2023-2024学年湖北省十堰市高一下学期期末调研考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗A〖解析〗由题意可得被抽到的研发人员有人，销售人员有人，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多.故选：A.3.设是三条不同的直线，是两个不同的平面.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则或〖答案〗C〖解析〗若，则或A错误；若，则或异面，B错误；若，则在内必存在直线和a平行，不妨设为l，而，则，则，C正确；若，则与的位置关系不确定，还可能异面，D错误.故选：C.4.函数是（）A.周期为偶函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的奇函数〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，则是偶函数，因为，，所以是周期为的偶函数.故选：A.5.在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗设该船的初始位置为小时后的位置为，过作，垂足为，则为所求的最短距离，由题意可知海里，则，在中，由正弦定理可得，则海里，在中，海里，，则海里.故选：D.6.已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，设球的半径为，则由已知条件可得，设圆柱的体积为，球的体积，由圆柱的体积公式可得，由球的体积公式可得，则.故选：D.7.我国唐代僧人一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，则，故，因为，且，所以，所以，因为，且，所以，所以，则，因为，所以.故选：C.8.若向量是一组基底，向量，则称为向量在其底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，因为是平行四边形，所以，所以，所以，因为向量在基底下的坐标为，所以，，因为，所以在基底下的坐标是.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（）A.该商场有20名销售员B.该啇场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元C.该商场这个月有的销售员的销售额超过7万元D.该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元〖答案〗ACD〖解析〗由统计图可知该商场有名销售员，则A正确；该商场这个月所有销售员销售额的平均数为万元，则B错误；该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为，则C正确；因为，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是万元，则D正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.不等式的解集是D.将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称〖答案〗AC〖解析〗因，所以的最小正周期为，故A正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；由，即，得，则，解得，即不等式的解集是，，故C正确；将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，因为，所以的图象不关于点中心对称，故D错误.故选：AC.11.在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是B.若为线段上的动点，则的最小值为C.若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为D.若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A：由正方体的定义可知∥，则是异面直线与所成的角或补角，因为平面，且平面，则，在中，因为，则，所以，则A正确；对于选项B：将平面展开到平面，则，所以的最小值为，故错误；对于选项C：过点作∥，交于点，可知：∥∥，则平面即为平面，平面即为平面，则平面平面，且平面，则平面，且平面，则，可知为平面与平面的夹角，因为为线段上的动点，所以为线段上的动点，在正方体，结合对称性可知：当为线段的中点时，取到最大值，取到最小值，此时，则；当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值；综上所述：，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为，故C正确；对于选项D：设平面与平面的交线为，因为∥平面，平面，则∥，又因为∥，且，可知为平行四边形，则∥，可得∥，因为与平面交于点，即，平面，且平面，可知平面，又因为平面平面，则，可知，且平面，可知三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是纯虚数，且，则__________.〖答案〗3〖解析〗设，且，则，所以，解得，故.故〖答案〗为：3.13.如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗，因为，所以，即取值范围为.故〖答案〗为：14.如图，在边长为2的正方形中，分别为边上的点（不包含端点）.若的周长为4，则的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗如图，延长到点，使得，连接，易证，则，故，设，则.因为的周长为4，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，设，则.因为，所以，则，因为，所以，所以，所以，则的最大值是.故〖答案〗为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共1200名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）整理后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计样本成绩的中位数（结果精确到小数点后1位）；（3）若测验成绩不低于80分的同学被定义为“地理爱好者”.试估计全年级“地理爱好者”的人数.解：（1）由题意得，解得.（2），中位数在这一组，设中位数的估计值为，则，解得，即样本成绩的中位数约为81.4.（3）全年级“地理爱好者”约有人.16.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形.平面平面分别棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由三棱柱的定义可知，因为分别是棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，则，因为平面平面，所以平面，因为分别是棱的中点，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面，且，所以平面平面.（2）作的延长线于点，连接，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，则是直线与平面所成的角，设，则，因为，所以，则，因为是等边三角形，所以，所以，由余弦定理可得，因为平面平面，所以，则，故，即直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的〖解析〗式；（2）在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围.解：（1）由对称性知为函数的对称轴，所以，则，解得，因为，所以，因为的图象经过点，所以，所以，解得，因为，所以，因为的图象经过点，所以，解得，故.（2）由（1）可得，则，因为是锐角三角形，所以，所以，则，故的面积，由正弦定理可得，则，因为是锐角三角形，所以，解得，所以，所以，则，即，故的面积.18.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.（1）证明：平面；（2）茬，求二面角的正切值；（3）是否存在实数，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.请说明理由.解：（1）因为四边形是菱形，所以，因为平面，且，所以平面，因为平面，所以，因为四边形是菱形，且，所以，因为，所以，所以，因为平面，且，所以平面.