2023-2024学年上海市闵行区六校联考高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市闵行区六校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1∼6题每题4分，第7∼12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.是第_____________象限角.〖答案〗三〖解析〗易知，因此与的终边相同，因为在第三象限，所以是第三象限角.故〖答案〗为：三.2.函数的最小正周期是_____________.〖答案〗〖解析〗函数的最小正周期.故〖答案〗为：.3.已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是______cm．〖答案〗10〖解析〗由题意，弧长是cm.故〖答案〗为：10.4.已知点，，若，则点的坐标是______．〖答案〗〖解析〗设，则，，因为，所以，即，解得，所以.故〖答案〗为：.5.已知无穷数列满足，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，设的前项和为，则，所以.故〖答案〗为：.6.若，则__________.〖答案〗〖解析〗，，，，，，.故〖答案〗为：.7.己知等差数列，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为等差数列，，，则.故〖答案〗为：.8.已知，，在上的投影向量的坐标为________．〖答案〗〖解析〗由，得，所以在上的投影向量.故〖答案〗为：.9.已知，且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是.故〖答案〗为：.10.若复数，满足．且（i为虚数单位），则______．〖答案〗〖解析〗设，，，，又，所以，，，，.故〖答案〗为：.11.已知函数，将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的部分图像如图所示，若，则______．〖答案〗〖解析〗设，其中为的最小正周期，根据得：，解得，因为是由图像上的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，所以的〖解析〗式为，故，即.故〖答案〗：.12.已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，即，解得，设所对应的两点分别为、，则、，设的解所对应的两点分别为、，记为，，当，即，解得，即时，因为、关于轴对称，且，关于轴对称，则以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，所以、、、四点共圆；当，即或时，此时，，且，，故此圆的圆心为，半径，又圆心到的距离，解得，综上可得.故〖答案〗为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确〖答案〗，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（）A.无最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值C.有最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值〖答案〗A〖解析〗易得该等差数列首项为负，公差为正，故该数列的前n项和，故当或时取得最小值，无最大值.故选：A.14.用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当n＝k时，有不等式，当n＝k+1时，不等式为，将上面两式左边相减可得，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是.故选：D.15.对于函数，给出下列结论：①函数的图象关于点对称；②函数的对称轴是，；③若函数是偶函数，则的最小值为；④函数在的值域为.其中正确的命题个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗因为，因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确；令，解得，所以函数的对称轴是，，故②正确；因为为偶函数，所以，解得，所以的最小值为，故③正确；当，则，当，即时，故④错误.故选：D.16.中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由八卦图的对称性可得，故，，设到的距离为，则，解得，又，又即在上的投影，其最大值为，最小值为，故，即.故选：C.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知，，．（1）求；（2）若，求实数k的值．解：（1）因为，，，所以，所以.（2）因为，所以，即，即，解得.18.设复数，．（1）若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围；（2）若为纯虚数，求．解：（1）由题意可知，因为，所以，所以，又因为在复平面上对应的点在第一象限，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）因为为纯虚数，所以，即，所以，故.19.如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，．（1）求的面积．（2）快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？解：（1）因为，，，由余弦定理得，即，故，解得，负值舍去，故.（2）在中，由正弦定理得，又，故，因为，所以，，故汽车所需时间为h，因为，由余弦定理得，故，故，快递小哥出发25分钟，骑行路程为，剩余路程为，到达C处所需时间为，其中，故，所以汽车先到达C处.20.已知，，记.（1）求函数的值域；（2）求函数，的单调减区间；（3）若，恰有2个零点，求实数的取值范围和的值．解：（1）由题意可知，，则函数函数的值域为.（2）由，因为，所以，令，解得，函数，的单调减区间.（3），因为，所以，根据条件在恰有2个零点，则有两个根，即有两个根，则，解得，实数的取值范围，根据函数在恰有2个零点，即有两个根，因为，令，解得，所以关于对称，则．21.已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.（1）若数列具有性质P，且，，求的值；（2）若，求证：数列具有性质P；（3）设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围.解：（1）由题意可知成等比数列，则，即，，解得.