抽象函数的赋值计算及其性质7类题型压轴专练（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学抽象函数的赋值计算及其性质7类题型压轴专练为何把这个关于函数的小知识点单独作为一个专题呢？因为就是这个小点已经连续两年出现在高考试卷上了！比如，今年（2023）年新高考Ⅰ卷多选次压轴，第11道题，再比如，2022年新高考Ⅱ卷单选压轴第8题，都以抽象函数命制的！想必接下来的各省市将大量出现这个题型！因此，有必要把这种抽象函数概括总结清楚。TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型一抽象函数赋值计算题型二抽象函数的奇偶性题型三抽象函数的单调性题型四抽象函数的值域题型五抽象函数的对称性题型六抽象函数的周期性题型七从解析式角度对抽象函数的再认识本号资料全部来源于微#信公众号：数#学第六感1、余（正）弦型函数2、对数型函数3、指数型函数4、一次函数5、正切型函数6、其它函数本号资料全部来源于微信公众号：数学#第六感抽象函数解题思路：主要考法四类题：赋值求值，证明单调性、证明奇偶性、解不等式①赋值求值：根据函数特性赋值来求某些函数的值。②证明单调性．③证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到。④解不等式：利用函数的单调性和奇偶性解不等式。一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.=1\*GB3①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;=2\*GB3②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.三、常见的抽象函数模型理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型

，往往还会给出一个限制条件，比如

等等，这样就限制了原函数的唯一性1、一次函数（1）

对于正比例函数

，与其对应的抽象函数为

.（2）

对于一次函数

，与其对应的抽象函数为

.本号资料全部来源于微信公众#号：数学第六感2、二次函数（3）

对于二次函数

，与其对应的抽象函数为3、幂函数（4）

对于幂函数

，与其对应的抽象函数为或4、指数函数（重要）（5）

对于指数函数

，与其对应的抽象函数为

或

.奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系5、对数函数（重要）（6）

对于对数函数

，其对应的抽象函数为

或补充：对于对数函数

，其抽象函数还可以是奇偶性证明：只需构造即可6、三角函数：三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例（7）

对于正弦函数

，与其对应的抽象函数为注：

此抽象函数对应于正弦平方差公式：（8）

对于余弦函数

，与其对应的抽象函数为注：

此抽象函数对应于余弦和差化积公式：（9）

对于余弦函数

，其抽象函数还可以是注：余弦积化和差公式：，2022新高考2卷T8用的就是这个模型（10）

对于正切函数

，与其对应的抽象函数为注：

此抽象函数对应于正切函数和差角公式：题型一抽象函数赋值计算定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)=，f(-3)=.定义在(0,＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)(x.y∈(0,＋∞))，已知f(8)＝3，则f(1)＝,＝设函数f(x)的定义域为R,且满足下列两个条件:①存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);②对任意x,y∈R,有f(x＋y)＝f(x)f(y)，求f(0)的值已知对所有的非负整数均有，若，则______．已知函数的定义域为，且，，则的值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12已知函数，任意，满足，且，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．4题型二抽象函数的奇偶性（2023上·江苏苏州·高一统考）（多选）定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（

）A． B．C．为上的增函数 D．为奇函数本号资料全部来源于微信*公众号：数学第六感（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（

）A． B．C． D．已知函数f(x)为定义在R上的增函数，若对于任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．（1）求f(0),并证明f(x)为R上的奇函数；（2）若f(1)＝2，解关于x的不等式f(x)－f(3－x)＜4．题型三抽象函数的单调性（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）（多选）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.则（

）A．B．是偶函数C．在上单调递减D．（注：）（多选）定义在上的函数，对于任意的都有；且；当时，；则下列结论正确的是（

）A． B．是奇函数C．在上单调递增 D．的解集为若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证:y＝f(x)－1为奇函数;(2)求证:f(x)是R上的增函数;(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.

（2023上·高一湖南师大附中校考）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集为已知定义域为的函数满足对任意，都有．(1)求证：是偶函数；(2)设时，求证：在上是减函数题型四抽象函数的值域已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（）A．0B．C．1D．2已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则在上的最大值是________题型五抽象函数的对称性（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考）（多选）已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．C．不等式的解集为D．设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______．题型六抽象函数的周期性已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（

）A．0 B．1 C．2 D．已知函数定义域为，满足，则.设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则．（多选）已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（

）本号资料全部来源于微信*公众号：数学第六感A．为偶函数 B．C． D．（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是偶函数C．关于中心对称 D．（多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（

）A． B．为奇函数C． D．（多选）设是定义在上的函数，对，有，且，则（

）A．B．C．D．函数的定义域为，对任意，恒有，若，则，．已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（

）A．为偶函数 B．C． D．题型七从解析式角度对抽象函数的再认识1、余（正）弦型函数定义在R上的函数，对任意的，有，且.（1）求证：；（2）求证：是偶函数.已知函数满足：，则.2022新高考2卷T8已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C． D．若，则设函数的定义域为，对任意实数，有，且(1)求证：；(2)若时，，求证：在上单调递减.（2023·重庆南开中学高一校考）设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则．(1)求证：函数是一个偶函数；(2)求证：对于任意的，．(3)若，解不等式．2、对数型函数已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝______．函数的定义域为，对于，，，且当时，，证明：为减函数.已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.(1)证明：当时，；(2)判断的单调性并加以证明；已知定义在上的函数，满足，而且当时，有．（1）求证：在上是增函数；（2）判断与的大小，并说明理由．函数的定义域为，且满足对于任意，，有．(1)判断的奇偶性并证明你的结论；(2)如果，，且在上是增函数，求的取值范围．已知定义域为的函数满足对任意，都有．（1）求证：是偶函数；（2）设时，①求证：在上是减函数；②求不等式的解集．3、指数型函数已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且.(1)求证：；(2)证明：在上为减函数；(3)若，求实数的值.已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.

4、一次函数已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数x，y恒有；（2）在上单调递减.请写出满足条件的一个___________.是定义在上的函数，对都有，当时，，且．(1)求，的值；(2)猜测为奇函数还是偶函数并证明；(3)求在上的单调性并证明．定义在上的函数满足对任意，，恒有，且时，有．(1)证明：为奇函数；(2)试判断的单调性，并加以证明；

已知函数对任意实数恒有成立，且当时，.(1)求的值;(2)判断的单调性，并证明;(3)解关于的不等式:.已知定义在上的函数同时满足下面两个条件：①对任意，都有.②当时，；(1)求；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；

已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.(1)求及的值；(2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的减函数；已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.(1)求及的值；(2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数；(3)若，求实数的取值范围.

已知函数的定义域为，且满足下列条件：（）．（）对于任意的，，总有．（）对于任意的，，，．则（Ⅰ）求及的值．（Ⅱ）求证：函数为奇函数．（Ⅲ）若，求实数的取值范围．5、正切型函数定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，．（1）判断在上的单调性并证明；（2