2023-2024学年四川省眉山市仁寿县高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数求导正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D2.学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗D〖解析〗由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种故选：D3.函数的导函数，满足关系式，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由进行求导得：，当时，可得：，解得：.故选：A.4.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意可知切点，函数的图象在点处的切线方程是，，即又即故选：D.5.展开式中项的系数为（）A. B. C.15 D.5〖答案〗B〖解析〗设的通项为，当时，的系数为；当时，的系数为.所以展开式中项系数为，故选：B.6.函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是A.10 B.9 C.8 D.〖答案〗B〖解析〗，由题意可知，，，当，且，解得：，所以的最小值是9.故选：B7.“四书”“五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，故总共有种排法，故选：C.8.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗构建，则，因为，则，即，可知在上单调递减，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，令，可得，故A正确．再令，可得，故C正确．，可得，两式相加，故两式相减可得，故B正确，D错误，故选：ABC．10.关于函数，下列判断正确的是（）A.函数的图像在点处的切线方程为B.是函数的一个极值点C.当时，D.当时，不等式的解集为〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，，所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；当时，，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，即；故C正确；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；故选：ACD.11.定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（）A.， B.函数的极大值与极小值之和为6C.函数有三个零点 D.函数在区间上的最小值为1〖答案〗AB〖解析〗由题意，点在函数的图象上，故；又.由，即.故A正确；所以，所以.由或.所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为；极小值为，所以极大值与极小值之和为：，故B正确；因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；又，，所以函数在上的最小值为，故D错.故选：AB第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若展开式中各项系数的和等于64,则展开式中的系数是________.〖答案〗〖解析〗因为展开式中各项系数的和等于64，所以，解得；所以展开式的通项为，令，得的系数为.故〖答案〗为13.甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有________种．（用数字作答）〖答案〗24〖解析〗甲乙捆绑作为一个人与其他人排列，共有种排法，因为甲在丙左侧与甲在丙右侧的排法数相同，所以甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧的不同的站法共有种.故〖答案〗为：2414.已知不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗因为对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立，构造函数，所以，又因为，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时,因为当时，单调递减，故，两边取对数得：,所以，令，则，令，得：，令，得：，所以在单调递增，在单调递减，所以，故的最小值是.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数（）的图象在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意得：∴，∴，.（2）由（1）知：不等式在上恒成立，即在恒成立.设，则令，得，（舍去）列表如下：1-0+单调递减极小值单调递增∴此时的极小值为，∴实数的取值范围为16.在的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；（3）求展开式中含的项的系数及有理项.解：（1）展开式的通项为因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，所以，即，所以（舍去）或.（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即.令得，即展开式系数和为（3）通项公式：，由，，可得含的项的系数为.设展开式中第项为有理项，由当、4、8时对应的项为有理项，有理项分别为：；；．17.某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，按下面要求排出一个节目单，各有多少种排法？（1）3个语言类节目彼此要隔开；（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目；（3）前3个节目中要有语言类节目．解：（1）第一步：先排4个歌唱节目有种排法；第二步：4个歌唱节目前后有5个空，排3个语言类节目有种排法，共种排法；（2）第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；第二步：剩下的3个语言类节目和2个歌唱节目共5个节目全排列有种排法，共种排法；（3）若前3个节目中都是唱歌节目有种排法，而7个节目的全排列有种排法，故前3个节目中有语言类节目的排法有种排法．18.已知函数.（1）讨论在定义域上的单调性；（2）若函数在处取得极小值，且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.解：（1）当时，在上单调递减当时，在区间单调递减，在区间单调递增；（2）函数在处取得极值，∴，解得，则，关于x的方程化为，令，，∴，令，解得或1，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减，∵关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，则，即，解得，∴实数b的取值范围是19已知函数，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）证明：当时，；（3）当时，不等式（），求a的取值范围.