高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：29 计数原理（单元测试卷）（学生版+解析版）

专题29《计数原理》单元测试卷

一、单选题

1.（2020•四川省高三三模（理））工）展开式中:项的系数为（）

A.10B.5C.-10D.-5

2.（2020.横峰中学高二开学考试（理））二项式（M+尤了（M为常数）展开式中含/项的系数等于10,

则常数M=（）

A.2B.±1C.-1D.1

3.（2020•四川省高三三模（理））某中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部选派4人，分别担任拔

河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁

判工作，则不同的工作安排方式共有（）

A.120种B.48种C.96种D.60种

4.（2020•东营市第一中学高二期中）为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三

个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种

A.36B.48C.60D.16

5.（2020•吉林省高三其他（理））树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名

女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）

A.8种B.9种C.12种D.14种

6.（2020.山东省高二期中）1.026的近似值（精确到o.oi）为（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

7.（2020•南昌市新建一中高二开学考试（理））已知S=C；7+C；7+C；7+--+《，则S除以9所得的余

数是

A.2B.3

C.5D.7

8.（2020•安徽省高三其他（理））北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁

蓝、长城灰、瑞雪白；间色包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿；辅助色包括墨、金、银.若各赛事纪念品的色彩设

计要求：主色至少一种、至多两种，间色两种、辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝

、银色这三种颜色的概率为（）

8212

A•-----B.—C.—D.—

225451515

二、多选题

9.（2020•山东省高二期中）关于（a-6厂的说法，正确的是（）

A.展开式中的二项式系数之和为2048

B.展开式中只有第6项的二项式系数最大

C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最大

10.（2020•江苏省扬州中学高二期中）将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每

个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（）

A.GGUUB.ex

C.港D.18

11.（2020•江苏省高二期中）若（2x+l）i°=4+01%+4%2+--010%1°,%€尺，贝ij（）

A.a0=1B.a。=0

10

C.ao+q+a2H—+（\0=3D.a0H-Oj+a2H■.一+%。=3

12.（2020•海南省高三其他）对于（2x—的展开式，下列说法正确的是（）

A.展开式共有6项B.展开式中的常数项是-240

C.展开式中各项系数之和为1D.展开式中的二项式系数之和为64

三、填空题

13.（2020•四川省南充市白塔中学高二月考（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每

项工作由1人完成，则不同的安排方式有.

14.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）二项式（2/一,）6的展开式中的常数项是.（用数字作答）

X

15.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种

植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有种（用

数字作答）

16.（2019•宁波市北仑中学高三二模）已知（l+3x）"的展开式中含有抬项的系数是54,则〃=,系

数最大的项为第项.

四、解答题

17.（2019•陕西省西安电子科技大学附中高二期末（理））（1）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒

子至多放1个球，共有多少种放法？

（2）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球量不限，共有多少种放法？

18.（2020•陕西省咸阳市实验中学高二月考（理））从四个不同的数135,7中，选取两个不同的数4涉，分

别求解下列问题的总方法数:

22

（1）焦点在％轴上的椭圆二+11有多少个?

a2b2

y2

（2）焦点在％轴上的双曲线二=1有多少个?

ab2

19.（2020•江西省南昌二中高二月考（理））为了支援湖北省应对新冠肺炎，某运输公司现有5名男司机，4

名女司机，需选派5人运输一批紧急医用物资到武汉.

（1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？

（2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？

20.（2020•江苏省邢江中学高二期中）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排;

排成前后两排,前排4人，后排3人;

(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;

(4)全体排成一排,女生必须站在一起;

(5)全体排成一排,男生互不相邻.

21.（2020•福建省南平市高级中学高二期中）已知2%+展开式前三项的二项式系数和为22.

（1）求展开式中的常数项;

（2）求展开式中二项式系数最大的项.

22.（2020・扬州大学附属中学高二月考）已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至

找到所有次品.

（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测

试方法？

（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？

专题29《计数原理》单元测试卷

一、单选题

1.（2020•四川省高三三模（理））（1—工）展开式中J项的系数为（）

A.10B.5C.-10D.-5

【答案】C

【解析】

（1一工）5展开式的通项公式为4+1=GH—l）'4"，令—r=—3,可得r=3,

X

1々

故展开式中方项的系数为-C；=-10,

X

故选：C.

