\f(15,20)相等吗？eq\f(9,24)与eq\f(3,8)相等吗？为什么？2.说出eq\f(3,4)与eq\f(15,20)之间变形的过程，eq\f(9,24)与eq\f(3,8)之间变形的过程，并说出变形依据.思考：eq\f(3,4)与分式eq\f(3a,4a)相等吗？分式eq\f(a2b,ab2)与分式eq\f(a,b)相等吗？如果a≠0，那么eq\f(3,4)＝eq\f(3a,4a)，只要eq\f(a2b,ab2)与eq\f(a,b)都有意义，那么eq\f(a2b,ab2)＝eq\f(a,b).你认为分式和分数具有相同的性质吗？你能用语言描述吗？你能用式子表示吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.可用式子表示为eq\f(A,B)＝eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷C,B÷C)（C≠0），其中A，B，C是整式.【说明与建议】说明：采用归纳探究学习、引导启发的方法探究分式的基本性质，并初步探究应用分式的基本性质将分式变形.建议：教师提醒学生注意有关分式题目中的隐含条件，说明应用分式基本性质对分式进行变形时需要注意的问题.二、命题热点命题角度1分式的基本性质1.下列各式中，正确的是（A）A.eq\f(a＋2,a－2)＝eq\f(a2－4,（a－2）2) B.eq\f(b,a)＝eq\f(b＋2,a＋2) C.eq\f(b,a＋2b)＝eq\f(1,a＋2) D.eq\f(－a＋b,c)＝－eq\f(a＋b,c)命题角度2分式的约分2.约分：eq\f(12a2bc,4ab)＝3ac.3.请在下列三个代数式中，任选两个构成一个分式，化简该分式并给a，b一个合适的数，求化简后代数式的值：①a2－1；②ab－b；③b＋ab.解：①②组合可得分式eq\f(a2－1,ab－b)，原式＝eq\f(（a＋1）（a－1）,b（a－1）)＝eq\f(a＋1,b)，∵b≠0，a≠1，∴当a＝2，b＝3时，原分式有意义.原式＝eq\f(2＋1,3)＝1.（答案不唯一）教学设计课题15.1.2第1课时分式的基本性质与约分授课人素养目标1.理解并掌握分式的基本性质.2.能运用分式的基本性质约分.3.通过类比分数的基本性质探索分式的基本性质，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.教学重点掌握分式的基本性质，利用分式的基本性质进行分式的约分.教学难点灵活运用分式的基本性质进行分式的约分.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.分式的定义？2.小学里学过的分数的基本性质是什么？温故知新.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】填空：eq\f(2,3)＝eq\f(10,（）)，eq\f(24,56)＝eq\f(3,（）)，eq\f(2,3)＝eq\f(2a,（）)（其中a≠0），eq\f(5c,9c)＝eq\f(5,（）)（其中c≠0）.分数的基本性质：一个分数的分子分母同时乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.思考：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？从学生的已有的知识出发，设问题情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1.教师提问【课堂引入】中的思考后，学生口述猜想，教师总结：分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.你能用式子表示这个性质吗？eq\f(A,B)＝eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷C,B÷C)（其中A，B，C是整式，且C≠0）.师生活动：回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质.让学生尝试用式子表示分式的基本性质.2.怎样进行分式的约分？约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.3.在化简分式eq\f(5xy,20x2y)时，小颖和小明的做法出现分歧：小颖：eq\f(5xy,20x2y)＝eq\f(5x,20x2)；小明：eq\f(5xy,20x2y)＝eq\f(5xy,4x·5xy)＝eq\f(1,4x).你对他俩的解法有何看法？说说看！4.最简分式：把一个分式约分后，分式中的分子和分母没有公因式，这样的分式叫做最简分式.1.回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程.2.让学生尝试用式子表示分式的基本性质，加强对学生的抽象表达能力的培养.3.在学完分数的约分后，学习分式的约分是十分自然的知识扩充.按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程教学.