10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算课件高一下学期数学人教A版

第十章概率10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算人教A版

数学

必修第二册课程标准1.理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念.2.理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系.3.理解事件A与事件B之间的关系,及并事件、交事件、事件互斥、事件互为对立等相关概念.基础落实·必备知识全过关知识点1

有限样本空间的相关概念1.随机试验:我们把对随机现象的

和对它的

称为随机试验,简称试验,常用字母

表示.

说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验.(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;

若只有一个结果就不是随机试验了(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.实现

观察E2.样本点:我们把随机试验E的

称为样本点,一般用ω表示样本点.

3.样本空间:全体样本点的

称为试验E的样本空间,一般用

Ω表示样本空间.

4.有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω=

为有限样本空间,也就是说Ω为有限集的情况即为有限样本空间.

每个可能的基本结果

集合{ω1,ω2,…,ωn}名师点睛样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆.注意:试验不同,对应的样本空间也不同;同一试验,若试验的目的不同,则对应的样本空间也不同.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)随机试验的样本点一定是有限个.(

)(2)随机试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个.(

)2.你能举出生活中的随机试验吗?×√提示

生活中的随机试验很多,例如抛硬币试验,掷骰子试验,过红绿灯路口等都是随机试验.知识点2

事件的概念及分类

每个事件都是样本空间Ω的一个子集1.随机事件:样本空间Ω的

称为随机事件,简称事件.

2.基本事件:只包含

的事件称为基本事件.

3.事件A发生:在每次试验中,当且仅当

,称为事件A发生.

4.必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称

为必然事件.

5.不可能事件:空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称

为不可能事件.

子集一个样本点A中某个样本点出现时Ω⌀名师点睛应该注意事件发生的结果是相对应于“一定条件”而言的.故要弄清某一随机事件,必须明确何为事件发生的条件.随机事件发生有可能性大小之分.过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)某人过红绿灯路口时遇到红灯是随机事件.(

)(2)我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的极端情况,每个事件都看作样本空间Ω的子集.(

)(3)只有当事件A中的样本点都发生了,事件A才发生.(

)√√×知识点3

利用集合的知识研究随机事件

符号读法含义Venn图B⊇A(或A⊆B)事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)

事件A与事件B相等事件B包含事件A,事件A也包含事件B

若事件A发生,则事件B一定发生

A=B(B⊇A且A⊇B)

符号读法含义Venn图A∪B(或A+B)

事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中

事件A与事件B的交事件(或积事件)事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中

事件A与事件B的并事件(或和事件)A∩B(或AB)符号读法含义Venn图

事件A与事件B互斥(或互不相容)事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件

,且

,

即

=B,=A事件A与事件B互为对立事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生

A∩B=⌀

A∪B=ΩA∩B=⌀过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√√×√2.如果事件A∪B是必然事件,那么事件A和事件B是对立事件吗?提示

不一定.事件A和事件B是对立事件满足两个条件:①A∩B=⌀;②A∪B=Ω.重难探究·能力素养全提升探究点一试验的样本空间【例1】

[北师大版教材例题]写出下列试验的样本空间:(1)连续抛掷一枚骰子2次,观察每次掷出的点数;(2)袋中有白球3个(编号为a1,a2,a3)、黑球2个(编号为b1,b2),这5个球除颜色外完全相同,从中不放回地依次摸取2个,每次摸1个,观察摸出球的情况;(3)连续射击一个目标直到命中为止,观察射击的总次数.(2)设第一次摸到球的编号用x表示,第二次摸到球的编号用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示.因此,该试验的样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,b1)}.(3)如果用k表示“直到命中目标为止,射击了k次”这个结果,那么该试验的所有可能结果构成的集合可以用正整数集表示,即该试验的样本空间为Ω7={1,2,3,4,5,…}.规律方法

随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.变式训练1某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).(1)写出这个试验的样本空间;(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.解

