2023-2024学年河南省南阳市六校联考高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线在点处的切线的斜率为（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因为，所以,即曲线在点处的切线的斜率为-1，故选：B2.已知数列的首项，当时，，若，则的值可以是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025〖答案〗C〖解析〗由已知可得：，故数列的周期为3，因为，所以可以为2024．故选：C3.下列求导错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：D4.具有线性相关关系的变量的样本数据如下：－2－4－6－817.4138.25其回归直线方程为，则回归直线经过（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗A〖解析〗由表中的数据知正相关．所以，又，，即点在回归直线上，且在第二象限，所以回归直线经过第一、二、三象限，故选：A5.在数列中，若，则（）A.1012 B.1013 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，所以是常数列，所以，又，所以．故选：B6.已知数列满足，其前项和为，若，则（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，又因为，所以，所以，即，所以．由题意可得，解得．故选：C7.设点到直线的距离为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗点到直线的距离为，或，令，则，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，从而，首先这意味着方程无解，现在我们来研究方程的根的情况，一方面注意到，且在上单调递增，从而方程在上有唯一解，另一方面有，令，可知，且函数的图象连续不断，并注意到在上单调递减，即在上单调递减，从而由零点存在定理可知，在上，存在唯一的零点，也就是说方程在上有唯一解且，综上所述或，其中，所以在大前提“点到直线的距离为”成立的情况下有，“”是“”的充分不必要条件.故选：A．8.已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（）A.150 B.151 C.170 D.171〖答案〗C〖解析〗由题意知之间插入1个之间插人2个之间插人4个之间插入8个1，之间插入16个之间插入32个之间插入64个1，由于，故数列的前100项含有的前7项和93个1，故．故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论中正确的是（）A.由样本数据得到的回归直线必过点B.样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱C.若变量与之间的相关系数，则与正相关D.若样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为－1〖答案〗ACD〖解析〗对于A，回归直线必过点，故A正确；对于B，越接近1，两个变量的线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，故B错误；对于C，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故C正确；对于D，样本数据的对应样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数，所以这组样本数据的相关系数为－1，故D正确．故选：10.已知是等差数列，是其前项和，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若和都为递增数列，则〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由，可得，所以，又由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，又因为，可得，所以，所以C正确；对于D中，因为为递增数列，可得公差，因为为递增数列，可得，所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．故选：BC.11.已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（）A. B.C.满足条件的直线有2条 D.满足条件的直线只有1条〖答案〗AC〖解析〗由题可知直线与曲线相切于点，又，所以直线的斜率，则在点处的切线方程为，即，直线与曲线相切于点，则在点处的切线方程为，即．因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则且，则，即，可得，解得，故A正确，B错误；把代入，得，在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示：由图象知：的值有两个，故C正确，D错误．故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前项和为，且，则_______．〖答案〗32〖解析〗设等比数列的公比为，则，解得，又因为，得，解得，所以．故〖答案〗为：32.13.已知变量和之间关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则_______．（参考数据：）〖答案〗0.3〖解析〗由题意知，解得，所以，由，得，所以，则．故〖答案〗为：0.314.ChatGPT爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则的最小值为_______．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828〖答案〗170〖解析〗由题意可得用户类型与购买的套餐类型列联表如下：总计个人用户公司用户总计，解得，又因为必须是10的倍数，所以的最小值为170．故〖答案〗为：170四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）若函数有三个零点1，2，4，求；（2）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值．解：（1）由题意知，所以．（2），题意知，即，解得16.某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：123453540505570（1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若则线性相关程度一般；若则线性相关程度很弱）（2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量．参考数据：．参考公式：相关系数；回归直线方程中，．解：（1）由题可知，，所以，因为，所以变量和的线性相关程度很强．（2），．所以关于的回归直线方程为．当时，，所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件．17.已知数列的前项和为，且为等差数列．（1）证明：为等差数列；（2）若，数列满足，且，求数列的前项和．解：（1）因为为等差数列，设其公差为，所以，又因为，所以．当时，，又因为适合上式，所以．所以，所以为等差数列．（2）因为，由（1）知，得，所以．所以，当时，，因为满足上式，所以．所以．18.“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息．某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件“了解村BA”，“学生为女生”，据统计．（1）根据已知条件，作出列联表，并判断是否有的把握认为该校学生对“村”的了解情况与性别有关；（2）现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）因为，所以对“村BA”了解的女生人数为，了解“村BA”的学生人数为，结合男生和女生各80名，作出列联表为：了解不了解总计男生305080女生57580总计35125160，因此，有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关．