2.（2020.横峰中学高二开学考试（理））二项式（M+尤r（M为常数）展开式中含/项的系数等于10,

则常数M=（）

A.2B.±1C.-1D.1

【答案】D

【解析】

rr3

T+]=C；M^x,令r=2,则炉的系数为C；M

故10=C；"3,所以加=1.故选D.

3.（2020•四川省高三三模（理））某中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部选派4人，分别担任拔

河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁

判工作，则不同的工作安排方式共有（）

A.120种B.48种C.96种D.60种

【答案】C

【解析】

从5人中选4人担任4项不同工作有6种方法.若甲担任裁判工作，再从另外4人中选3人担任3项不同

工作有因种方法.

则符合题意的工作安排方式共有国-团=96,

故选：c.

4.（2020•东营市第一中学高二期中）为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三

个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种

A.36B.48C.60D.16

【答案】A

【解析】

4x3

根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有盘=三一=6种方式，

所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有

屐=6x3x2x1=36种方式.

故选：A

5.（2020•吉林省高三其他（理））树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名

女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）

A.8种B.9种C.12种D.14种

【答案】D

【解析】

任意选有屐=15种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.

故选：D.

6.（2020•山东省高二期中）1.026的近似值（精确到0。1）为（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

【答案】B

【解析】

1.026=（1+0.02）6=1+Cx0.02+索x0.022+（^x0.023+.••+0.026»1+0.12+0.006«1.13.

故选：B.

7.（2020•南昌市新建一中高二开学考试（理））已知5=《7+《+<^7+-・+《，则S除以9所得的余

数是

A.2B.3

C.5D.7

【答案】D

S=C；7+C；7+C；7+L+C；；=227-l=89-l=（9-l）9-l=99C°-98C^+L+9C；—2,所以除以9的

余数为7.选D.

8.（2020•安徽省高三其他（理））北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁

蓝、长城灰、瑞雪白；间色包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿；辅助色包括墨、金、银.若各赛事纪念品的色彩设

计要求：主色至少一种、至多两种，间色两种、辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝

、银色这三种颜色的概率为（）

8212

A.-----B.—C.—D.—

225451515

【答案】B

当主色只选一种时，共有种

当主色选两种时，共有仁C"；=300种

其中，若主色只选一种时，某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的共有C；=4种;

若主色选两种时，某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的共有C：C：=16种;

则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的概率为4+16=_2_

150+30045

故选：B

二、多选题

9.（2020•山东省高二期中）关于（a-3”的说法，正确的是（）

A.展开式中的二项式系数之和为2048

B.展开式中只有第6项的二项式系数最大

C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最大

【答案】AC

【解析】

（。-4”的展开式中的二项式系数之和为2"=2048,所以A正确；

因为〃=11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以3

不正确，。正确；

展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以。不正确.

故选：AC

10.（2020•江苏省扬州中学高二期中）将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每

个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（）

A.CCCGB.盘6

C.窗尺D.18

【答案】BC

【解析】

根据题意，

解法1,先将4人三组，有O’2种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个兴趣小组，有A3?种情况，

23

则有C4A3种分配方法，B正确；

解法2,在3个小组中选出1个，安排2个同学，有C31c42种情况，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2

个兴趣小组，有A22种情况，则有C31c42A22种分配方法，C正确；

故选：BC.

11.（2020,江苏省IWJ二期中）若（2x+1）|°=/+qx+a?》?+•■。。幺。,％wR,贝"（）

A.a。=1B.a。—0

C.%+q+%+…+%o=31°D.%+q+%+…+=3

【答案】AC

【解析】

因为（2X+Ip°=%+HGo》。,九£尺，

令1=0得。0=1，故A正确.

令X—1得a。+q+a?+，，，+%0=31°,故C正确.

故选:AC

12.（2020•海南省高三其他）对于（2x-31的展开式，下列说法正确的是（）

A.展开式共有6项B.展开式中的常数项是-240

C.展开式中各项系数之和为1D.展开式中的二项式系数之和为64

【答案】CD

【解析】

—《J的展开式共有7项，故A错误；

（2x—3］的通项为4+1=禺（2尤）6-（_e）=（-l）r26-rC；x6-3r.

令6-3r=0,\r=2,展开式中的常数项为（—lyz,盘=240,故8错误；

令x=l,则展开式中各项系数之和为（2x1-1）6=1,故c正确；

2x-二］的展开式中的二项式系数之和为26=64,故。正确.

