2023-2024学年江苏省连云港市七校高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省连云港市七校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知离散型随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由题意得，则，故选：B.2.在的展开式中，项的系数为（）A.1 B.10 C.40 D.80〖答案〗D〖解析〗通项公式为，当时，，所以项的系数为80.故选：D3.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同选购方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗A〖解析〗由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.故选：A4.已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以，，设面的法向量为，，所以，令，则，所以，，所以到平面的距离，故选：C.5.长方体中，，E为与的交点，F为与的交点，又，则长方体的高等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设长方体的长为，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，由可得，所以，解得：.故选：C.6.在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则，则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（）A.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067〖答案〗B〖解析〗由题意可得：,故选：B7.若能被13整除，则可以是（）A.0 B.1 C.11 D.12〖答案〗B〖解析〗因为，又因为能被13整除，所以能被13整除，观察选项可知可以是.故选：B.8.甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“取出的是丙袋”为事件，“该球为红球”为事件，则，故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（

）A.为7 B.所有项的二项式系数和为64C.二项式系数最大的项为第4项 D.没有常数项〖答案〗BCD〖解析〗对A,因为二项式的展开式中共有7项，所以，即，故A错误；对B,二项式中，所有项的二项式系数和为，故B正确；对C,因为二项式的展开式中共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故C正确；对D,二项式的通项为，令，得，不满足题意，故D正确.故选：BCD.10.某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（）A.若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法B.若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法C.若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法D.若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法〖答案〗BCD〖解析〗A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有种情况，综上，共有种情况，A错误；B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确；C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有种，综上，共有种情况，C正确；D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况，前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况，综上，有种不同的排法，D正确.故选：BCD11.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对A，由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，则，所以A错误；对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，则，所以B正确；对C，由，得，所以C正确；对D，由，得，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把〖答案〗直接填写在答题卡相应位置上.12.已知，则__________.〖答案〗3或5〖解析〗根据题意，若，必有，或，解可得或3；经检验均符合题意.故〖答案〗为:3或5．13.设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________．〖答案〗〖解析〗因为，，可得，又因为三点共线，可设，即，因为不共线，可得，解得，所以实数的值为.故〖答案〗为：.14.小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码，如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码______．〖答案〗24〖解析〗依题意，将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有不同的密码个数是.故〖答案〗为：24四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求：（1）在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；（2）第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率.解：（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球，故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率.（2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件，所以16.如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角余弦值.解：（1）在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，则，于是，显然，则，而平面；所以平面.（2）由（1）知平面一个法向量为，，设平面的一个法向量，则，取，得，则，所以平面与平面夹角的余弦值是.17.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（1）六位奇数；（2）个位数字不是5的六位数；（3）不大于4310四位偶数.解：（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有；（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0，当个位数是0，有，当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；（3）当千位小于4时，有种，当千位是4，百位小于3时，有种，当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种，当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种，所以不大于4310的四位偶数4有.18.在的展开式中，（1）求展开式中所有有理项；（2）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项解：（1）由题展开式中的第项.即.故当为整数时为有理项.故当时成立,分别为,,,.即,,,（2）由知,当系数的绝对值最大的项即最大.故.故绝对值最大的项是第6、7项.其中系数最大的项为,系数最小的项为19.如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由．解：（1）作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又因为为的中点，，且，，，所以由题意有，所以有不妨设平面的法向量为，所以有，即，取，解得，所以点到平面的距离为.（2）如图所示：由题意有，所以有不妨设平面的法向量为，所以有，即，取，解得，不妨设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为.（3）如图所示：由题意有所以，由题意不妨设，所以，又由（2）可知平面的法向量为，若平面，则，即，解得，所以当点为的中点时，有平面.江苏省连云港市七校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知离散型随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由题意得，则，故选：B.2.在的展开式中，项的系数为（）A.1 B.10 C.40 D.80〖答案〗D〖解析〗通项公式为，当时，，所以项的系数为80.故选：D3.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同选购方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗A〖解析〗由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.故选：A4.已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以，，设面的法向量为，，所以，令，则，所以，，所以到平面的距离，故选：C.5.长方体中，，E为与的交点，F为与的交点，又，则长方体的高等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设长方体的长为，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，由可得，所以，解得：.故选：C.6.在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则，则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（）A.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067〖答案〗B〖解析〗由题意可得：,故选：B7.若能被13整除，则可以是（）A.0 B.1 C.11 D.12〖答案〗B〖解析〗因为，又因为能被13整除，所以能被13整除，观察选项可知可以是.故选：B.8.甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“取出的是丙袋”为事件，“该球为红球”为事件，则，故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（

）A.为7 B.所有项的二项式系数和为64C.二项式系数最大的项为第4项 D.没有常数项〖答案〗BCD〖解析〗对A,因为二项式的展开式中共有7项，所以，即，故A错误；对B,二项式中，所有项的二项式系数和为，故B正确；对C,因为二项式的展开式中共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故C正确；对D,二项式的通项为，令，得，不满足题意，故D正确.故选：BCD.10.某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（）A.若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法B.若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法C.若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法D.若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法〖答案〗BCD〖解析〗A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有种情况，综上，共有种情况，A错误；B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确；C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有种，综上，共有种情况，C正确；D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况，前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况，综上，有种不同的排法，D正确.故选：BCD11.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对A，由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，则，所以A错误；对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，则，所以B正确；对C，由，得，所以C正确；对D，由，得，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把〖答案〗直接填写在答题卡相应位置上.12.已知，则__________.〖答案〗3或5〖解析〗根据题意，若，必有，或，解可得或3；经检验均符合题意.故〖答案〗为:3或5．13.设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________．〖答案〗〖解析〗因为，，可得，又因为三点共线，可设，即，因为不共线，可得，解得，所以实数的值为.故〖答案〗为：.14.小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码，如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码______．〖答案〗24〖解析〗依题意，将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有不同的密码个数是.故〖答案〗为：24四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求：（1）在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；（2）第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率.解：（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球，故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率.（2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件，所以16.如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角余弦值.解：（1）在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，则，于是，显然，则，而平面；所以平面.（2）由（1）知平面一个法向量为，，设平面的一个法向量，则，取，得，则，所以平面与平面夹角的余弦值是.17.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（1）六位奇数；（2）个