椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型本份讲义以选填中档题和压轴题为主近4年考情(主要以新高考为主)考题示例考点分析关联考点2023年新高考I卷，第16题求双曲线离心率，焦点三角形+几何性质双曲线的焦点三角形问题2023年新高考II卷，第5题椭圆的焦点三角形面积比椭圆的焦点三角形面积2022年新高考I卷，第16题椭圆焦点弦公式，双焦点三角形模型椭圆的定义，离心率，垂直平分线性质2022年新高考II卷，第16题椭圆中点弦问题（点差法）由弦长关系求直线方程2021年新高考I卷，第5题椭圆中的最值问题由基本不等式求最值，椭圆的定义2020年新高考，第22题平移+齐次化（手电筒模型）由斜率积为定值求直角过定点2022年甲卷（理），第10题椭圆第三定义（点差法）斜率积为定值求离心率2023乙卷·理11·文12题点差法，验证双曲线弦中点是否存在点差法求直线斜率，判断直线与双曲线是否有2个交点总览总览题型解读【题型1】点差法（弦中点模型） 8【题型2】点差法（第三定义） 17【题型3】双曲线焦点三角形内切圆 26【题型4】焦点弦长与焦半径公式 34【题型5】焦点弦被焦点分为定比 41【题型6】焦点三角形+几何性质求离心率 44【题型7】利用对称性 52【题型8】渐近线的垂线模型 56【题型9】双焦点三角形倒边模型 62【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程（2次余弦） 66【题型11】取值范围问题 69【题型12】椭圆与双曲线共焦点问题 72模块一模块一高考真题再现2023·新高考1卷T16已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．【答案】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.2022·新高考2卷16题已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即2022年新高考I卷第16题已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【答案】13【解析】易知为等边三角形，的周长为【法一】：焦点弦公式【法二】：通性通法【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为．【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】法一：记AB交x于D点，则，故法二：将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），2022年全国甲卷（理）T10——第三定义椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.2023全国乙卷·理11·文12设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．模块二模块二高考模拟·新题速递【题型1】点差法（弦中点模型）中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理（中点弦模型）：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴【思考】（1）椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；（2）在双曲线中是否有类似的性质？（1）设，，则，仍有，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 两式相减得：，整理得∴（2）∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ① ②两式相减得：，整理得可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：2024·江西鹰潭·一模已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求出点坐标，再利用点差法求得，进而可得椭圆离心率.【详解】依题意，椭圆的左焦点为，，过作轴，垂足为，由，得，，则，设，则有，，由，两式相减得，则有，所以.2024·湖南邵阳·二模已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由点差法解出，再由结合椭圆的性质和离心率的定义解出即可.【详解】设，因为弦被直线平分，设中点坐标，所以，①因为点在直线上，代入可得，两式相减可得，②又点在椭圆上，代入可得，两式相减可得，代入①②可得，又椭圆中，所以离心率，故选：C2024·宁波十校·3月适应性考试本号资料*全部来源于微信公众号：数学第六感已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为.【答案】【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得三点共线，从而求得，由此可求得双曲线的离心率.【简析】取AB，CD的中点M，N，易知，即，故M、O、N三点共线，而△PAB与△PCD相似，故P、M、N三点也共线，则，故【详解】设，线段AB的中点，则，两式相减得，所以①，设，线段CD的中点，同理得②，因为，所以，则三点共线，所以，将①②代入得：，即，所以，即，所以2024·福建龙岩·一模斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为.【答案】【分析】取的中点，利用点差法可得，，结合已知求出即可求出离心率.【详解】取的中点，依题意，点是中点，点分别在上，设，由两式相减得，直线斜率，直线斜率，则，直线的斜率分别为，同理，又，因此，解得，所以椭圆的离心率.故答案为：2024·浙江温州·一模斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为.【答案】【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取的中点，得到，再由，，结合所以，求得，利用，即可求解.【详解】若直线与双曲线有两个交点，设的中点为，联立方程组，整理得，可得，则，又由在直线上，可得，所以，所以，即直线与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线的斜率之积为定值，本号资料全部来源于微信公众号：数学#第#六感如图所示，取的中点，因为的重心在中线上，的重心在中线上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因为，且的外心为点，则为线段的中点，可得，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.