(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.探究点二随机事件角度1

随机事件的概念及分类【例2】

(1)一个不透明的袋子中装有8个红球,2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是(

)A.3个都是白球 B.3个都是红球C.至少1个红球 D.至多2个白球A解析

由于袋子中白球的个数为2个,摸出的3个球都是白球是不可能事件,故A选项正确;摸出的3个球都是红球是随机事件,故B选项错误;摸出的球至少一个红球是必然事件,故C选项错误;摸出的球至多2个白球是必然事件,故D选项错误.(2)下列事件中,是必然事件的是(

)A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数B.12个人中有两个人生肖相同C.买了一注彩票中一等奖D.实数a+b=b+aD解析选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.变式训练2有下列事件:①在标准大气压下,水加热到80℃时会沸腾;②实数的绝对值不小于零;③某彩票中奖的概率为,则买100000张这种彩票一定能中奖.其中必然事件是(

)A.②

B.③

C.①②③ D.②③A解析

①在标准大气压下,水加热到80

℃时会沸腾,是不可能事件;②实数的绝对值不小于零,是必然事件;③某彩票中奖的概率为

,则买100

000张这种彩票不一定能中奖,因此是随机事件,所以其中是必然事件的为②.角度2

用集合表示随机事件【例3】

做抛掷红、蓝两枚骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数.(1)写出这个试验的样本空间;(2)求出试验的样本点的个数;(3)指出事件A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含义.解

(1)这个试验的样本空间Ω为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.(2)这个试验的样本点个数为36.(3)事件A的含义为“抛掷红、蓝两枚骰子,掷出的点数之和为7”.变式训练3连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出对应的样本空间;(2)求这个试验的样本空间中样本点的个数;(3)写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.解

(1)样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)样本点个数是8.(3)“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为{(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)}.探究点三互斥事件、对立事件的判断【例4】

将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本,则下列两个事件为互斥事件的是(

)A.事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”B.事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”C.事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”D.事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”C解析

将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本,对于A,事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”能同时发生,不为互斥事件,故A错误;对于B,事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”能同时发生,不为互斥事件,故B错误;对于C,事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”不能同时发生,是互斥事件,故C正确;对于D,事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”能同时发生,不为互斥事件,故D错误.规律方法

1.一般判断互斥事件或对立事件时常从集合的角度来认识,若A∪B=Ω,A∩B=⌀,则称事件A与事件B互为对立;若A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容).对于本例中的问题,

要把样本空间明确,再进行分析.2.判断互斥事件的步骤(1)确定每个事件包含的结果;(2)确定是否至少有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两事件不互斥,否则就是互斥的.3.判断对立事件的步骤(1)判断是互斥事件;(2)确定两个事件必然有一个发生,否则只互斥,但不对立.变式训练4从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(

)A.取出2个红球和1个白球B.取出的3个球全是红球C.取出的3个球中既有红球也有白球D.取出的3个球中不止一个红球D解析

从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D.探究点四用简单事件的和或积表示复杂事件【例5】

已知电路图

,其中记A1=“开关K1合上”,A2=“开关K2合上”.则A1A2表示的含义是

.

开关K1,K2同时合上

【例6】

盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解

(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球,故C∩A=A.规律方法

进行事件运算时应注意的问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.变式训练5从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件.(1)三次全取到次品;(2)只有第一次取到次品;(3)三次中至少有一次取到次品;(4)三次中恰有两次取到次品;(5)三次中至多有一次取到次品.A1A2A3

A1∪A2∪A3

本节要点归纳1.知识清单:(1)随件试验及样本空间.(2)随机事件的分类与表示.(3)事件的关系和运算.(4)互斥事件和对立事件.2.方法归纳:列举法、树状图法、Venn图法.3.常见误区:(1)列举样本点时,要按照一定的顺序,力求不重不漏.(2)易将互斥事件和对立事件混淆.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718A级必备知识基础练1.[探究点一]关于样本点、样本空间,下列说法错误的是(

)A.样本点是构成样本空间的元素B.样本点是构成随机事件的元素C.随机事件是样本空间的子集D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多D解析

由定义知A,B,C均正确.因为随机事件是样本空间的子集,所以由子集的定义可知D错.1234567891011121314151617182.[探究点三]给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则(

