22.2.1直接开平方法和因式分解法课件华东师大版数学九年级上册

22.2一元二次方程的解法情境导入知识讲解随堂小测当堂检测课堂小结1.直接开平方法和因式分解法学习目标1.会用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p的方程.（重点）2.灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程.（难点）3.了解转化、降次思想在解方程中的应用.情境导入复习回顾1.平方根的概念.2.（1）什么是因式分解？如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即x2=a，x叫做a的平方根.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.情境导入复习回顾（2）因式分解有哪些方法？3.说出方程(x+1)(x-2)=0的解.①提公因式法x1=-1，x2=2ma+mb+mc=m(a+b+c)②公式法a2-b2=(a+b)(a-b)平方差公式完全平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)知识讲解知识点1直接开平方法和因式分解法的概念解下列方程：（1）x2=4；

（2）x2-1=0.试一试你是怎样解的？对于题（1），有这样的解法：概括方程

x2=4意味着x是4的平方根，所以x=±即

x=±2.这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1=2，x2=-2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.对于题（2），有这样的解法：概括将方程左边用平方差公式分解因式，得(x-1)(x+1)=0，必有

x-1=0或x+1=0.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.分别解这两个一元一次方程，得x1=1，x2=-1.知识讲解知识点2解形如x2=p或x2-p=0（p≥0）的方程（1）方程x2=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？可以，应将方程化成x2-4=0的形式.（2）方程x2-1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？可以，应将方程化成x2=1的形式.思考试用两种方法解方程：

x2-900=0.直接开平方法：移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30.即x1=30，x2=-30.做一做因式分解法：方程左边分解因式，得(x+30)(x-30)=0.所以x-30=0或x+30=0.得x1=30，x2=-30.例1

解下列方程：（1）x2-2=0；

（2）16x2-25=0.解：（1）移项，得x2=2.直接开平方，得x=±2.即x1=2，x2=-2.（2）移项，得16x2=25.方程方程两边都除以16，得x2=.直接开平方，得x=±.得x1=，x2=-.2516545454还有其他解法吗？知识点3用提公因式法解一元二次方程例2

解下列方程：（1）3x2+2x=0；

（2）x2=3x.（2）移项，得x2-3x=0.方程左边分解因式，得x(x-3)=0.所以x=0或x-3=0.得x1=0，x2=3.解：（1）方程左边分解因式，得x(3x+2)=0.所以x=0或3x+2=0.得x1=0，x2=-.23方法x2+bx=0x(x+b)=0想一想：因式分解法解方程的依据是什么？(x-1)(x+1)=0x-1=0或x+1=0由乘积等于零，得到两个因式中至少有一个等于零，从而将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程求解.依据如果ab=0，那么必有a=0或b=0.随堂小测解下列方程：（1）x2=169；

（2）45-x2=0；

（3）12y2-25=0；解:（1）直接开平方，得

x=±13.即

x1=13，x2=-13.（2）移项，得x2=45.直接开平方，得

x=±35.即

x1=5，x2=-5.（2）移项，得

12y2=25.方程两边都除以12，得

y2=.直接开平方，得

x=±.即

x1=，x2=-.2512536536536解下列方程：（3）x2-2x=0；

（4）(t-2)(t+1)=0；

（5）x(x+1)-5x=0.（3）方程左边因式分解，得

x(x-2)=0.所以

x=0或x-2=0.得

x1=0，x2=2.（4）t-2=0或t+1=0.得

t1=2，t2=-1.（2）方程左边分解因式，得

x[(x+1)-5]=0.即

x(x-4)=0.所以

x=0或x-4=0.得

x1=0，x2=4.知识讲解知识点4解形如q（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程例3

解下列方程：（1）(x+1)2-4=0；

（2）12(2-x)2-9=0.(

)2=a(a≥0)解：（1）原方程可以变形为(x+1)2=4.直接开平方，得

x+1=±2.所以

x1=1，x2=-3.（2）原方程可以变形为

(x-2)2=.直接开平方，得

x-2=±.所以

x1=2+，x2=2-.912323232你是这样解的吗？还有其他解法吗？q（mx+n）2=p（pq≥0，q≠0，m≠0）归纳方程两边都除以系数后开方降次mx+n=小张和小林一起解方程x(3x+2)-6(3x+2)=0.你知道吗？小林的解法是这样的：移项，得

x(3x+2)=6(3x+2)，方程两边都除以(3x+2)，得

x=6.小张将方程左边分解因式，得(3x+2)(x-6)=0.所以3x+2=0或x-6=0.得

x1=，x2=6.我的方法多简便！可另一个根x=哪里去了？小林的解法对吗？小林的解法不对，方程两边都除以(3x+2)要在3x+2≠0的情况下，如果不能确定3x+2是否等于零，便不能轻易都除以(3x+2).所以，在解方程时应注意，方程两边都约去含未知数的代数式易丢根.拓展

适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式（1）提取公因式法：x2+bx=0x(x+b)=0提取公因式x（2）公式法：x2-k2=0(x+k)(x-k)=0平方差公式x2±2ax+a2=0(x±a)2=0完全平方公式（3）十字相乘法：x2-(p+q)x+pq=0(x-p)(x-q)=0十字相乘因式分解随堂小测解下列方程：（1）(x+2)2-16=0；

（2）3(2x-1)2-27=0；（3）(x+1)2=5x+5；

（4）(x-2)(2x-3)=6.解:（1）原方程可以变形为(x+2)2=16.直接开平方，得x+2=±4.所以x1=2，x2=-6.（2）原方程可以变形为(2x-1)2=9.直接开平方，得2x-1=±3.所以x1=2，x2=-1.（3）原方程可以变形为(x+1)2-5(x+1)=0.方程左边因式分解，得(x+1)(x+1-5)=0.所以x1=-1，x2=4.随堂小测解下列方程：（1）(x+2)2-16=0；

（2）3(2x-1)2-27=0；（3）(x+1)2=5x+5；

（4）(x-2)(2x-3)=6.（4）原方程可以变形为2x2-7x=0.方程左边因式分解，得x(2x-7)=0.所以x1=0，x2=3.5.当堂检测D.(2x

+

3)2

=

25，解方程，得

2x

+

3

=±5，x1=1，x2=−41.下列解方程的过程中，正确的是

（

）A.x2

=

−2，解方程，得

x

=±B.(x

−

2)2

=

4，解方程，得

x

−

2

=

2，x

=

4

DC.4(x

−

1)2

=

9，解方程，得

4(x

−

1)

=±3，x1=

，x2=

2.(x-2)(x+3)=0的解是

（

）A.x=2 B.x=-3

C.x1=-2，x2=3 D.x1=2，x2=-3D3．解方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正确解法是

（

）A.直接开平方得3(x+1)=2(x-1)B.化为一般形式为13x2+5=0C.分解因式得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0D.直接得x+1=0或x-1=0C4.对于方程x2=m-1.（1）若方程有两个不相等的实数根，则m______；（2）若方程有两个相等的实数根，则m_____；（3）若方程无实数根，则m_____．>1=1<15.用适当的方法解下列方程：（1）(x-3)2-25=0；

（2）x(x-2)+x-2=0；（3）3x2-12x=-12；

（4）(5x+1)2=1.解:（1）原方程可以变形为(x-3)2=25.直接开平方，得x-3=±5.所以x1=8，x2=-2.（2）方程左边因式分解，得(x-2)(x+1)=0.所以x-2=0或x+1=0.得x1=2，x2=-1.（3）原方程整理，得x2