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1（教材第129页例2）填空：（1）eq\f(x3,xy)＝eq\f(（）,y)，eq\f(3x2＋3xy,6x2)＝eq\f(x＋y,（）)；（2）eq\f(1,ab)＝eq\f(（）,a2b)，eq\f(2a－b,a2)＝eq\f(（）,a2b)（b≠0）.解：（1）x2；2x.（2）a；2ab－b2.例2（教材第131页例3）约分：（1）eq\f(－25a2bc3,15ab2c)；（2）eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)；（3）eq\f(6x2－12xy＋6y2,3x－3y).解：（1）eq\f(－25a2bc3,15ab2c)＝－eq\f(5abc·5ac2,5abc·3b)＝－eq\f(5ac2,3b).（2）eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)＝eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)＝eq\f(x－3,x＋3).（3）eq\f(6x2－12xy＋6y2,3x－3y)＝eq\f(6（x－y）2,3（x－y）)＝2（x－y）.教师点拨：约分时，要先找出分子和分母的公因式.思考：如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？活动三：开放训练、体现应用【变式训练】1.不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号.（1）eq\f(－x,5y)；（2）eq\f(－3a,－7b)；（3）－eq\f(10m,－3n).解：（1）eq\f(－x,5y)＝－eq\f(x,5y).（2）eq\f(－3a,－7b)＝eq\f(3a,7b).（3）－eq\f(10m,－3n)＝eq\f(10m,3n).2.约分：（1）eq\f(－3a3,a4)；（2）eq\f(12a3（y－x）2,27a（x－y）)；（3）eq\f(x2－1,x2－2x＋1).解：（1）eq\f(－3a3,a4)＝－eq\f(3,a).（2）eq\f(12a3（y－x）2,27a（x－y）)＝eq\f(4a2（x－y）,9).（3）eq\f(x2－1,x2－2x＋1)＝eq\f(（x＋1）（x－1）,（x－1）2)＝eq\f(x＋1,x－1).师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.通过经历对例题和变式的探究过程，加深学生对分式的性质的理解，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.课堂小结1.课堂小结：（1）你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？2.布置作业：教材第133页习题15.1第4，5，6题.注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.板书设计15.1.2分式的基本性质第1课时分式的基本性质与约分1.分式的基本性质2.约分提纲挈领，重点突出.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.

1.复习：（1）因式分解的方法都有哪些？（2）回忆分式的基本性质和分数的通分及最小公倍数的定义.2.探究：（1）同学们，我们已经学习过分数的计算了，你们能不能快速地计算出eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)的结果？（2）同学们，你们做的第一步名称叫什么？提问：什么是分数的通分？其根据和关键是什么？类比启发：分数的通分大家会了，那么分式的通分呢？尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳出分式通分的定义吗？【说明与建议】说明：复习旧知唤醒学生的知识体系，利用分数的通分自然地引入分式的通分.建议：教学中教师一定要通过具体问题让学生自主探索.教师注意引导学生进行比较、探究，并进行充分讨论，最后统一认识，总结归纳出分式通分的具体步骤.【类比导入】（1）分数eq\f(3,2)，eq\f(1,4)，eq\f(5,8)的公分母是如何确定的？（2）你能确定分数eq\f(1,23·32·5)，eq\f(1,2·33·52)，eq\f(1,22·3·54)的公分母吗？（3）若把（2）分数分母中的3，5用x，y来代替，则分式eq\f(1,23x2y)，eq\f(1,2x3y2)，eq\f(1,22xy4)的公分母如何确定呢？（4）提问：你能概括出最简公分母的定义吗？归纳类比：类比分数的通分，你能想出如何对分式进行通分吗？填空：利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.