（2）证明：；，，，数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质.（3）设数列的前项和为，则，当时，；当时，；经检验，，由，解得，则，由数列具有性质，则为等比数列，，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列，则，于是，即，由，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则，，化简可得，①若为偶数，则，即；②若为奇数，则，即；综上可得，的取值范围是且.上海市闵行区六校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1∼6题每题4分，第7∼12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.是第_____________象限角.〖答案〗三〖解析〗易知，因此与的终边相同，因为在第三象限，所以是第三象限角.故〖答案〗为：三.2.函数的最小正周期是_____________.〖答案〗〖解析〗函数的最小正周期.故〖答案〗为：.3.已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是______cm．〖答案〗10〖解析〗由题意，弧长是cm.故〖答案〗为：10.4.已知点，，若，则点的坐标是______．〖答案〗〖解析〗设，则，，因为，所以，即，解得，所以.故〖答案〗为：.5.已知无穷数列满足，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，设的前项和为，则，所以.故〖答案〗为：.6.若，则__________.〖答案〗〖解析〗，，，，，，.故〖答案〗为：.7.己知等差数列，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为等差数列，，，则.故〖答案〗为：.8.已知，，在上的投影向量的坐标为________．〖答案〗〖解析〗由，得，所以在上的投影向量.故〖答案〗为：.9.已知，且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是.故〖答案〗为：.10.若复数，满足．且（i为虚数单位），则______．〖答案〗〖解析〗设，，，，又，所以，，，，.故〖答案〗为：.11.已知函数，将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的部分图像如图所示，若，则______．〖答案〗〖解析〗设，其中为的最小正周期，根据得：，解得，因为是由图像上的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，所以的〖解析〗式为，故，即.故〖答案〗：.12.已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，即，解得，设所对应的两点分别为、，则、，设的解所对应的两点分别为、，记为，，当，即，解得，即时，因为、关于轴对称，且，关于轴对称，则以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，所以、、、四点共圆；当，即或时，此时，，且，，故此圆的圆心为，半径，又圆心到的距离，解得，综上可得.故〖答案〗为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确〖答案〗，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（）A.无最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值C.有最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值〖答案〗A〖解析〗易得该等差数列首项为负，公差为正，故该数列的前n项和，故当或时取得最小值，无最大值.故选：A.14.用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当n＝k时，有不等式，当n＝k+1时，不等式为，将上面两式左边相减可得，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是.故选：D.15.对于函数，给出下列结论：①函数的图象关于点对称；②函数的对称轴是，；③若函数是偶函数，则的最小值为；④函数在的值域为.其中正确的命题个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗因为，因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确；令，解得，所以函数的对称轴是，，故②正确；因为为偶函数，所以，解得，所以的最小值为，故③正确；当，则，当，即时，故④错误.故选：D.16.中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由八卦图的对称性可得，故，，设到的距离为，则，解得，又，又即在上的投影，其最大值为，最小值为，故，即.故选：C.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知，，．（1）求；（2）若，求实数k的值．解：（1）因为，，，所以，所以.（2）因为，所以，即，即，解得.18.设复数，．（1）若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围；（2）若为纯虚数，求．解：（1）由题意可知，因为，所以，所以，又因为在复平面上对应的点在第一象限，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）因为为纯虚数，所以，即，所以，故.19.如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，．（1）求的面积．（2）快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？解：（1）因为，，，由余弦定理得，即，故，解得，负值舍去，故.（2）在中，由正弦定理得，又，故，因为，所以，，故汽车所需时间为h，因为，由余弦定理得，故，故，快递小哥出发25分钟，骑行路程为，剩余路程为，到达C处所需时间为，其中，故，所以汽车先到达C处.20.已知，，记.（1）求函数的值域；（2）求函数，的单调减区间；（3）若，恰有2个零点，求实数的取值范围和的值．解：（1）由题意可知，，则函数函数的值域为.（2）由，因为，所以，令，解得，函数，的单调减区间.（3），因为，所以，根据条件在恰有2个零点，则有两个根，即有两个根，则，解得，实数的取值范围，根据函数在恰有2个零点，即有两个根，因为，令，解得，所以关于对称，则．21.已知数列，若为等