利用导数研究函数的单调性【8类题型】（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本号资料全部来源于微信公众号：数学#第六感更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学热点专题3-3利用导数研究函数的单调性近5年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2024年甲卷(文)，第20(1),5分高考中，利用导数研究函数单调性为重要考点。考生需掌握导数定义、性质及求导方法，通过导数正负判断函数单调区间。此考点强调导数与函数单调性的直接联系，要求考生能准确求解导数并据此分析函数在特定区间的单调性。备考时，应注重基础知识的巩固与解题技巧的提升，通过大量练习增强实际应用能力。（1）函数的单调区间（2）单调性与导数的关系（3）含参函数单调性讨论2024年北京卷，第20(1),5分2023年I卷第第19(1),5分2023年乙卷(文)，第20(2)，7分2023年乙卷（理）第16题，5分2022年新高考II卷，第6题,5分2022年甲卷第12题，5分2021年浙江卷第7题，5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参）【题型2】函数与导函数图像之间的关系【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）【题型8】最多有2个极值点的函数单调性分析（不可因式分解）模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参）判断函数y＝f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．已知函数，判断的单调性，并说明理由；（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.*本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感【巩固练习1】函数的严格递减区间是.【巩固练习2】函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为.【巩固练习4】（2024·河北保定·二模）已知函数.若，讨论的单调性；【巩固练习5】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，若，求的单调区间.【巩固练习6】（2024·全国·模拟预测）已知函数，讨论函数的单调性．

【题型2】函数与导函数图像之间的关系原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在端点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在端点成立，其余点满足）．导数的绝对值与函数值变化的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（

）

A．

B．

C．

D．

函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【巩固练习1】已知函数的导函数的图象如图所示，那么对于函数，下列说法正确的是（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在处取得最大值 D．在处取得极大值【巩固练习2】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【巩固练习3】已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（

）A．B．C．D．【巩固练习4】的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【巩固练习5】（多选）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的减区间是，B．函数的减区间是，C．是函数的极小值点D．是函数的极小值点【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．（23-24高三·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是.（2024·陕西西安·三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【巩固练习2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.本号*资料全部来源于微信公众号：数学第#六感【巩固练习3】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【巩固练习4】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数在上单调递增，则a的取值范围是．【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．若函数在区间单调递增，则的取值范围是；若函数在区间内不单调，则的取值范围是．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是．【巩固练习1】已知函数在上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习2】若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是.【巩固练习3】（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）本号资料全部*来源于微信公众号：数学第六感A． B．C． D．m>1【巩固练习4】（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【巩固练习1】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习2】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.【巩固练习3】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习4】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是．【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析本号资料#全部来源于微信*公众号：数学第六感利用导数判断函数单调性的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求出导数的零点；（3）先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时的正负是确定的，即单调（4）当零点在定义域内时，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性；（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间.（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.【巩固练习1】已知函数.讨论函数的单调性；【巩固练习2】已知函数．讨论函数的单调性；【巩固练习3】（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中.讨论的单调性；【巩固练习4】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数,讨论的单调性；【巩固练习5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.讨论的单调性;本号资料全部来源#于微信公众*号：数学第六感【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下：第一步：求的定义域第二步：求出，通分第三步：令，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时只有一个极值点第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间．注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.已知函数.讨论函数的单调性；

已知函数，讨论函数的单调性.【巩固练习1】已知函数．讨论的单调性；本号资料全部来源于微信公众*号#：数学第六感【巩固练习2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数