2024·吉林白山·一模不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点差法求出，再结合进行计算得出结果.【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则，所以，因为关于对称，所以，所以，由线段的中点的坐标为，得出．所以，又，∴，即，又，∴，所以所求离心率为.2024·浙江省强基联盟联考（多选）已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．是定值C．是定值 D．【答案】ABD【分析】根据抛物线的性质可判定A选项；根据A、B关于直线对称及点在抛物线上可得，，，联立化简可判定B、C选项；再利用AB中点在抛物线内可得，结合直线方程可判定D选项.【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为，即A正确；设A、B的中点为D，则，易得①，又②，且③，④，将③④代入②可得：，代入①可得，故B正确，C错误；所以A、B的中点坐标为，则直线的方程为：，令得：，而位于抛物线内部，即，可得，则．即D正确.【题型2】点差法（第三定义）第三定义 点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设，，，，，① ②两式相减得：，整理得∴法二：构造中位线设，∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得① ②两式相减得：，整理得∴同理可得，当焦点在y轴上时，椭圆有：；双曲线有：已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出坐标，根据题意得，代入斜率公式，由点在双曲线上，消元整理得到的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设，则，因为，即，由，所以，因为，所以，即，得，所以，即，又，所以，即，所以，故双曲线的离心率为．故选：D.已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为.【答案】【分析】利用对称性可得，再设结合双曲线的标准方程计算．【详解】由题意，，由于双曲线与都关于轴对称，因此它们的交点关于轴对称，所以，设，则，，已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出两点的坐标，根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的标准方程.【详解】设，则，依题意，，解得，所以椭圆的标准方程为.

2024·浙江绍兴·二模已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.【答案】B【简析】设，则，，因为，故，由二级结论可知，而，，所以2024届·河南天一大联考（六）·T14已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为、，点在上运动（与、枃不重合），直线交直线于点，若恒成立，则的离心率为.【答案】【分析】推导出，设直线的方程为，其中，求出点的坐标，分析可知，可得出关于、的齐次等式，即可得出双曲线的离心率的值.【法一】如图所示，由对称点以及斜率之积为-1想到第三定义，即，而，即注意到M，N，A2三点共线，故，记交x轴于点E，则，故则有【法二】设点，其中，则，易知点、，则，设直线的方程为，其中，则，故，将代入可得，即点，，因为，则，则，整理可得，即，即，可得，故双曲线的离心率为.2024·江苏镇江·开学考试已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意设出各个点的坐标，注意到，结合，两式相比结合斜率公式即可求解.【详解】如图所示：

设，则，而，又因为，所以，解得，所以椭圆离心率为.2024届·湖北省腾云联盟高三联考已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为．【答案】【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．【详解】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以，设点，可得直线，的斜率，，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以椭圆的离心率为．故答案为：．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，点在双曲线上，即，有，因此，点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有，即，于是，即直线与关于轴对称，又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，显然，，，解得，所以双曲线的离心率.

【题型3】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为由双曲线定义，可知：又因为，所以，所以。即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上二、焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆:有一个焦点为切点证明：设内切圆分别与的三边F1A，F1B，AB相切于M，N，P，由切线长定理可知，，设，则有故，即，所以P，F2重合．2024·重庆南开中学·月考七如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点，从而可知轴；接着通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是；最后通过渐近线与相交弦斜率关系，得到离心率范围.【详解】设，的内切圆圆心分别为,如图，设的内切圆与轴的切点为，由双曲线定义，根据圆的切线长性质得，进而得点的横坐标为，即点是双曲线右顶点；同理可得点也是的内切圆与轴的切点，连接，，，从而可知轴，设直线的倾斜角为，∴，，又，∴，，∴，解得，∴，∴，则离心率.故选项为：B.湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二)双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．【答案】【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，，从而解出、，利用勾股定理可解.*本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P则四边形、都为正方形，设内切圆半径为，由圆的切线性质，则，则，①又因为，②且双曲线定义得，，③由①、②、③得，所以，从而，由勾股定理，，所以，解得．2024届·云南昆明一中校考已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.【答案】【详解】如图所示：

