高中数学 2.2.3 第1课时 直线与圆的位置关系基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学2.2.3第1课时直线与圆的位置关系基础巩固北师大版必修2一、选择题1．直线4x＋3y－40＝0与圆x2＋y2＝100的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交 D．相切或相离[答案]C[解析]圆心O到直线的距离d＝eq\f(|－40|,5)＝8<10＝r，∴直线与圆相交．2．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦AB长等于()A．4 B．2C．2eq\r(2) D．eq\r(2)[答案]C[解析]直线y＝kx过圆心，被圆x2＋y2＝2所截得的弦长恰为圆的直径2eq\r(2)，故选C.3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0[答案]D[解析]设所求切线方程为y－eq\r(3)＝k(x－1)．解法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＝0,y＝kx－k＋\r(3)))⇒x2－4x＋(kx－k＋eq\r(3))2＝0.该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k＝eq\f(\r(3),3).∴y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0.解法二：点(1，eq\r(3))在圆x2＋y2－4x＝0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为(2,0)，∴eq\f(0－\r(3),2－1)·k＝－1.解得k＝eq\f(\r(3),3)，∴切线方程为x－eq\r(3)y＋2＝0.解法三：把x2＋y2－4x＝0配方，得(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，而过点P的半径所在直线的斜率为－eq\r(3)，则切线斜率为eq\f(\r(3),3)，由此排除A、B，再代入P(1，eq\r(3))，排除C.4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[答案]C[解析]本题考查直线与圆的位置关系．圆的圆心为(a,0)，半径为eq\r(2)，所以eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1，几何法是解决直线与圆交点个数问题的常规方法．5．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上与直线x＋y＋1＝0的距离等于eq\r(2)的点共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]C[解析]圆心到直线的距离d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，r＝2eq\r(2)，所以直线与圆相交．又r－d＝eq\r(2)，所以劣弧上到直线的距离等于eq\r(2)的点只有1个，在优弧上到直线距离等于eq\r(2)的点有2个．6．(陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切 B．相交C．相离 D．不确定[答案]B[解析]本题考查直线与圆的位置关系判定，点到直线距离公式等．由点(a，b)在圆x2＋y2＝1外知a2＋b2>1，而圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离为d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，所以直线与圆相交．二、填空题7．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案]eq\f(25,4)[解析]本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力．由题意知切线的斜率存在，设为k，切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由点到直线的距离公式，得eq\f(|2－k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝－eq\f(1,2)，∴切线方程为－eq\f(1,2)x－y＋eq\f(5,2)＝0，令x＝0，y＝eq\f(5,2)，令y＝0，x＝5，∴三角形面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4).8．(·湖北理，12)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.[答案]2[解析]本题考查直线与圆的位置关系．依题意，圆心O(0,0)到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的eq\f(1,4)，即eq\f(|a|,\r(2))＝eq\f(|b|,\r(2))＝1×sin45°＝eq\f(\r(2),2)，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解析](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)．故可设圆心C为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2eq\r(2))2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为eq\r(32＋t－12)＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋a＝0，,x－32＋y－12＝9.))消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a因此x1,2＝eq\f(8－2a±\r(56－16a－4a2),4)，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝eq\f(a2－2a＋1,2). ①由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ②由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.一、选择题1．直线a(x＋1)＋b(y＋1)＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是()A．相切 B．相离C．相切或相交 D．相切或相离[答案]C[解析]直线过定点(－1，－1)，而点(－1，－1)恰巧是圆x2＋y2＝2上一点，故直线与圆相切或相交．2．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么eq\f(y,x)的最大值是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)[答案]D[解析]eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，即圆(x－2)2＋y2＝3上的点和原点(0,0)连线斜率的最大值．如图所示，OA取得最大值kOA＝eq\r(3).故选D.二、填空题3．已知圆的方程是x2＋y2＝2，则经过圆上一点(1，－1)的切线方程是__________．[答案]x－y＝2[解析]因为过x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，故x－y＝2即为所求．4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案](－13,13)[解析]由题意知，圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d<1，∴eq\f(|c|,13)<1，∴－13<c<13.三、解答题5．求实数m，使直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)相交；(2)相切；(3)相离．[解析]圆的方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心为(3,0)，半径为r＝2，圆心到直线的距离d＝eq\f(6,\r(1＋m2)).(1)若直线与圆相交，则d<r，即eq\f(6,\r(1＋m2))<2，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).(2)若直线与圆相切，则d＝r，即eq\f(6,\r(1＋m2))＝2，解得m＝－2eq\r(2)或2eq\r(2).(3)若直线与圆相离，则d>r，即eq\f(6,\r(1＋m2))>2，解得－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).6．已知直线l过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．[解析]经检验知，点P(2,3)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1的外部，①若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y－3＝k(x－2)．∵直线l与圆相切，∴eq\f(|k×1－－2－2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得：k＝eq\f(12,5).∴所求直线l的方程为：y－3＝eq\f(12,5)(x－2)，即：12x－5y－9＝0.②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意，∴所求直线l的方程为：x＝2，综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.7．已知圆C∶(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l∶kx－y－4k＋3＝0.(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．[解析]解法一：(1)∵圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，∴圆心为C(3,4)，半径为2，∴圆心到直线的距离为d＝eq\f(|3k－4－4k＋3|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1)).假设d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))<2，即3k2－2k＋3>0.∵Δ＝(－2)2－36<0，∴k为任意实数，∴不论k取什么值，d<2，即不论k取什么值时，直线和圆都相交．(2)设直线和圆的交点为A，B，则由勾股定理得(eq\f(1,2)|AB|)2＝r2－d2，当d最大时，AB最小．∵d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k＋12,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))；∵k2＋1－2k＝(k－1)2≥0；∴k2＋1≥2k.∴eq\f(2k,k2＋1)≤1，当k＝1时取等号．∴当k＝1时，d的值最大，且为eq\r(2)，此时有(eq\f(1,2)|AB|)2＝r2－d2＝4－2＝2，即|AB|＝2eq\r(2).∴当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2eq\r(2).解法二：圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，∴圆心为C(3,4)，半径为r＝2.(1)直线方程可化为k(x－4)＋(3－y)＝0，∴直线过定点P(4,3)．∵(4－3)2＋(3－4)2<4，∴点P在圆C内部．