圆的最值与范围问题（8题型+满分技巧+限时检测）（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学圆的最值与范围问题与圆相关的最值问题是近几年高考数学对圆的考查的重点内容。主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值及问题。一般以选择题和填空题的形式考查，但还需注意与圆锥曲线相结合的问题。【题型1圆上一点到定点的最值范围】满分技巧圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值。已知圆及圆外一定点，设圆的半径为，则圆上点到点距离的最小值为，最大值为，即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.【例1】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（）A．8B．9C．D．【变式1-1】（2024·北京朝阳·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（）A．2B．C．D．3【变式1-3】（2023·上海·高三市实验学校校考阶段练习）若点在圆上运动，为的中点．点在圆上运动，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-4】（2024·重庆·统考一模）过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【题型2圆上一点到直线的最值范围】满分技巧圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于【例2】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知直线和圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【变式2-1】（2024·广东湛江·统考一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为．【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式2-3】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知点为直线上的动点，平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点和点距离的最小值为．【变式2-4】（2024·广东茂名·统考一模）动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为.【题型3过圆内定点的最值范围】满分技巧过圆内定点的弦长最值：已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长为直径，最短为与该直径垂直的弦.【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中学校考期末）设直线与圆交于，两点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式3-1】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）直线被圆所截得的弦长的最小值为.【变式3-2】（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知圆C:，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（）A．B．C．1D．【变式3-3】（2023·河南·高三统考阶段练习）过圆内点有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列，且，其中分别为过点的圆的最短弦长和最长弦长，则的取值集合为（）A．B．C．D．【变式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为.【题型4圆的切线长的最值范围】满分技巧切线长度的最值求法1、代数法：利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.【例4】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．【变式4-1】（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：的切线，切点为Q，则的最小值为．【变式4-2】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知动点到两个定点，的距离之比为，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（）A．B．C．D．本号资料*全部来源于微信公众号：数学#第六感【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为.【变式4-4】（2023·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【题型5距离和差的最值范围】满分技巧圆中的距离和差问题可借助圆的几何特性进行举例转化，有时需结合对称性及三点共线距离最短的性质求解最值。【例5】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点．则的最小值是（）A．B．C．D．本号资料*全部来源于#微信公众号：数学第六感【变式5-1】（2024·江西·高三校联考期末）已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为.【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为.【变式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（）.A．B．C．D．【变式5-4】（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【题型6与角度有关的最值范围】满分技巧与角度有关的最值范围问题的处理方法：利用三角函数定义，将三角函数值转化为边的比值，观察线段之间的关系再进行处理。【例6】（2024·全国·模拟预测）设点是圆上的动点，过点与圆相切的两条直线的夹角为，则的最大值为．【变式6-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（）A．B．C．D．【变式6-2】（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，设，，，动点满足，则最大值为（）A．B．C．D．【变式6-3】（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知圆：与直线：（），过上任意一点向圆引切线，切点为，，若的最小值为，则实数的值为（）A．B．C．D．【变式6-4】（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（）A．B．C．D．【题型7代数式几何意义的最值范围】满分技巧利用代数法的几何意义求最值1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题；2、形如的最值问题，可以转化为点和点距离的平方的最值问题；3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题【例7】（2023·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【变式7-1】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知平面四边形中，点，坐标平面内的点满足，则的取值范围是【变式7-2】（2023·四川凉山·统考一模）已知是曲线上的点，则的取值范围是.【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足方程，则的最大值为；的最大值为．【变式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知直线交圆于两点，则的最小值为（）本号资料全部来#源于微信公众号*：数学第六感A．9B．16C．27D．30【题型8圆中面积的最值范围】满分技巧与圆有关的面积最值问题一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解。【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A．B．C．D．【变式8-1】（2024·广东广州·高三玉岩中学校考开学考试）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A．B．C．D．【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）设点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为.【变式8-3】（2024·山西吕梁·统考一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（）A．B．C．2D．4【变式8-4】（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，已知圆：，圆：，过直角坐标原点作直线分别交两圆于过点作直线分别交两圆于，连接，则四边形面积的最大值为（建议用时：60分钟）1．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（）A．16B．17C．18D．193．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．4．（2024·河北·高三张北县第一中学校联考开学考试）已知圆上有一动点P，圆上有一动点Q，直线上有一动点M，直线与圆相切，直线与圆相切，则的最小值为（）A．4B．5C．D．5．（2022·四川广安·高三岳池中学校考阶段练习）已知点是圆上任意一点，，则（）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最大值是6．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（）A．B．C．D．7．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）（多选）已知，点到直线：的垂足为，，，则（）A．直线过定点B．点到直线的最大距离为C．的最大值为D．的最小值为8．（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）（多选）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，.记线段，的中点分别为，，则下列结论正确的是（）A．圆的方程为B．四边形面积的最大值为C．弦的长度的取值范围为D．直线恒过定点9．（2023·湖北荆州·湖北省松滋市第一中学校考模拟预测）（多选）已知圆：，