2023-2024学年广东省惠州市博罗县高二下学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题一、单项选择题：本题共有8小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知，则x的取值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为，所以或，解得．经检验，满足题意.故选：B．2.下列求导数运算错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗,故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：C3.若展开式的常数项为160，则（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗二项式展开式通项为，令，则常数项为，解得.故选：A.4.已知函数，则（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由，得，令，则，解得，故选：A5.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（）种．A.12 B.16 C.20 D.24〖答案〗C〖解析〗若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有种情况，则此时有种排法；若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法，所以总共有种情况符合题意.故选：C．6.下图示函数的导函数的图象，给出下列命题：①，是函数的极小值点；②是函数的极大值点；③在处切线的斜率大于零；④在区间上单调递增．则正确命题的序号是（）A.①② B.①④ C.②③ D.③④〖答案〗C〖解析〗①当时，且左右两侧同时为正，此时单调递增，无极值点，当时，且左右两侧同时负，此时单调递减，无极值点，故①错误；②当时，且左侧为正，右侧为负，此时在的左侧为单调递增，右侧为单调递减，故是函数的极大值点，故②正确；③由图知，根据导数的几何意义知，在处切线的斜率大于零，故③正确；④当时，，故在为单调递减，故④错误；综上可知，②③正确故选：C．7.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，所以.故选：D8.泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得当时，于是,故选：D.二、多项选择题：共3小题，每小题满分18分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，取,则，则A正确；对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中所以，故B正确；对C，取，则，则，故C错误；对D，取，则，将其与作和得，所以，故D正确；故选：ABD.10.袋中有大小相同8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确．故选：ABD．11.定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（）A. B.1 C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，所以，，所以，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，令，，则，，，令，得，当时，；时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即，故选:BD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共16分.把〖答案〗填在答题卷相应横线上.12.已知函数，则函数的图像在处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗由，得，则，所以函数的图象在处的切线方程为，即．故〖答案〗为：．13.从七名运动员中选出名参加米接力赛，其中运动员不跑第一棒，运动员不跑第二棒，则不同安排方案有____________种.〖答案〗〖解析〗若运动员跑第一棒，则从剩下的六名运动员中任选三名跑另外三棒，有种；若运动员不跑第一棒，也不能跑第二棒，则从除外的五名运动员中，任选一名跑第一棒，有，从除和已经排好的人以外的五名运动员中任选一名跑第二棒，有，再从剩下的五名运动员中任选两名跑另外两棒，有种，故不同安排方案有种.故〖答案〗为：.14.若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______．〖答案〗．〖解析〗由可得当时，，即，令，易知恒成立，即在R上单调递增，由可得；故，可得，即，又是单调递增函数，故可得，令，则，当时，，此时在上单调递增；当时，，此时在上单调递减，故，可得．故〖答案〗：．四、解答题：本题共5个小题，共77分.把〖答案〗填在答题卷相应空白上.15.已知函的图象过点，且．（1）求的值：（2）求函数的单调区间．解：（1）由题意得，，因为，所以，所以；（2）由（1）得，，当或时，，当时，，故的单调递增区间为，，单调递减区间为．16.北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜打破4项世界纪录，创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官．作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台．我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为：第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查．（1）从混合的乒乓球中任取1个．（i）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率．（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列．解：（1）（i）∵第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，∴这个乒乓球是合格品的概率.（ii）已知取到的是合格品，它取自第一批乒乓球的概率；（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，；；；故X的分布列为：X012P0.360.480.1617.已知函数．（1）讨论的极值；（2）求在上的最小值．解：（1）由题意知：的定义域为，；当时，，恒成立，在上单调递增，无极值；当时，若，；若，；在上单调递减，在上单调递增；的极小值为，无极大值；综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，；当时，若，；若，；在上单调递减，在上单调递增，；当时，在上单调递减，；综上所述：在上的最小值.18.某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.（2）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.解：（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件，则.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是（2）随机变量的所有可能取值为，则，，.所以的分布列为01020.（3）记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，所以，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.19.如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；②圆与曲线在点处有相同的切线；③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；（2）求曲线的曲率半径的最小值；（3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．解：（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．