专题六　6种数学思想在整式乘除中的运用

第十四章整式的乘法与因式分解专题六6种数学思想在整式乘除中的运用建议用时：30分钟类型一整体思想1.

已知：

m

，

n

满足

m

＋

n

＝4，

mn

＝－2，则(1－

m

)(1－

n

)＝

，

m2＋

n2

＝

⁠.2.

已知

x

－

y

＝2，

y

－

z

＝2，

x

＋

z

＝14，则

x2－

y2的值为

⁠.3.

已知

x2－2

x

＝1，则(

x

－1)(3

x

＋1)－(

x

＋1)2的值为

⁠.－5

20

32

0

1234567891011121314151617184.

提供示例支架阅读例题的解答过程，并解答(1)(2)两个问题.例：计算(

a

－2

b

＋3)(

a

＋2

b

－3).解：原式＝[

a

－(2

b

－3)][

a

＋(2

b

－3)]①＝

a2－(2

b

－3)2②＝

a2－4

b2＋12

b

－9.③(1)例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是

⁠

，②→③的变形依据是

；(填整式乘法公式的名称)(2)用此方法计算：(

a

＋2

x

－

y

－

b

)(

a

－2

x

＋

y

－

b

).解：原式＝[(

a

－

b

)＋(2

x

－

y

)][(

a

－

b

)－(2

x

－

y

)]＝(

a

－

b

)2－(2

x

－

y

)2＝

a2－2

ab

＋

b2－4

x2＋4

xy

－

y2.平方差公

式

完全平方公式

123456789101112131415161718类型二转化思想5.

若

a

＝8131，

b

＝2741，

c

＝961，则

a

，

b

，

c

从小到大的排序为

⁠.6.

若一多项式

M

除以2

x2－3，得到的商式为7

x

－4，则这个多项式

M

为

⁠

⁠.c

＜

b

＜

a

14

x3－8

x2

－21

x

＋12

123456789101112131415161718

3

－2

7

12345678910111213141516171810.

已知42

x

×52

x＋1－42

x＋1×52

x

＝203

x－4，求

x

的值.解：42

x

×52

x＋1－42

x＋1×52

x

＝5×(42

x

×52

x

)－4×(42

x

×52

x

)＝202

x

.∵42

x

×52

x＋1－42

x＋1×52

x

＝203

x－4，∴2

x

＝3

x

－4，∴

x

＝4.123456789101112131415161718类型四分类讨论思想11.

(1)若(－2

x

＋

ay

)(－

ay

－2

x

)＝4

x2－9

y2，则

a

的值为

⁠；(2)若4

m2－(

a

＋2)

mn

＋9

n2是完全平方式，则

a

的值为

⁠.±3

－14或10

123456789101112131415161718

解：①∵1的任何次幂都为1，∴2

x

－3＝1，解得

x

＝2，此时(2

x

－3)

x＋3＝1；②∵－1的任何偶次幂都为1，∴2

x

－3＝－1且

x

＋3为偶数，解得

x

＝1，此时(2

x

－3)

x＋3＝1；③∵任何不是0的数的零次幂都为1，∴

x

＋3＝0且2

x

－3≠0，解得

x

＝－3，此时(2

x

－3)

x＋3＝1.综上所述，

x

的值为2或1或－3.123456789101112131415161718类型五数形结合思想13.

如图，在边长为

a

＋

b

的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为

a

，

b

的

四个直角三角形，则剩余部分面积即图中的阴影部分的面积是(

C

)A.

a2－

b2B.

2

ab

C.

a2＋

b2D.

4

ab

第13题图C12345678910111213141516171814.

有两个正方形

A

，

B

，现将

B

放在

A

的内部得图1，将

A

，

B

并列放置后构造新

的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和14，则图2所示的大正方形

的面积为

⁠.第14题图29

12345678910111213141516171815.

从边长为

a

的正方形中剪掉一个边长为

b

的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼

成一个长方形(如图2).(1)上述操作能验证的等式是

⁠；A.

a2－2

ab

＋

b2＝(

a

－

b

)2B.

a2－

b2＝(

a

＋

b

)(

a

－

b

)C.

a2＋

ab

＝

a

(

a

＋

b

)B

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718类型六类比归纳思想16.

观察等式22－12＝3，32－22＝5，42－32＝7，…，用含自然数

n

的等式表示它的

规律为

⁠.(

n

＋1)2－

n2＝2

n

＋1(

n

≥1且

n

为正整数)

12345678910111213141516171817.

观察下列各式的规律：(

a

－

b

)(

a

＋

b

)＝

a2－

b2；(

a

－

b

)(

a2＋

ab

＋

b2)＝

a3－

b3；(

a

－

b

)(

a3＋

a2

b

＋

ab2＋

b3)＝

a4－

b4；…则(

a

－

b

)(

a2

023＋

a2

022

b

＋…＋

ab2

022＋

b2

023)＝

⁠.a2

024－

b2

024

12345678910111213141516171818.

新运算型阅读理解题阅读下列材料：

(1)计算以下各对数的值：log24＝

，log216＝

，log264＝

⁠；2

4

6

123456789101112131415161718(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log

aM

＋log

aN

＝

(

a

＞0且

a

≠1，

M

＞0，

N

＞0)；解：(2)4×16＝64，log24＋log216＝log264.log

a

(

MN

)