故选：CD.

三、填空题

13.（2020•四川省南充市白塔中学高二月考（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每

项工作由1人完成，则不同的安排方式有.

【答案】36

【解析】

根据题意，先将4项工作分成3组，有C；=6种分组方法,

将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有蜀=6种情况，

则有6x6=36种不同的安排方式.

故答案为：36.

14.（2020•北京市鲁迅中学高二月考）二项式（2必一,）6的展开式中的常数项是.（用数字作答）

x

【答案】60

【解析】

有题意可得，二项式展开式的通项为:

Tr+l=C；(2/广=(―1)，26-玛＞3,

令12—3r=0可得r=4,此时岂=22^=60.

15.(2020•北京市鲁迅中学高二月考)如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种

植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有种(用

数字作答)

【解析】

根据题意：当1,3相同时，2,4相同或不同两类，有：5x4xlx(l+3)=80种,

当1,3不相同时，2,4相同或不同两类，有：5x4x3x(l+2)=180种,

所以不同的种植方案共有80+180=260种,

故答案为：260

16.(2019•宁波市北仑中学高三二模)已知(l+3x)"的展开式中含有炉项的系数是54,则〃=,系

数最大的项为第项.

【答案】44

【解析】

rr

二项式(l+3x)”的展开式的通项为C；(3x)「=3Cnx,

则含x2的项的系数为乎C；="(7)=54,

解得〃=4,

23

贝U二项式(1+3x)4的展开式为(1+3为4=1+12]+54x+108x+81/,

所以系数最大的项是第4项.

故答案为：4,4

四、解答题

17.(2019•陕西省西安电子科技大学附中高二期末(理))(1)3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒

子至多放1个球，共有多少种放法？

(2)3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球量不限，共有多少种放法？

【答案】(1)60.(2)125

【解析】

(1)把3个不同的小球分别放入5不同的盒子里(每个盒子至多放一个球)，

实际上是从5个位置选3个位置用3个元素进行排列，共有匈=60种结果，

，共有：60方法.

(2)•.•3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球量不限

•••一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有5种独立的放法，

由分步乘法计数原理，放法共有53=125种

・・.共有：125放法.

18.(2020•陕西省咸阳市实验中学高二月考(理))从四个不同的数1,3,5,7中，选取两个不同的数a/，分

别求解下列问题的总方法数:

V2

(1)焦点在x轴上的椭圆二1有多少个?

a

(2)焦点在x轴上的双曲线二一二=1有多少个?

crb2

【答案】(1)6个；(2)12个.

【解析】

y2

(D)焦点在％轴上的椭圆「+=1,则a>Z?>0,

ab2

从4个数中选择两个，〃取大的一个，匕取小的一个，共有=6个.

22

(2)焦点在X轴上的双曲线=—1=1,则小b,

/b1

从4个数中有顺序的选择两个,共有4=12个.

19.（2020•江西省南昌二中高二月考（理））为了支援湖北省应对新冠肺炎，某运输公司现有5名男司机，4

名女司机，需选派5人运输一批紧急医用物资到武汉.

（1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？

（2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？

【答案】（1）60种（2）121种

【解析】

（1）可分步完成这件事情：第一步，选3名男司机，有C；种不同的选法；

第二步，选2名女司机，有C：种不同的选法；

由分步乘法原理，共有或C：=60种不同的选法.

（2）可分类完成这件事情：第一类，选2名男司机3名女司机，有C；C：种不同的选法；

第二类，选3名男司机2名女司机，有种不同的选法；

第三类,选4名男司机1名女司机，有C；C；种不同的选法；

第四类，选5名男司机。名女司机，有以种不同的选法；

由分类加法与分步乘法原理，共有点窗+《戏+以&+仁仁=121种不同的选法.

20.（2020.江苏省邢江中学高二期中）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

（4）全体排成一排，女生必须站在一起；

（5）全体排成一排，男生互不相邻.

【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种

【解析】

（1）从7人中选5人排列，有禺=7x6x5x4x3=2520（种）.

（2）分两步完成，先选4人站前排，有用种方法，余下3人站后排，有用种方法，共有=5040（种）.

（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有可种排列方法，共有5x4=3600（种）.

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有禺种方法，再将女生全排列，有阎种方

法，共有A