【说明与建议】说明：通过具体的例子，引导学生回忆前面学过的分数的通分，再用类比的方法得出分式的通分.建议：以此活动激活学生原有的知识体系，体现学生的学习是一个在原有知识上自我生成的过程，从而让学生掌握类比的学习方法.二、命题热点命题角度1求最简公分母1.分式eq\f(1,3x2y2)，eq\f(1,4xy2)的最简公分母是（A）A.12x2y2 B.12x3y4 C.xy D.xy2命题角度2利用分式的基本性质进行通分2.通分eq\f(1,x2－6x＋9)，eq\f(2,x2－9)，eq\f(1,3x－9).解：它们的最简公分母是3（x－3）2（x＋3），eq\f(1,x2－6x＋9)＝eq\f(3x＋9,3（x－3）2（x＋3）)，eq\f(2,x2－9)＝eq\f(6x－18,3（x－3）2（x＋3）)，eq\f(1,3x－9)＝eq\f(x2－9,3（x－3）2（x＋3）).三、数学文化拓展阅读按遗嘱分马——通分有一位老人，他有3个儿子和17匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按照我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到遗嘱.遗嘱上写着：“我把17匹马全部留给我的3个儿子.长子得一半，次子得三分之一，给幼子九分之一.不许让马流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”这三兄弟疑惑不解.他们该怎么办呢？教学设计课题15.1.2第2课时分式的通分授课人素养目标1.理解最简公分母的含义，灵活运用分式的基本性质进行分式的通分.2.通过类比分数的通分，探索分式的通分法则，学会运用类比转化的思想方法研究数学问题，会用数学的思维思考现实问题.教学重点运用分式的基本性质进行分式的通分.教学难点确定分式的最简公分母，熟练地进行分式的通分.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】1.把分数eq\f(7,8)和eq\f(5,12)通分：eq\f(7,8)＝，eq\f(5,12)＝2.利用分式的基本性质把eq\f(1,2ab)和eq\f(2－b,3a2)化成分母都是6a2b的分式：eq\f(1,2ab)＝eq\f(1·（）,2ab·（）)＝eq\f(（）,6a2b)，eq\f(2－b,3a2)＝eq\f(（2－b）·（）,3a2·（）)＝eq\f(（）,6a2b).定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的的分式，叫做分式的通分.以学生为本的思想为指导，采用类比推理、合作学习等方法探究分式通分的概念.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】我们把分母6a2b叫做分式eq\f(1,2ab)和eq\f(2－b,3a2)的最简公分母.思考：最简公分母6a2b与分母2ab，3a2之间有什么关系？定义：一般取各分母的因式的的积作公分母，它叫做最简公分母.思考：如何确定最简公分母？师生归纳：1.确定最简公分母的一般步骤：（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式都要选取.（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式的最高次数.简称为“小、全、高”.这样取出的因式的积，就是最简公分母.2.通分的步骤：（1）将各个分式的分母分解因式；（2）确定最简公分母；（3）原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母.1.培养学生的总结归纳能力.2.通过寻找分式的最简公分母，掌握分式通分的关键.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例（教材第132页例4）通分：（1）eq\f(3,2a2b)与eq\f(a－b,ab2c)；（2）eq\f(2x,x－5)与eq\f(3x,x＋5).【点拨】通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，即最简公分母.解：（1）最简公分母是2a2b2c.eq\f(3,2a2b)＝eq\f(3·bc,2a2b·bc)＝eq\f(3bc,2a2b2c).eq\f(a－b,ab2c)＝eq\f(（a－b）·2a,ab2c·2a)＝eq\f(2a2－2ab,2a2b2c).（2）最简公分母是（x＋5）（x－5）.eq\f(2x,x－5)＝eq\f(2x（x＋5）,（x－5）（x＋5）)＝eq\f(2x2＋10x,x2－25).eq\f(3x,x＋5)＝eq\f(3x（x－5）,（x＋5）（x－5）)＝eq\f(3x2－15x,x2－25).【变式训练】通分：（1）eq\f(x,3y)与eq\f(3x,2y2)；（2）eq\f(x－y,2x＋2y)与eq\f(xy,（x＋y）2)；（3）eq\f(2mn,4m2－9)与eq\f(2m－3,2m＋3).解：（1）eq\f(x,3y)＝eq