1.3.2等比数列前n项和（第1课时）课件高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列3.2等比数列前n项和第1课时等比数列前n项和的推导及初步应用北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法.2.掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,能够运用公式解决相关问题.3.理解并掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用.基础落实·必备知识一遍过知识点1

等比数列的前n项和公式对首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an},它的前n项和名师点睛1.运用等比数列前n项和公式时先要确定公比q是否等于1.2.当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用思考辨析1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系?提示

A=-B.2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量才可以求其他量?提示

三个.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(3)等比数列前n项和不可能为0.(

)√××2.[人教B版教材例题]已知等比数列{an}的公比q=,a8=1,求这个数列前8项的和S8.知识点2

错位相减法1.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法.

该方法使用时注意两和式中项的对应以公比的幂次一致为标准2.该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,也可以用这种方法.思考辨析如果Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,其中{an}是公差为d的等差数列,q≠1.两边同乘以q,再两式相减会怎样?提示

Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,①qSn=a1q+a2q2+…+an-1qn-1+anqn,②①-②,得(1-q)Sn=a1+(a2-a1)q+(a3-a2)q2+…+(an-an-1)qn-1-anqn=a1+d(q+q2+…+qn-1)-anqn.同样能转化为等比数列求和.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=n+2n,在求Sn时可用错位相减法求和.(

)(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=n·2n,在求Sn时可用错位相减法求和.(

)×√重难探究·能力素养速提升探究点一等比数列前n项和公式的直接运用【例1】

(1)求下列等比数列前8项的和:规律方法

求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立.变式训练1(1)求数列{(-1)n+2}的前100项的和;★(2)在14与

之间插入n个数,组成所有项的和为

的等比数列,求此数列的项数.探究点二根据等比数列的前n项和求基本量【例2】

一个等比数列{an},a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5.变式探究设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.变式训练2在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解

(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.由Sm=63,得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63,得2m=64,解得m=6.综上,m=6.探究点三利用错位相减法求数列的前n项和【例3】

求数列

的前n项和.变式探究将例3改为“求数列,…的前n项和.”情况又如何?规律方法

错位相减法求和的解题策略

变式训练3已知数列{an}是首项、公比都为5的等比数列,bn=anlog25an(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Sn.本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列前n项和公式的直接运用.(2)等比数列基本量的运算.(3)错位相减法求和.2.方法归纳:方程(组)思想、错位相减法.3.常见误区:忽略q=1这种情况;运用错位相减法分不清项数.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练18191.[探究点一]1-7+72-73+…+(-7)2n=(

)A1234567891011121314151617182.[探究点二]在等比数列{an}中,已知a1=3,an=48,Sn=93,则n的值为(

)A.4 B.5 C.6 D.7B19123456789101112131415161718193.[探究点二]在数列{an}中,a1=2,am+n=aman,m,n∈N+.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则正整数k等于(

)A.2 B.3 C.4 D.5C123456789101112131415161718194.[探究点一]已知数列{an}是首项为1的等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列

的前5项和为(

)C1234567891011121314151617185.[探究点一]若一个等比数列的首项为,公比为2,S是该等比数列前10项之和,S'是该等比数列前10项的倒数之和,则

=(

)A.16 B.32 C.64 D.128B1912345678910111213141516171819BD1234567891011121314151617187.[探究点一]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=

.

319123456789101112131415161718192n-1123456789101112131415161718199.[探究点三·2024安徽合肥期末]已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)若bn=(2n-1)(2an+1),求数列{bn}的前n项和Sn.1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819(2)bn=(2n-1)(2an+1)=(2n-1)·3n,∴数列{bn}的前n项和Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n-1)·3n,①3Sn=1·32+3·33+5·34+…+(2n-1)·3n+1,②123456789101112131415161718B级关键能力提升练1910.[2024江苏镇江期中]已知等比数列{an}中,an>0,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且S2=48,S4=60,则使得Tn<1成立的正整数n的最小值为(

)A.9 B.10 C.11 D.12D12345678910111213141516171811.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程之和约是(结果保留到个位)(

)A.300米 B.299米 C.199米

D.166米A1912345678910111213141516171812.设数列{an}的前n项和为Sn,称

为数列a1,a2,a3,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,a3,a4,a5的理想数为2014,则数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为(

)D1912345678910111213141516171813.已知数列{an}满足a1=2,对于任意正整数n都有2an+1-an=0,则数列{an}的前6项和是(

)B1912345678910111213141516171814.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是(

)A.q=2B.=9C.S3,S6,S9成等比数列D.Sn=2an+a1AB191234567891011121314151617181912345678910111213141516171815.

为平衡城市旅游发展和生态环境保护,某市计划通过五年时间治理城市环境污染,预计第一年投入资金81万元,以后每年投入资金是上一年的

倍;第一年的旅游收入为20万元,以