设内切圆半径为，切点分别为，由题意，则，所以，由双曲线定义有；又因为，即，所以，因此，从而直角三角形的内切圆半径是，所以的内切圆周长为.（多选题）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）本号资料全部来源于微信公*众号：数学第六感A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是【答案】AC【详解】双曲线的，渐近线方程为，两渐近线倾斜角分别为和，设圆与轴切点为过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为，的的横坐标为，则由双曲线定义，所以由圆的切线长定理知，所以.的横坐标均为，即与轴垂直.故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，中，，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上.选项B错误；在中，，，则由直角三角形的射影定理可知，即则，故.选项C正确；

由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，则的取值范围为，故，又，则令，则在单调递减，在单调递增.值域为故的值域为.（多选）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（

）

A．切点与右焦点重合 B．C． D．【答案】ACD【分析】利用切线长定理及双曲线的定义可判定A、B，利用内切圆的性质及双曲线的定义可判定C，利用三角恒等变换计算可判定D.【详解】对于A，由切线长定理可知：，则，，故①，又②，①②得，得，即，故点与点重合，正确；对于B，，B错误；对于C，根据三角形内切圆的性质可得，即，故C正确；对于D，令，则结合A、B选项可得：，∴．故D正确．2023·广东广州·一模双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】由题意如图所示：由双曲线，知，所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出，由题知的内切圆的半径相等，且，的内切圆圆心的连线垂直于轴于点，设为，在中，由等面积法得：由双曲线的定义可知：由，所以，所以，解得：，因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为，在中，由等面积法得：，又所以，所以，所以，，所以【题型4】焦点弦长与焦半径公式椭圆焦半径与焦点弦夹角公式焦半径长公式：（长），（短），【特别的】焦半径倒数和为定值：证明：在中，由余弦定理得，将代入得：，移项合并得：，同理，在中，由余弦定理得，将代入化简得：则双曲线焦半径与焦点弦夹角公式已知双曲线，求出2种情况下的焦半径,以及焦点弦情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α【答案】情况1：在中，由余弦定理得，将代入得：，移项合并得：，同理可得：，则.情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β【答案】情况2：在中，由余弦定理得，将代入得：，移项合并得：，同理可得：，则.2024·云南楚雄·一模过双曲线（，）的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左，右两支分別交于点，．若，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】根据双曲线的定义及焦点到渐近线的距离，余弦定理，再结合比例关系可得出，即可求出离心率.【详解】如图，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为．设双曲线的左焦点为，连接，则．在中，设，则，在中，由余弦定理得，将代入整理后得，同理．∵，∴，∴该双曲线的离心率为．2024··重庆康德第一次联考已知，分别是双曲线C：（）的左、右焦点，过作一直线交C于M，N两点，若，且的周长为1．则C的焦距为．【答案】【法一简析】如图，的周长可以表示为，而由焦点弦公式可得，故【常规法联立】设双曲线的焦距为，点，由双曲线方程知，本#号资料全部来源于微信公众号：数学第六感显然直线的倾斜角为，斜率为，方程为，由消去y并整理得，，则，，，显然，则的周长，解得，所以双曲线C的焦距.2023届·青岛三模T8——2个二级结论已知O为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，AB中点为W，，则离心率e＝________；的周长等于12，则a＝________．【答案】，1（1）易知，又，则（2）易知，，则的周长为由焦点弦长公式可知，故过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的弦，其中在双曲线的左支上，在轴上方，则的最小值为．当的倾斜角为时，四边形的面积为．【答案】解析：方法1：设，联立得．所以．所以，当且仅当时等号成立．．方法2：，（提示：是焦准距．2023浙江绍兴二模T16已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.【答案】【详解】思路一：设的中点为M，易知OM⊥,故，故，，，，则，，故思路二：设关于直线的对称点，由，得，可知，，又知，所以，则为直角，由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，，设，则，在直角三角形中，，解得，从而，，所以.2023届·湖南雅礼中学高三月考过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.【答案】【分析】设双曲线的左焦点为，连接设，分别求得，同理，结合，求得，进而求得离心率.【详解】如图所示，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为，设双曲线的左焦点为，连接，则，设，则，，，因为，则有，所以，故离心率为.2023·浙江嘉兴二模——焦点半径倒数和为定值已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.【答案】【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围.【详解】设，则.显然当靠近右顶点时，，所以存在点使等价于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.由得，所以.【题型5】焦点弦被焦点分为定比焦点弦被焦点分成定比：若，则 （注：抛物线默认e=1）简证：交叉相乘得：即已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为．本号资料全部来源于微信公#众*号：数学第六感【答案】【详解】由题，点A位于轴上方且，则直线l的斜率存在且不为0，，设，则可得，设直线l方程为，联立直线与椭圆可得，，，，解得，则直线的斜率为.故答案为：.（2024·广东深圳·宝安区统考）已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是.【答案】【分析】依题意，设，因为，则有，直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理得到，从而得到离心率.【详解】设，因为，所以，所以.联立整理得，则，，从而，整理得，故2024届·长郡中学月考（三）T15已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为．【答案】【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案.【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得，不妨设，，，则，．在中，,由，得，整理得①．在中，,由，得，整理得②，①+②得，将该式代入②，整理得，即，故的离心率为2024届·浙江省Z20名校联盟高三上学期第一次联考T16已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率．【答案】【思路一详解】因为倾斜角为的直线过点，设直线的方程为:,,线段的中点,联立，化为，，，的垂直平分线为:,令,解得,.,,则【思路二】由题可知公式中，，则，则【题型6】焦点三角形+几何性质求离心率求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】取的中点，连接,由条件可知，是的中点，又，,根据双曲线的定义可知，，直线的方程是：，即，原点到直线的距离，中，，整理为：，即，解得：，或（舍）故选：C（2024·四川泸州·二模）已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为，且，则的离心率（