解：（1）由已知，函数，，即，令，，①当时，，所以函数在上单调递增，而，所以此时不恒成立；②当时，，解得，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以函数在上取得极小值，即，要使在上恒成立，即满足，令，所以，又因为，所以：当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，所以，因此，所以要使恒成立，a的值为1.（2）由已知，，，令，所以，，①当时，，所以，而，则，所以，函数在上单调递减，故；②当时，构造函数，可证得，由（1），所以当时，，当且仅当时等号成立，综上所述，对任意时，.（3）当时，不等式（），不妨设，即，因为且，所以当时，取得最小值，由于函数为可导函数，，则为函数的极小值点，故，解得，下面证明当时，为函数的极小值点，由（2）问可知，当时，，令，所以，故函数在上单调递增，因为，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极小值点，合乎题意.综上所述，.四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数求导正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D2.学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗D〖解析〗由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种故选：D3.函数的导函数，满足关系式，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由进行求导得：，当时，可得：，解得：.故选：A.4.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意可知切点，函数的图象在点处的切线方程是，，即又即故选：D.5.展开式中项的系数为（）A. B. C.15 D.5〖答案〗B〖解析〗设的通项为，当时，的系数为；当时，的系数为.所以展开式中项系数为，故选：B.6.函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是A.10 B.9 C.8 D.〖答案〗B〖解析〗，由题意可知，，，当，且，解得：，所以的最小值是9.故选：B7.“四书”“五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，故总共有种排法，故选：C.8.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗构建，则，因为，则，即，可知在上单调递减，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，令，可得，故A正确．再令，可得，故C正确．，可得，两式相加，故两式相减可得，故B正确，D错误，故选：ABC．10.关于函数，下列判断正确的是（）A.函数的图像在点处的切线方程为B.是函数的一个极值点C.当时，D.当时，不等式的解集为〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，，所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；当时，，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，即；故C正确；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；故选：ACD.11.定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（）A.， B.函数的极大值与极小值之和为6C.函数有三个零点 D.函数在区间上的最小值为1〖答案〗AB〖解析〗由题意，点在函数的图象上，故；又.由，即.故A正确；所以，所以.由或.所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为；极小值为，所以极大值与极小值之和为：，故B正确；因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；又，，所以函数在上的最小值为，故D错.故选：AB第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若展开式中各项系数的和等于64,则展开式中的系数是________.〖答案〗〖解析〗因为展开式中各项系数的和等于64，所以，解得；所以展开式的通项为，令，得的系数为.故〖答案〗为13.甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有________种．（用数字作答）〖答案〗24〖解析〗甲乙捆绑作为一个人与其他人排列，共有种排法，因为甲在丙左侧与甲在丙右侧的排法数相同，所以甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧的不同的站法共有种.故〖答案〗为：2414.已知不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗因为对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立，构造函数，所以，又因为，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时,因为当时，单调递减，故，两边取对数得：,所以，令，则，令，得：，令，得：，所以在单调递增，在单调递减，所以，故的最小值是.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数（）的图象在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意得：∴，∴，.（2）由（1）知：不等式在上恒成立，即在恒成立.设，则令，得，（舍去）列表如下：1-0+单调递减极小值单调递增∴此时的极小值为，∴实数的取值范围为16.在的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；（3）求展开式中含的项的系数及有理项.解：（1）展开式的通项为因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，所以，即，所以（舍去）或.（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即.令得，即展开式系数和为（3）通项公式：，由，，可得含的项的系数为.设展开式中第项为有理项，由当、4、8时对应的项为有理项，有理项分别为：；；．17.某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，按下面要求排出一个节目单，各有多少种排法？（1）3个语言类节目彼此要隔开；（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目；（3）前3个节目中要有语言类节目．解：（1）第一步：先排4个歌唱节目有种排法；第二步：4个歌唱节目前后有5个空，排3个语言类节目有种排法，共种排法；（2）第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；第二步：剩下的3个语言类节目和2个歌唱节目共5个节目全排