则，，故，，即，所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；（2）设曲线在的曲率半径为．则法一：，由知，，所以，故曲线在点处的曲率半径，所以，则，则，当且仅当，即时取等号，故，曲线在点处的曲率半径．法二：，，所以，而，所以，解方程可得，则，当且仅当，即时取等号，故，曲线在点处的曲率半径．（3）法一：函数的图象在处的曲率半径，故，由题意知：令，则有，所以，即，故．因为，所以，所以，所以．法二：函数的图象在处的曲率半径，有令，则有，则，故，因为，所以，所以有，令，则，即，故，所以，即；法三：函数的图象在处的曲率半径．故设，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，故有，所以，要证，即证，即证将，下证：当时，有，设函数（其中），则，故单调递增，，故，所以．法四：函数的图象在处的曲率半径，有，设．则有，所以当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增．故有，所以，要证，即证，即证．将，下证：当时，有，设函数（其中），则，故单调递增，故，故，所以．广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题一、单项选择题：本题共有8小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知，则x的取值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为，所以或，解得．经检验，满足题意.故选：B．2.下列求导数运算错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗,故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：C3.若展开式的常数项为160，则（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗二项式展开式通项为，令，则常数项为，解得.故选：A.4.已知函数，则（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由，得，令，则，解得，故选：A5.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（）种．A.12 B.16 C.20 D.24〖答案〗C〖解析〗若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有种情况，则此时有种排法；若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法，所以总共有种情况符合题意.故选：C．6.下图示函数的导函数的图象，给出下列命题：①，是函数的极小值点；②是函数的极大值点；③在处切线的斜率大于零；④在区间上单调递增．则正确命题的序号是（）A.①② B.①④ C.②③ D.③④〖答案〗C〖解析〗①当时，且左右两侧同时为正，此时单调递增，无极值点，当时，且左右两侧同时负，此时单调递减，无极值点，故①错误；②当时，且左侧为正，右侧为负，此时在的左侧为单调递增，右侧为单调递减，故是函数的极大值点，故②正确；③由图知，根据导数的几何意义知，在处切线的斜率大于零，故③正确；④当时，，故在为单调递减，故④错误；综上可知，②③正确故选：C．7.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，所以.故选：D8.泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得当时，于是,故选：D.二、多项选择题：共3小题，每小题满分18分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，取,则，则A正确；对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中所以，故B正确；对C，取，则，则，故C错误；对D，取，则，将其与作和得，所以，故D正确；故选：ABD.10.袋中有大小相同8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确．故选：ABD．11.定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（）A. B.1 C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，所以，，所以，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，令，，则，，，令，得，当时，；时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即，故选:BD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共16分.把〖答案〗填在答题卷相应横线上.12.已知函数，则函数的图像在处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗由，得，则，所以函数的图象在处的切线方程为，即．故〖答案〗为：．13.从七名运动员中选出名参加米接力赛，其中运动员不跑第一棒，运动员不跑第二棒，则不同安排方案有____________种.〖答案〗〖解析〗若运动员跑第一棒，则从剩下的六名运动员中任选三名跑另外三棒，有种；若运动员不跑第一棒，也不能跑第二棒，则从除外的五名运动员中，任选一名跑第一棒，有，从除和已经排好的人以外的五名运动员中任选一名跑第二棒，有，再从剩下的五名运动员中任选两名跑另外两棒，有种，故不同安排方案有种.故〖答案〗为：.14.若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______．〖答案〗．〖解析〗由可得当时，，即，令，易知恒成立，即在R上单调递增，由可得；故，可得，即，又是单调递增函数，故可得，令，则，当时，，此时在上单调递增；当时，，此时在上单调递减，故，可得．故〖答案〗：．四、解答题：本题共5个小题，共77分.把〖答案〗填在答题卷相应空白上.15.已知函的图象过点，且．（1）求的值：（2）求函数的单调区间．解：（1）由题意得，，因为，所以，所以；（2）由（1）得，，当或时，，当时，，故的单调递增区间为，，单调递减区间为．16.北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜打破4项世界纪录，创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官．作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台．我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为：第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查．（1）从混合的乒乓球中任取1个．（i）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率．（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列．解：（1）（i）∵第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，∴这个乒乓球是合格品的概率.（ii）已知取到的是合格品，它取自第一批乒乓球的概率；（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，；；；故X的分布列为：X012P0.360.480.1617.已知函数．（1）讨论的极值；（2）求在上的最小值．解：（1）由题意知：的定义域为，；当时，，恒成立，在上单调递增，无极值；当时，若，；若，；在上单调递减，在上单调递增；的极小值为，无极大值；综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，；当时，若，；若，；在上单调递减，在上单调递增，；当时，在上单调递减，；综上所述：在上的最小值.18.某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.（2）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支