（2）取棱的中点，连接，作，垂足为，连接，因为分别是的中点，所以，由（1）可知平面，则平面，因为平面，所以，因为平面，且，所以平面，因为平面，所以，则是二面角的平面角，因为，所以，因为四边形是菱形，且，所以，且，因为，所以，因为是的中点，所以，因为平面，且平面，所以，则.（3）连接，交于点，连接，作，交于点，因为平面，且平面平面，所以，因为四边形是菱形，所以是的中点，所以是的中点，即，因为，所以是的中点，因为，所以，所以，则，即.19.点是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.（1）若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值；（2）若在正方体棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值；（3）若是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：.解：（1）如图1，因为，所以，由正方体的定义可知，则，故，，因为，所以，则.（2）如图2，设，则，因为，所以，则，解得，故.（3）证明：如图3，因为是的等分点，所以，在中，由正弦定理可得，则，在中，同理可得，因为，所以，则，同理可得，故.湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗A〖解析〗由题意可得被抽到的研发人员有人，销售人员有人，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多.故选：A.3.设是三条不同的直线，是两个不同的平面.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则或〖答案〗C〖解析〗若，则或A错误；若，则或异面，B错误；若，则在内必存在直线和a平行，不妨设为l，而，则，则，C正确；若，则与的位置关系不确定，还可能异面，D错误.故选：C.4.函数是（）A.周期为偶函数 B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数 D.周期为的奇函数〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，则是偶函数，因为，，所以是周期为的偶函数.故选：A.5.在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗设该船的初始位置为小时后的位置为，过作，垂足为，则为所求的最短距离，由题意可知海里，则，在中，由正弦定理可得，则海里，在中，海里，，则海里.故选：D.6.已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，设球的半径为，则由已知条件可得，设圆柱的体积为，球的体积，由圆柱的体积公式可得，由球的体积公式可得，则.故选：D.7.我国唐代僧人一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，则，故，因为，且，所以，所以，因为，且，所以，所以，则，因为，所以.故选：C.8.若向量是一组基底，向量，则称为向量在其底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，因为是平行四边形，所以，所以，所以，因为向量在基底下的坐标为，所以，，因为，所以在基底下的坐标是.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（）A.该商场有20名销售员B.该啇场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元C.该商场这个月有的销售员的销售额超过7万元D.该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元〖答案〗ACD〖解析〗由统计图可知该商场有名销售员，则A正确；该商场这个月所有销售员销售额的平均数为万元，则B错误；该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为，则C正确；因为，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是万元，则D正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.不等式的解集是D.将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称〖答案〗AC〖解析〗因，所以的最小正周期为，故A正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；由，即，得，则，解得，即不等式的解集是，，故C正确；将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，因为，所以的图象不关于点中心对称，故D错误.故选：AC.11.在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是B.若为线段上的动点，则的最小值为C.若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为D.若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A：由正方体的定义可知∥，则是异面直线与所成的角或补角，因为平面，且平面，则，在中，因为，则，所以，则A正确；对于选项B：将平面展开到平面，则，所以的最小值为，故错误；对于选项C：过点作∥，交于点，可知：∥∥，则平面即为平面，平面即为平面，则平面平面，且平面，则平面，且平面，则，可知为平面与平面的夹角，因为为线段上的动点，所以为线段上的动点，在正方体，结合对称性可知：当为线段的中点时，取到最大值，取到最小值，此时，则；当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值；综上所述：，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为，故C正确；对于选项D：设平面与平面的交线为，因为∥平面，平面，则∥，又因为∥，且，可知为平行四边形，则∥，可得∥，因为与平面交于点，即，平面，且平面，可知平面，又因为平面平面，则，可知，且平面，可知三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是纯虚数，且，则__________.〖答案〗3〖解析〗设，且，则，所以，解得，故.故〖答案〗为：3.13.如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗，因为，所以，即取值范围为.故〖答案〗为：14.如图，在边长为2的正方形中，分别为边上的点（不包含端点）.若的周长为4，则的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗如图，延长到点，使得，连接，易证，则，故，设，则.因为的周长为4，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，设，则.因为，所以，则，因为，所以，所以，所以，则的最大值是.故〖答案〗为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共1200名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）整理后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计样本成绩的中位数（结果精确到小数点后1位）；（3）若测验成绩不低于80分的同学被定义为“地理爱好者”.试估计全年级“地理爱好者”的人数.解：（1）由题意得，解得.（2），中位数在这一组，设中位数的估计值为，则，解得，即样本成绩的中位数约为81.4.（3）全年级“地理爱好者”约有人.16.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形.平面平面分别棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由三棱柱的定义可知，因为分别是棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，则，因为平面平面，所以平面，因为分别是棱的中点，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面，且，所以平面平面.（2）作的延长线于点，连接，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，则是直线与平面所成的角，设，则，因为，所以，则，因为是等边三角形，所以，所以，由余弦定理可得，因为平面平面，所以，则，故，即直线与平面所成