)A.A⊆B

B.A⊇BC.A与B互斥

D.A与B互为对立事件C解析

由互斥事件的定义知C正确.1234567891011121314151617183.[探究点三]抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是(

)A.A与B B.B与C C.A与D

D.B与DC解析

在A选项中,A与B是对立事件,故A错误;在B选项中,B与C能同时发生,故B与C不是互斥事件,故B错误;在C选项中,A与D不能同时发生,且不是对立事件,故A与D是互斥事件但不是对立事件,故C正确;在D选项中,B与D能同时发生,故B与D不是互斥事件,故D错误.故选C.1234567891011121314151617184.[探究点四]一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件:事件A:恰有1件次品;事件B:至少有2件次品;事件C:至少有1件次品;事件D:至多有1件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号有(

)A.①②

B.③④ C.①③

D.②③A1234567891011121314151617185.[探究点二]从装有3个红球2个绿球的袋子中任取两个小球,请写出这一过程中的一个随机事件:

.

两个小球都是绿色(答案不唯一)1234567891011121314151617186.[探究点四]在随机抛掷一颗骰子的试验中,事件A=“出现不大于4的偶数点”,事件B=“出现小于6的点数”,则事件A∪

的含义为

,事件A∩B的含义为

.

出现2,4,6点

出现2,4点

1234567891011121314151617187.[探究点四]某射手进行射击测试,设A=“射中10环”,B=“射中9环”,C=“射中8环”.(1)“射中10环或9环”可表示为

;

(2)“不够8环”可表示为

.

A∪B1234567891011121314151617188.[探究点三]某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有

.(填序号)

①“恰有1名男生”和“全是男生”;②“至少有一名男生”和“至少有一名女生”;③“至少有一名男生”和“全是男生”;④“至少有一名男生”和“全是女生”.①④

解析

①是互斥事件,“恰有一名男生”的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生,它与“全是男生”不可能同时发生;②不是互斥事件;③不是互斥事件;④是互斥事件,“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生.1234567891011121314151617189.[探究点一]用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”,事件B=“三个圆的颜色不全相同”,事件C=“其中两个圆的颜色相同”,事件D=“三个圆的颜色全相同”.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B,C,D.123456789101112131415161718解

(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色,则试验的样本空间Ω={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}.(2)A={(红,黄,蓝)},B={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)},C={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)},D={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.123456789101112131415161718B级关键能力提升练10.下列现象是必然事件的是(

)A.某路口单位时间内通过的车辆数B.正n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)C.某同学竞选学生会主席成功D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数B解析

A,C,D选项为随机事件,B选项为必然事件.12345678910111213141516171811.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为(

)A.一个是5点,另一个是6点B.一个是5点,另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点C解析

同时掷甲、乙两枚骰子,可能出现的结果共有36个,“都不是5点且都不是6点”包含16个,其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.12345678910111213141516171812.(多选题)设集合A={x|x2≤4,x∈Z},a,b∈A,设直线3x+4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切,则满足条件的样本点可能是(

)A.(-1,2) B.(1,-2)C.(-1,-2) D.(1,2)AB12345678910111213141516171813.(多选题)下列各组事件中是互斥事件的是(

)A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%ACD解析

对于A,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6,不可能同时发生,故A中两事件为互斥事件;对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件;对于C,播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒,不可能同时发生,故C中两事件为互斥事件;对于D,检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%,不可能同时发生,故D中两事件为互斥事件.12345678910111213141516171812345678910111213141516171814.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为

,拨号不超过3次而接通电话可表示为

.

12345678910111213141516171815.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是

.

①A与C互斥

②B与C互斥

③任何两个均互斥

④任何两个均不互斥①③④

解析

从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,在①中,A与C能同时发生,∴A与C不是互斥事件,故①错误;在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②正确;在③中,A与C不是互斥事件,故③错误;在④中,B与C互斥,故④错误.12345678910111213141516171816.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的样本空间;(2)设A=“取出的两件产品中恰有一件次品”,写出集合A;(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,请继续回答上述