（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，其中男生人数为，女生人数为．随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．故随机变量的分布列如下：01234则．19.记数列的前项和为，已知，且．（1）令，求数列的通项公式；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）令，则①，令，则②，②－①，得，又因为，所以可得，代入①式，得，所以．（2），其中，，所以．由，可得恒成立．设，则，当，即时，，当，即时，，所以，故，所以，即实数的取值范围为．河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线在点处的切线的斜率为（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因为，所以,即曲线在点处的切线的斜率为-1，故选：B2.已知数列的首项，当时，，若，则的值可以是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025〖答案〗C〖解析〗由已知可得：，故数列的周期为3，因为，所以可以为2024．故选：C3.下列求导错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：D4.具有线性相关关系的变量的样本数据如下：－2－4－6－817.4138.25其回归直线方程为，则回归直线经过（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗A〖解析〗由表中的数据知正相关．所以，又，，即点在回归直线上，且在第二象限，所以回归直线经过第一、二、三象限，故选：A5.在数列中，若，则（）A.1012 B.1013 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，所以是常数列，所以，又，所以．故选：B6.已知数列满足，其前项和为，若，则（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，又因为，所以，所以，即，所以．由题意可得，解得．故选：C7.设点到直线的距离为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗点到直线的距离为，或，令，则，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，从而，首先这意味着方程无解，现在我们来研究方程的根的情况，一方面注意到，且在上单调递增，从而方程在上有唯一解，另一方面有，令，可知，且函数的图象连续不断，并注意到在上单调递减，即在上单调递减，从而由零点存在定理可知，在上，存在唯一的零点，也就是说方程在上有唯一解且，综上所述或，其中，所以在大前提“点到直线的距离为”成立的情况下有，“”是“”的充分不必要条件.故选：A．8.已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（）A.150 B.151 C.170 D.171〖答案〗C〖解析〗由题意知之间插入1个之间插人2个之间插人4个之间插入8个1，之间插入16个之间插入32个之间插入64个1，由于，故数列的前100项含有的前7项和93个1，故．故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论中正确的是（）A.由样本数据得到的回归直线必过点B.样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱C.若变量与之间的相关系数，则与正相关D.若样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为－1〖答案〗ACD〖解析〗对于A，回归直线必过点，故A正确；对于B，越接近1，两个变量的线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，故B错误；对于C，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故C正确；对于D，样本数据的对应样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数，所以这组样本数据的相关系数为－1，故D正确．故选：10.已知是等差数列，是其前项和，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若和都为递增数列，则〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由，可得，所以，又由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，又因为，可得，所以，所以C正确；对于D中，因为为递增数列，可得公差，因为为递增数列，可得，所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．故选：BC.11.已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（）A. B.C.满足条件的直线有2条 D.满足条件的直线只有1条〖答案〗AC〖解析〗由题可知直线与曲线相切于点，又，所以直线的斜率，则在点处的切线方程为，即，直线与曲线相切于点，则在点处的切线方程为，即．因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则且，则，即，可得，解得，故A正确，B错误；把代入，得，在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示：由图象知：的值有两个，故C正确，D错误．故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前项和为，且，则_______．〖答案〗32〖解析〗设等比数列的公比为，则，解得，又因为，得，解得，所以．故〖答案〗为：32.13.已知变量和之间关系可以用模型来拟合．设，若根据样本数据计算可得，且与的线性回归方程为，则_______．（参考数据：）〖答案〗0.3〖解析〗由题意知，解得，所以，由，得，所以，则．故〖答案〗为：0.314.ChatGPT爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则的最小值为_______．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828〖答案〗170〖解析〗由题意可得用户类型与购买的套餐类型列联表如下：总计个人用户公司用户总计，解得，又因为必须是10的倍数，所以的最小值为170．故〖答案〗为：170四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）若函数有三个零点1，2，4，求；（2）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值．解：（1）由题意知，所以．（2），题意知，即，解得16.某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：123453540505570（1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若则线性相关程度一般；若则线性相关程度很弱）（2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量．参考数据：．参考公式：相关系数；回归直线方程中，．解：（1）由题可知，，所以，因为，所以变量和的线性相关程度很强．（2），．所以关于的回归直线方程为．当时，，所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件．17.已知数列的前项和为，且为等差数列．（1）证明：为