）A． B． C． D．3【答案】B【详解】因为双曲线的渐近线方程为，而以线段为直径的圆的方程为，联立，结合，解得或，因为在第一象限，所以，又，则，而，，所以，所以，即，则，所以双曲线的离心率为.（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆C：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合椭圆的定义得到，设，得到，再作得到关于的齐次方程，从而得解.【详解】因为，所以，则，故，由椭圆的定义知，，设，则，故，所以，解得（正值舍去），所以，如图，作，M为垂足，由，得为的中点，所以，则，故.（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合题意可得，，即可借助点到直线的距离公式表示出，即可计算出的值，即可得离心率.【详解】设，有，即，由题意可得、，渐近线方程为，故，又，故，则，即，解得或，则或，由，故，，即，则.故选：B.（23-24高三下·河南·阶段练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据垂直关系可得，根据数量积可得，进而得在椭圆上，即可化简求解.【详解】

连接，依题意可得，所以，所以，所以，所以，则的坐标为，所以，即，可得，化简得，解得，即．（2024·湖南·二模）已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】根据题意得到点坐标关于的表示，再将其代入双曲线方程得到关于的齐次方程，从而得解.【详解】不妨设点在第二象限，如图，因为在上的投影向量为，则，又，所以，又在双曲线上，，则，即，整理得，所以，解得或（舍去），.（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为．【答案】【分析】先结合图形求得，代入椭圆方程构造齐次式，然后可解.【详解】由椭圆的对称性可知，垂直于x轴，又，所以，所以为等腰直角三角形，故，所以，即，所以，整理得，解得或（舍去），故.故答案为：（2024·山东临沂·一模）已知是双曲线的左､右焦点，点在上.，则的离心率为.【答案】【分析】利用已知条件的几何关系把点的坐标表示为，将该点代入双曲线方程，构造齐次式求离心率.【详解】过点作轴的垂线垂足为，由已知得，，则，，解得，∴点的坐标为，将点的坐标代入双曲线方程得，整理得，将代入得，即，解得或∵，∴舍去，∴，故答案为：.

