第一章数列章末总结提升课件高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列章末总结提升北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引知识网络·整合构建专题突破·素养提升易错易混·衔接高考知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一方程思想求解数列问题1.数列通项是数列问题的“牛鼻子”,在已确定数列是等差(比)数列的情况,通常围绕等差(比)数列的首项和公差(比)列方程(组).2.重点提升数学运算素养.【例1】

等差数列{an}的各项为正整数,a1=3,前n项和为Sn,在等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,是公比为64的等比数列,求数列{an},{bn}的通项

公式.规律方法

在等比数列和等差数列中,通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量,即a1,an,n,q(d),Sn,其中首项a1和公比q(公差d)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,an,n,q(d),Sn的方程组,通过方程的思想解出需要的量.变式训练1已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为10,且a1,a2,a4是等比数列{bn}的前3项.(1)求an,bn;(2)设cn=bn+,求{cn}的前n项和Sn.专题二转化与化归思想求解数列问题角度1.求数列的通项公式1.在求数列通项公式时如果不知道数列是等差(比)数列,通常先对数列进行判断,必要时可构造一个新的数列是等差(比)数列,然后借助等差(比)数列的性质进行求解.2.重点提升逻辑推理素养和数学运算素养.【例2】

已知在数列{an}中,a1=3,且满足an+1=3an+2×3n+1.(1)证明:数列

为等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)若不等式λan>4n2-8n+3对∀n∈N+恒成立,求λ的取值范围.规律方法

由递推公式求通项公式,要求掌握的方法有两种:一种求法是先找出数列的前几项,通过观察、归纳得出,然后证明;另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列,再采用公式求出.变式训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+2)an-2.(1)求数列{an}的通项公式;(1)解

当n=1时,2S1=(1+2)a1-2,解得a1=2.当n≥2时,2Sn=(n+2)an-2,①2Sn-1=(n-1+2)an-1-2=(n+1)an-1-2,②由①-②,得2an=(n+2)an-(n+1)an-1,即nan=(n+1)an-1.角度2.数列求和1.数列求和的主要方法有裂项相消法、错位相减法、分组求和法等.2.数列求和的方法主要提升逻辑推理和数学运算的核心素养.方法1

分组求和与并项求和【例3】

已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+).(1)证明{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求数列{an+n+1}的前n项和Sn.解

(1)由题意可得a1+1=2≠0,所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1,因此{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知an=2n-1,令bn=an+n+1,则bn=2n+n,所以Sn=b1+b2+…+bn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)规律方法

某些数列通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.有些数列相邻两项的和是同一个常数或构成等差数列,这些数列的求和通常用并项法,但要注意对n分奇偶数讨论.变式训练3(1)数列{(-1)nn}的前n项和为Sn,则S2020等于(

)A.1010 B.-1010C.2020 D.-2020A解析

S2

020=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2

019+2

020)=1

010.(2)已知数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….①求其通项公式an;②求这个数列的前n项和Sn.解

①an=1+2+22+…+2n-1==2n-1.故这个数列的通项公式为an=2n-1.②Sn=a1+a2+a3+…+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.方法2

裂项相消法求和【例4】

已知等比数列{an}的首项为1,公比q≠1,Sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.(1)求an和Sn;(1)解

∵a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项,∴a3-a2=2(a2-a1),∴a1q2-a1q=2a1q-2a1.∵a1=1,∴q2-3q+2=0,规律方法

1.若数列{an}的通项公式能转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和.2.当使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.3.常见的裂项相消法技巧有:方法3

错位相减法求和【例5】

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)记bn=的前n项和为Tn,求Tn.分析(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;(2)利用错位相减法求Tn.解

(1)设等差数列{an}的公差为d,∵2a1,a2,a3+1成等比数列,∴

=2a1·(a3+1),∴(a1+d)2=2a1(a1+2d+1).解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.规律方法

一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,就可采用错位相减法.当写“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.变式训练5已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足an·bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.解

(1)因为Sn=2an-1,所以Sn-1=2an-1-1(n≥2,n∈N+),所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2,n∈N+),所以an=2an-1(n≥2,n∈N+),当n=1时,a1=S1=2a1-1,a1=1,所以数列{an}是首项a1=1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.专题三函数思想求解数列问题【例6】

在等差数列{an}中,3a8=5a13,a1>0.若Sn为{an}的前n项和,则S1,S2,…,Sn中有没有最大值?请说明理由.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn.规律方法

1.数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时,若涉及参数取值范围、最值问题或增减性时,均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3,…,n},这一特殊性对问题结果可能造成影响.2.以函数为载体给出数列,只需代入函数式即可转化为数列问题.变式训练6设y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)=

.

2n2+3n

解析

设f(x)=kx+b(k≠0),又f(0)=1,则b=1,所以f(x)=kx+1(k≠0).又[f(4)]2=f(1)f(13),所以(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2.所以f(x)=2x+1,则f(2n)=4n+1.所以{f(2n)}是公差为4的等差数列.所以f(2)+f(4)+…+f(2n)==2n2+3n.易错易混·衔接高考123456781.[2024全国甲,文4]等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,a3+a7=(

)D123456782.[2024全国甲,理4]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1=(

)B123456783.(多选题)[2024安徽合肥模拟]已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则(

)A.Sn+1=S1+qSnB.对任意n∈N+,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列C.对任意n∈N+,Sn,2S2n,3S3n成等差数列D.若a1<0,则数列

是递增数列的充要条件是-1<q<0AD12345678解析

对于A,Sn+1=a1+a2+…+an+1=a1+q(a1+a2+…+an)=S1+qSn,A正确;对于B,当q=-1,n为偶数时,Sn=0,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不是等比数列,B错误;对于C,当q=1时,数列{an}为常数列,此时Sn,2S2n,3S3n不会成等差数列,C错误;对于D,若数列{S2n-1}是递增数列,则有S2n+1-S2n-1=a2n+a2n+1=a2n(1+q)=a1q2n-1(1+q)>0,由于a1<0,则有q2n-1(1+q)<0恒成立,必有-1<q<0.反之,若-1<q<0,则S2n+1-S2n-1=a2n+a2n+1=a2n(1+q)=a1q2n-1(1+q),由于a1<0,q2n-1<0,1+q>0,则有S2n+1-S2n-1=a1q2n-1(1+q)>0,故数列{S2n-1}是递增数列,所以D正确.故选AD.123456784.[2024全国新高考卷Ⅱ,12]设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=

.

95

123456785.[2024陕西西安莲湖模拟]已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且123456786.[2024河北石家庄模拟]已知等差数列{an}(公差不为0)和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,如果关于x的实系数方程1003x2-S1003x+T1003=0有实数解,则在这1003个关于x的方程x2-aix+bi=0(i=1,2,…,1003)中,有实数解的方程至少有

个.

5021234567812345678所以Δ1≥0,Δ1

003≥0中至少一个成立,同理可得Δ2≥0,Δ1

002≥0中至少一个成立,…,Δ501≥0,Δ503≥0中至少一个成立,且Δ502≥0,综上,在所给的1

003个方程中,有实根的方程至少有502个.123456787.[2024北京卷,15]已知M={k|ak=bk},{an},{bn}不为常数列且各项均不相同,下列正确的是

.

①若{an},{bn}均为等差数列,则M中最多一个元素;②若{an},{bn}均为等比数列,则M