对数与对数函数【12类题型】（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学对数与对数函数近5年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2024年II卷第8题，5分从近四年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.（1）对数的概念及运算性质（2）对数函数的图象（3）对数函数的性质2024年北京卷第7题，4分2024年天津卷第5题，5分2023年北京卷第11题，5分2023年I卷第10题，5分2022年I卷I卷第7题，5分2022年浙江卷第7题，5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】指数对数混合运算【题型2】换底公式的应用【题型3】对数函数的图象及应用【题型4】对数函数过定点问题【题型5】指对幂比较大小【题型6】解对数方程或不等式【题型7】对数函数模型的实际应用【题型8】对数型复合函数的单调问题【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题【题型11】反函数问题【题型12】对数函数的综合问题模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】指数对数混合运算1、对数计算公式（1）同底对数加减运算：；（2）底数和真数是乘方数时：（3）对数恒等式：（4）倒数式：2、对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.化简下列各式：(1)； (2).【巩固练习1】化简的值为（）A．B．C．D．-1【巩固练习2】求值（1）（2）（3）（4）【题型2】换底公式的应用换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．已知，，则（用，表示）已知，，则.（用表示）已知，则．【巩固练习1】设，，（1）用含，的式子表示，形式为___________.（2）用含，的式子表示，形式为___________.【巩固练习2】设，求的值．【题型3】对数函数的图象及应用对数函数的图象（底大图低）a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势.已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c函数的图象是（

）A．B．C． D．已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（）A．(0，1)B．(0，)C．(0，1]D．[1，+∞)【巩固练习1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（

）A．

B．

C．

D．

【巩固练习2】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，【巩固练习3】已知函数，若且，则的取值范围为.【题型4】对数函数过定点问题对数函数过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0；函数过定点函数

(且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．【巩固练习1】已知函数f(x)=1+loga(2x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n)A．1 B．2 C．3 D．4【巩固练习2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【巩固练习3】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．【题型5】指对幂比较大小1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1例1：和（倍数一致）简析：；，由图像可知例2：和（差一致）简析：；，由图像可知设，，，则（

）A． B． C． D．设，则（）A．B．C．D．【巩固练习1】（2024·天津·二模）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【巩固练习2】已知，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【巩固练习3】已知，，，则A． B． C． D．【巩固练习4】设，，，则（

）A． B．C． D．【题型6】解对数方程或不等式【方法技巧】（1）对于形如的形式，利用转化；对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可．方程的解为________设，则的取值范围是（）A．B．C．D．，不等式的解集为．【巩固练习1】方程的解是（）A．1B．2C．eD．3【巩固练习2】已知，则的值为____．【巩固练习3】若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．【巩固练习4】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．【题型7】对数函数模型的实际应用对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少．那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时【巩固练习1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式：求得．其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55【巩固练习2】2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则年我国人口将超过20亿．（，，）【巩固练习3】我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【题型8】对数型复合函数的单调问题对数型复合函数的单调问题1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.2、模板解决步骤第一步：求函数的定义域．第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．本号资料全#部来源于微信公众号：数学第六感函数的单调递增区间是（）本号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感A．B．C．D．若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．【巩固练习1】函数的单调增区间为（）A．B．C．D．本号资#料#全部来源于微信公众号：数学第六感【巩固练习2】已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习4】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是.【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.函数的最小值是（）．A．10B．1C．11D．已知函数的最大值为2，则．【巩固练习1】已知函数，则的值域为（）A．B．C．D．【巩固练习2】若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题常见指对型函数奇偶模型（1）（2）（3）（4）（5）是偶函数，如，设函数，则使得成立的的取值范围为（）A．B．C．D．函数的部分图像大致为（

）A． B．C． D．【巩固练习1】已知是定义在上的奇函数，且当时，．(1)求；(2)解不等式．【巩固练习2】设函数为偶函数．(1)求k的值；(2)写出函数的单调性（不需证明），并解不等式．【题型11】反函数问题指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（

）A． B．C． D．【巩固练习1】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是本号资料全部来*#源于微信公众号：数学第六感【题型12】对数函数的综合问题1、对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调