（2024·辽宁鞍山·二模）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】根据条件，列出关于，，的齐次式，从而求双曲线的离心率.【详解】如图：

因为轴，且在双曲线上，所以，又，所以为中点.因为最大，所以经过，两点的圆与相切于，此时点坐标为，圆心，由.已知双曲线的左焦点为，过的直线与圆相切，切点为，交双曲线的右支于点，且，则的离心率为．【答案】【分析】如图，根据双曲线的性质、定义与相似三角形求出的三边长，利用利用勾股定理计算可得，结合离心率的概念即可求解.【详解】不妨设点在轴上方，如图，连接，本号资料全部来源于微信公众号：数学第六*感由题意得，，，则，又，所以．设的右焦点为，过作，垂足为，则，．连接，则由双曲线的定义知，．在中，由勾股定理，得，即，化简得，故．2024届·湖南省长沙市第一中学高三下学期月考（七）已知双曲线的左焦点为，为C上一点，且P与F关于C的一条渐近线对称，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据对称性求得的斜率，从而求得，再求离心率即可.【详解】双曲线C的方程可设为，，，，，左焦点为F，O为坐标原点，连接OP．

因为双曲线上的一点与C的左焦点F关于C的一条渐近线对称，所以，则．又直线PF的斜率为，直线PF与渐近线垂直，所以该条渐近线的斜率为，所以，则，所以C的离心率．【题型7】利用对称性补成平行四边形椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】【解答】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，由余弦定理可得，即，椭圆的离心率，2024·辽宁·一模已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值.【详解】设，如图，记为的左焦点，连接，则由椭圆的对称性可知，由，设，则.本号资料全部来源于微*信公众号：数学第六感又轴，所以，即，所以，解得.所以的长轴长为.2024·广东湛江·一模——2条焦点弦平行已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为．【答案】【分析】由题意可得出，设，则，，椭圆的定义可得，再由余弦定理可得，在中，由余弦定理即可求出椭圆C的离心率.【详解】由，得为线段的中点，且点在椭圆外，所以，则，又，所以为线段的中点，所以，设，则，又，所以，由椭圆的定义可知：，得，如图，延长交椭圆C于点，连接，则由椭圆的对称性可知，，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以椭圆C的离心率为.2023届宁波二模T7——2条焦点弦平行设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】法一：记为椭圆左焦点，直线交椭圆于M，PF交椭圆与N，故PF是的中位线，故QM∥PN，由对称性可知Q、N关于原点对称，故法二：构造中位线如图，取的中点为，连接，则由题意可得，，所以相似，所以,因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以,设，则有，两式相减可得，即，即，即，所以椭圆的离心率为【题型8】渐近线的垂线模型一、焦点到渐近线的距离为b1．设双曲线方程（焦点在x轴）、设（右）焦点，求出双曲线的渐近线方程，求焦点到（过一三象限的）渐近线的距离2．将渐近线的方程化为一般式，利用点到直线距离公式求距离，结合双曲线中a、b、c的关系求出结果3．根据双曲线的对称性（x、y轴对称，原点中心对称）可知，无论焦点在x轴还是y轴，无论是左焦点还是右焦点，无论到哪一条渐近线，焦点到渐近线的距离都是b（半虚轴长）【证明】

设双曲线的方程为：则双曲线的渐近线方程为：设右焦点为（c，0），渐近线的一般式为：根据点到直线的距离公式得：故焦点到渐近线的距离都是b（半虚轴长）二、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如图1.若,则图1图2如图2.若，则过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________【答案】满足情形1，即，故，则已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【简析】满足情形2，即，，即【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即，如下图所示:由点到直线距离公式可知：，又，，，即，设，由双曲线对称性可知，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知：.故选：A.（2024·河南·统考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．【答案】【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出的关系即可作答.【详解】根据题意画出图象如下：

