高中数学 3.2 第1课时基础巩固 北师大版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学3.2第1课时基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示()A．t＝1s时的速度 B．t＝1s时的加速度C．t＝1s时的位移 D．t＝1s时的平均速度[答案]B[解析]v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．2．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是()A．14 B．4C．10 D．6[答案]A[解析]速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.3．下列四个命题：①曲线y＝x3在原点处没有切线；②若函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(0)＝0；③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④函数y＝x5的导函数的值恒非负．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]①中y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；②中f(x)在x＝0处导数不存在；③中s(t)对时间t的导数为瞬时速度；④中y′＝5x4≥0.所以命题①②③为假命题，④为真命题．二、填空题4．人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________．[答案]服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加．5．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．[答案]0.08[解析]因为p0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值．因为p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05，所以p′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．三、解答题6．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系式为C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量；(3)当日产量为75件时的边际成本．[解析](1)当x＝75时，C(75)＝eq\f(1,4)×752＋60×75＋2050＝7956.25(元)，∴eq\f(C75,75)≈106.08(元/件)．故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7956.25元，106.08元/件．(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量eq\f(ΔC,Δx)＝eq\f(C90－C75,90－75)＝101.25(元/件)．(3)当日产量为75件时的边际成本∴C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴C′(75)＝97.5(元).一、选择题1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，(s的单位是s，t的单位是s)，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7米/秒 B．6米/秒C．5米/秒 D．8米/秒[答案]C[解析]s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6 B．18C．54 D．81[答案]B[解析]瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(33＋Δt2－3×32,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))3(6＋Δt)＝18.3．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()[答案]D[解析]由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．[点评]函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些．4．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为()m/s2A．teq\o\al(3,0)＋3t0 B．3teq\o\al(2,0)＋3C．3teq\o\al(3,0)＋3t0 D．teq\o\al(3,0)＋3[答案]B[解析]∵v′(t)＝3t2＋3，则当t＝t0s时的速度变化率为v′(t0)＝3teq\o\al(2,0)＋3(m/s2)．即t＝t0s时轿车的加速度为(3teq\o\al(2,0)＋3)m/s2.[点评]运动方程s＝s(t)的导数表示的是t时刻时的瞬时速度，速度方程v＝v(t)的导数表示的是t时刻时的加速度．5．(·湖北理)设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2[答案]D[解析]本题主要考查导数的有关应用．根据题意，V＝eq\f(4,3)πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)球的表面积增长速度S′＝2·4πR(t)·R′(t)，又∵球的体积以均匀速度C增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C二、填空题6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过ts后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.[答案]eq\f(3,2)[解析]s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，设6t＋1＝10，则t＝eq\f(3,2).7．原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料．要从原油提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第6h时，原油温度的瞬时变化率为________，其意义为________________________________________________________________________．[答案]5在第6h附近时，原油温度约以5℃/h的速度上升[解析]f′(x)＝2x－7，则f′(6)＝2×6－7＝5.在第6h附近时，原油温度大约以5℃/h的速度上升三、解答题8．如图所示，为甲、乙两化工厂在某一时间段的排污量与时间的关系图示(其中W1(t)，W2(t)分别表示甲、乙两工厂的排污量)，试比较哪个工厂的治污效果好？[分析]取区间[x0，x0＋Δx]，则由|eq\f(Δy,Δx)|＝|eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)|来比较治污效果的好杯．[解析]观察图形，单位时间内，W1(t)中|eq\f(Δy,Δt)|比较大，而W2(t)中|eq\f(Δy,Δt)|比较小，工厂甲比工厂乙的平均治污染率大，从而判定工厂甲治污效果更好．[点评]从“陡峭”的程度上也可形象说明，W1(t)图形更加“陡峭”，因而当Δt相同时，Δy＝f(t0＋Δt)－f(t0)的值比W2(t)更大些．9．一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问：(1)f′(t)的符号是什么？为什么？(2)f′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f(3)＝65℃，你能画出函数在点t＝3min时图像的大致形状吗？[解析](1)f′(t)是负数．因为f′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f′(t)为负数．(2)f′(3)＝－4表明在3min附近时，温度约以4℃/min的速度下降，如图所示．10．当销售量为x，总利润为L＝L(x)时，称L′(x)为销售量为x时的边际利润，它近似等于销售量为x时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7