高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型课后强化作业 新人教A版必修1

【成才之路】-学年高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型课后强化作业新人教A版必修1一、选择题1．下列函数中，增长速度最慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x[答案]B2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝50(x∈Z) B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1 D．y＝eq\f(1,100000)·ex[答案]D[解析]指数函数增长速度最快，且e>2，因而ex增长最快．3．(～长沙高一检测)如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是()A．x＞0 B．x＞2C．x＜2 D．0＜x＜2[答案]D4．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xn＞logaxC．对任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax[答案]D[解析]对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．5．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2[答案]C[解析]通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.6．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x[答案]D[解析]显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.二、填空题7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．[答案]甲8．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．[答案](1＋p)12－19．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法________①前5分钟温度增加越来越快；②前5分钟温度增加越来越慢；③5分钟后温度保持匀速增加；④5分钟后温度保持不变．[答案]②③[解析]前5分钟，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5分钟后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．三、解答题10．(～沈阳高一检测)某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x＜20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？[解析]只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木才量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x＜14.87时就考虑重栽，否则让它继续生长．11．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有eq\f(a,8).[解析]由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)，设再过t分钟水桶甲中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n(t＋5)＝eq\f(a,8)，所以(eq\f(1,2))eq\f(t＋5,5)＝(e－5n)eq\f(t＋5,5)＝e－n(t＋5)＝eq\f(1,8)＝(eq\f(1,2))3，∴eq\f(t＋5,5)＝3，∴t＝10.∴再过10分钟水桶甲中的水只有eq\f(a,8).12．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？[解析]依题意：得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝52.))∴甲：y1＝x2－x＋52，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p·q1＋r＝52①,p·q2＋r＝54②,p·q3＋r＝58③))①－②，得p·q2－p·q1＝2 ④②－③，得p·q3－