由得，又，所以，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，所以在中，，由余弦定理得，即，化简得，即，解得或，因为，所以.则双曲线的渐近线方程为．（2024·江苏·一模）设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为．【答案】【详解】直线EF与渐近线方程联立得解得，，∴EF中点M的坐标为，又M点在双曲线上，代入其标准方程，得，化简得，∴，．故答案为：．已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作E的渐近线的垂线，垂足为P．点M在E的左支上，当轴时，，则E的渐近线方程为．【答案】【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性取渐近线，求出点坐标，再列出方程求解即得.【详解】由双曲线的对称性，取渐近线，由直线垂直于直线，得直线：，由与联立解得，即，由轴，且，得，而点M在双曲线E的左支上，因此，即，又，整理得，解得，所以双曲线E的渐近线方程为.故答案为：

（2024·全国·模拟预测）设为双曲线的右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于．若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合题意与图象，求得各线段的长度，再在直角三角形和直角三角形中，利用的正切值，建立关系，求解即可.【详解】如图，结合题设，．因为，所以，所以．设，则，所以．因为，所以，所以已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程为．本号资料全部来源#于微信公众号：数学第六感【答案】【分析】设点，，，利用点差法求得直线的斜率，得到，再由点到直线的距离求得，得出、，即可求出离心率.【详解】设点，，，则且，两式相减，得，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，即，因为焦点到渐近线的距离为，所以，可得，又因为，所以，所以双曲线为.（多选）已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（）A．B．C．D．的最大值为【答案】BCD【分析】对A找到反例即可；对B利用点到直线距离公式计算即可；对C，利用二倍角的余弦公式和向量数量积的定理计算即可；对D利用三角形的面积公式计算即可.【详解】对A，当趋近于无穷远处时，故A错误；对B，设点，满足，即，又两条渐近线方程分别为，即，故有，故B正确；对C，设渐近线的倾斜角为，则，所以，故C正确；对D，由C可知，，所以为定值，故D正确.故选：BCD.

【题型9】双焦点三角形倒边模型2024·重庆巴蜀中学·适应性月考(七)已知分别为双曲线的左､右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点，且，则该双曲线的离心率.【答案】【详解】设，则，因为,所以，即，由勾股可得即离心率.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，则.故选：A.云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷（六）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，结合椭圆定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解.【详解】连接，设，则，，，在中，，即，所以，所以，在中，，即，所以.故选:B.2024·陕西·模拟预测如图所示，点是椭圆的右焦点，是椭圆上关于原点对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，再利用椭圆的定义及对称性建立方程组求出离心率.【详解】令为椭圆M的左焦点，连接，由A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，知四边形是平行四边形，又，则是矩形，令，，则，，，于是，即，解得，所以椭圆的离心率为.故选：D2024·云南昆明·一模已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（

）本号资料全*部#来源于微信公众号：数学第六感A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，设，由椭圆的定义可知，的表达式，再由的值，可，在中，可得，可得点为短轴的端点，在中，由余弦定理可得，的关系，即求出椭圆的离心率的值．【详解】由题意知，圆过椭圆的两个焦点，因为为圆与椭圆的交点，所以，因为，设，可得，，所以，所以，在中，，即，解得或，解得或（舍去），此时点为椭圆短轴的顶点，又，解得（负值舍去），且，，在中，由余弦定理可得，整理可得，所以．故选：B．【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程（2次余弦）2024·广东深圳·一模已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为，所以，由双曲线的定义可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，设，则，由得，解得，所以，所以.故选：D.2024·湖南常德·三模已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为.【答案】或【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算可得所求值．【详解】设，，由双曲线的定义可得，，由的面积是的面积的2倍，可得，又为等腰三角形，可得，或，当，即，可得，，，，在中，，在中，，化为，即；当，即，可得，，，，在中，，在中，，化为，即．故答案为：或．重庆市第八中学等多校2024届高三下学期3月适应性月考卷（六）如图，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为.【答案】【分析】连接，设，根据条件得，可得，由，则，在中，由余弦定理得，解得，得解.【详解】连接，设，，，由双曲线定义得，根据条件得，则，即，在中，，由，则，，在中，，由余弦定理得，即，化简整理得，结合，可得，所以，，则，即，所以，即.故答案为：.【题型11】取值范围问题解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.2024·湖南岳阳·二模已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则