第38讲、向量中的隐圆（学生版）

第38讲向量中的隐圆知识梳理技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．技巧二．极化恒等式和型：定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．技巧三．定幂方和型若为定点，，则的轨迹为圆．证明：．技巧四．与向量模相关构成隐圆坐标法妙解必考题型全归纳题型一：数量积隐圆例1．（2024·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8.其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2024·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例3．（2024·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是A． B． C． D．变式2．（2024·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.题型二：平方和隐圆例4．（2024·全国·高三专题练习）已知是单位向量，满足，则的最大值为________．例5．（2024·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.例6．（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．变式4．（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（）A． B．C． D．变式5．（2024·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．变式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.题型三：定幂方和隐圆例7．（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为A． B． C． D．变式7．（2024·江苏·高三专题练习）已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1变式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知、、是平面向量，是单位向量．若，，则的最大值为_______．变式9．（2024·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.变式11．（2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________.题型四：与向量模相关构成隐圆例10．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是__________．例11．（2024·上海·高三专题练习）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．例12．（2024·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________.变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________.变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________.变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.变式15．（2024·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是_________．变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．变式18．（2024·全国·高三专题练习）