高中数学 3.2 第2课时 复数代数形式的乘除运算练习 新人教A版选修1-2

【成才之路】-学年高中数学3.2第2课时复数代数形式的乘除运算练习新人教A版选修1-2一、选择题1．(·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若eq\f(z,1＋i)＝2－i成立，则点P(a，b)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]A[解析]∵eq\f(z,1＋i)＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．2．(·新课标Ⅰ文)eq\f(1＋2i,1－i2)＝()A．－1－eq\f(1,2)i B．－1＋eq\f(1,2)iC．1＋eq\f(1,2)i D．1－eq\f(1,2)i[答案]B[解析]eq\f(1＋2i,1－i2)＝eq\f(1＋2i,1－2i＋i2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(1＋2i·i,－2i·i)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i，选B.3．(·新课标Ⅱ文)|eq\f(2,1＋i)|＝()A．2eq\r(2) B．2C．eq\r(2) D．1[答案]C[解析]∵eq\f(2,1＋i)＝1－i，∴|eq\f(2,1＋i)|＝|1－i|＝eq\r(2)，故选C.4．在复平面内，复数eq\f(10i,3＋i)对应的点的坐标为()A．(1,3) B．(3,1)C．(－1,3) D．(3，－1)[答案]A[解析]本题考查复数的乘法与除法．eq\f(10i,3＋i)＝eq\f(10i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(10＋30i,10)＝1＋3i.∴复数eq\f(10i,3＋i)对应的点坐标为(1,3)．[点评]复数运算中乘法、除法是考查的重点．5．(·开滦三中期中)若复数eq\f(a＋i,1－2i)是纯虚数，则实数a的值为()A．2 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(2,5)[答案]A[解析]∵eq\f(a＋i,1－2i)＝eq\f(a＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(a－2＋2a＋1i,5)是纯虚数，∴a＝2.6．(·安徽文，1)复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝()A．－1－i B．1－iC．－1＋3i D．1－2i[答案]B[解析]z－i＝eq\f(2＋i,i)＝1－2i，∴z＝1－i.二、填空题7．(·天津理)已知a、b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.[答案]1＋2i[解析]由(a＋i)(1＋i)＝bi得，a＋(1＋a)i－1＝bi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0,1＋a＝b))，∴b＝2，a＝1，∴a＋bi＝1＋2i.8．复数z满足(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，那么z＝________.[答案]2＋i[解析](1＋2i)·eq\x\to(z)＝4＋3i，eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.9．如果复数z＝eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝________[答案]－eq\f(2,3)[解析]z＝eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(2－bi1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(2－2b－b＋4i,5)，∴2－2b＝b＋4，∴b＝－eq\f(2,3).三、解答题10．计算：(1)(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)(2－i)(3＋i)；(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i24＋5i,5－4i1－i).[解析](1)(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)(2－i)(3＋i)＝(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)(7－i)＝eq\f(\r(3)－7,2)＋eq\f(7\r(3)＋1,2)i.(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i24＋5i,5－4i1－i)＝eq\f(4i4＋5i,5－4－9i)＝eq\f(－20＋16i,1－9i)＝eq\f(－45－4i1＋9i,82)＝eq\f(－441＋41i,82)＝－2－2i.一、选择题11．设复数z满足eq\f(1－z,1＋z)＝i，则|1＋z|＝()A．0 B．1C．eq\r(2) D．2[答案]C[解析]∵eq\f(1－z,1＋z)＝i，∴z＝eq\f(1－i,1＋i)，∴z＋1＝eq\f(1－i,1＋i)＋1＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，∴|z＋1|＝eq\r(2).12．(·广东文)若i(x＋yi)＝3＋4i，x、y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2 B．3C．4 D．5[答案]D[解析]由xi＋yi2＝3＋4i，知x＝4，y＝－3，则x＋yi的模为eq\r(x2＋y2)＝5.13．(·石家庄质检)设z＝1＋i(i上虚数单位)，则eq\f(2,z)＋z2等于()A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i[答案]C[解析]eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.14．(·长安一中质检)设z＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝()A．6z B．6z2C．6eq\o(z,\s\up6(－)) D．－6z[答案]C[解析]z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，z3＝－1，z4＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，z5＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，z6＝1，∴原式＝(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)＋(－1＋eq\r(3)i)＋(－3)＋(－2－2eq\r(3)i)＋(eq\f(5,2)－eq\f(5\r(3),2)i)＋6＝3－3eq\r(3)i＝6(eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i)＝6eq\o(z,\s\up6(－)).二、填空题15．(·湖北文，12)若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.[答案]3[解析]eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(3＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(3－b,2)＋eq\f(b＋3,2)i＝a＋bi，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3－b,2)＝a,\f(b＋3,2)＝b))，解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.16．若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，eq\o(z,\s\up6(－))对应点在直线y＝eq\f(4,3)x上，则z＝________.[答案]－3＋4i[分析]利用eq\o(z,\s\up6(－))对应点在直线y＝eq\f(4,3)x上可设出z或eq\o(z,\s\up6(－))，再利用|z|＝5可列方程求解，最后由z的对应点在第二象限决定取舍．[解析]设eq\o(z,\s\up6(－))＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti，∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，∵z的对应点在第二象限，∴t<0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.三、解答题17．(·重庆南开中学高二期中)已知eq\f(m,1＋i)＝1