湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

高二期末联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.1B.C.3D.52.若，则下列三角函数值一定为负值的是（）A.B.C.D.3.在中，内角的对边分别为，则（）A.B.C.D.14.设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（）A.B.C.D.5.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（）A.诗经组中位数为3，众数为2B.论语组平均数为3，方差为1C.春秋组平均数为3，众数为2D.礼记组中位数为3，极差为46.如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.7.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.在区间共有8097个零点D.的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称8.在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限上的一点，为在轴上的投影，则的最大值为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知均为正数，则使得“”成立的充分条件可以为（）A.B.C.D.10.如图，棱长为2的正方体中，，则下列说法正确的是（）A.时，平面B.时，四面体的体积为定值C.时，，使得平面D.若三棱锥的外接球表面积为，则11.已知函数，其中实数，且，则（）A.当时，没有极值点B.当有且仅有3个零点时，C.当时，为奇函数D.当时，过点作曲线的切线有且只有1条三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某果园中芒果单果的质量（单位：）服从正态分布，若从该果园中随机挑选4个芒果，则恰有2个单果的质量均不低于100的概率为__________.13.已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，则的最大值为__________.14.在锐角中，依次为三个内角的对边，已知，求的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校.某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.（1）求在魏公村下车的人数的分布列及期望；（2）已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率.16.（本小题满分15分）数列的前项和为，当时，，数列满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）记数列，数列的前项和为，求.17.（本小题满分15分）如图，是半圆的直径，依次是半圆弧上的两个三等分点，将沿翻折到，使得，得到四棱锥.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）若是的极大值点，求的值；（2）用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数.注：若，当时，，当时，.19.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为.（1）求的方程；（2）过的直线与交于，记关于轴的对称点为.①试证直线恒过定点；②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围.高二期末联考数学参考答案及解析一､选择题1.A【解析】.故选A.2.C【解析】与异号，又.故选C.3.C【解析】由题意可得..故选C.4.D【解析】由抛物线定义可知2，即有，解得，所以为原点，从而.故选D.5.B【解析】对于A数据为：时，满足中位数为3，众数为2，但不满足每位选手的失分不超过6分，故A错误；对于B，假设有一位同学失7分，则方差与方差为1矛盾，假设不成立，故B正确；对于C，数据为：1，2，2，2，2，时，满足平均数为3，众数为2，但是不满足每位选手失分不超过6分，故C错误；对于D，数据为：，满足中位数为3，极差为4，但最大值超过6分，故D错误.故选B.6.A【解析】（或补角）为异面直线与所成的角，平面，又平面，，.故选A.7.D【解析】对于A，由题图可知，，从而，且位于单调递增区间，结合，可知，故A不正确；对于B，由图可得，解得，，又，所以，所以，故，故B错误；对于，共有8096个零点，故C不正确；对于D，的图象向左平移个单位长度后得到的图象的函数解析式为，显然的定义域为全体实数，所以的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称.故D正确.故选D.8.B【解析】由题意设，设，，则，其中，故，对任意的，则，令函数，其中，则.当（时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，故.故选B.二､多选题9.AD【解析】对于A，因为，故，故A选项正确；对于B，取，此时满足0，但，B选项错误；对于C，取，满足，所以C选项错误；对于D，由可知，，因为，所以，故D选项正确.故选AD.10.ABD【解析】对于A选项，时，，，又平面，平面，故平面，故A正确；对于B选项，时，的面积为定值；而点是边上的点，且平面点到平面的距离即为直线到平面的距离为定值，四面体的体积为定值，故B正确；对于C选项，时，以为坐标原点，分别为轴为正向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，记平面的法向量为，则，即，故可取，又时，，即不存在，使得平面，故C不正确；对于D选项，平面于点，且的外接圆半径；外接球的半径；故由有：，故D正确.故选ABD.11.BCD【解析】当时，，则，当时，，当或时，，所以分别是函数的极大值点和极小值点，选项A错误；当时，，当，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增.当有且仅有3个零点时，且得得，选项B正确；当时，，所以为奇函数，选项C正确；不在曲线上.设过点的曲线切线的切点为，过点的曲线切线的方程为，又点在的切线上，有，即，设，当或时，单调递减，当时，单调递增，，易知与只有一个交点，选项D正确.故选BCD.三､填空题12.【解析】由题可知，若从该果园中随机挑选4个芒果，则恰有2个单果的质量均不低于100g的概率为.故答案为.13.99【解析】由已知，可得-，所以，设数列的前项和为，则，若100，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为99.故答案为99.14.【解析】，同理：，将看作常数，上式可以看作关于的函数，故只需求分母的取值范围，令，解法一：，当单调递增，当单调递减；当，又，代入.故答案为.解法二：令，令，则，因为，当时，取最大值，当或时，取，所以，即，代入.故答案为.四､解答题15.解：（1）的可能取值为，由题意知每个人在魏公村下车的概率均为，且相互不影响，所以，，012345.（2）设事件：贾同学比李同学先下车；事件：贾同学在魏公村下车，且李同学在北京大学站下车，，，.16.解：（1）由时，，知数列是等差数列，由，知数列的公差为1，则，，当时，，且也满足上式，，，由为定值，知数列是等比数列.（2）易见，则则两式相减得，化简得.17.解：（1）如图1，连接，设，连接，由是依次是半圆弧上的两个三等分点，所以，又是全等的等边三边形，四边形及均为菱形，由，得，在中，是的中点，且，所以，在中，是的中点，且，所以，又，所以平面.（2）法一：如图2，由为半圆的直径，在半圆弧上，所以由（1）得平面，又平面，所以，又，，所以平面，所以二面角的大小等于二面角的大小与的和，由平面，所以平面，作于，由，得为的中点，连，因为平面，所以，又，则平面，又平面，所以，故即为的平面角.在中，，在中，分别为的中点，所以，则，设二面角的大小为，所以.法二：由，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，设平面的法向量，由，即，取，则，则，由（1）平面，所以可取平面的法向量，，设二面角的大小为，则.18.解：（1），由是的极大值点，则，解得当时，，当时，，令，则所以在上单调递减，则，即，此时在上单调递增；当时，令，则故即单调递减，又所以当时，单调递减，故当时，是的极大值点.（2）I：当时，，，此时无零点；II：当时，，①若，即时，，此时不是的零点；②若，即时，，此时是的零点.III：当时，零点个数等于零点个数.显然是的一个零点.当时，可转化为，令，则，由（1）知，，所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，的图象如下：①当或或时，有1个零点；②当或时，有2个零点；③当时，无零点.综合I，II，III得，当或时，有2个零点；当或或时，有3个零点；当或时，有4