高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题1.1集合(原卷版+解析)

专题1.1集合【核心素养】1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.知识点一知识点一元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．知识点二知识点二集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.知识点三知识点三集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为CUA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.知识点四知识点四集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.常用结论常用结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.4.CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).常考题型剖析常考题型剖析题型一：集合的基本概念【典例分析】例1-1.（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1例1-2．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（

）A． B． C． D．【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件.(2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.【变式训练】变式1-1.（2023·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（

）A．－2 B．－1 C． D．变式1-2.（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．题型二：集合间的基本关系例2-1.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2例2-2.（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．【变式训练】变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合A的子集的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________题型三：集合的基本运算【典例分析】例3-1.（2023·北京通州·统考模拟预测）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．例3-2．（2023·安徽·校联考二模）若集合，则的元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5例3-3.（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）若集合，集合，则中整数的个数为（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【规律方法】如何解集合运算问题(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【变式训练】变式3-1.（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．变式3-3.（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知全集，集合，则集合等于（

）A． B．C． D．题型四：利用集合的运算求参数【典例分析】例4-1.（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知、，集合，集合，若，则（

）A． B． C．或 D．例4-2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，则（

）A． B． C． D．【规律方法】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．【易错警示】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．【变式训练】变式4-1.（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知集合，若，则的值不可能是（

）A． B． C．0 D．3变式4-2.（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（

）A． B． C． D．题型五：集合的新定义问题【典例分析】例5-1.（2023·全国·高三专题练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．例5-2．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．【规律方法】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．【变式训练】变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（

）A． B． C． D．变式5-2.（2023·山西·高三校联考阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（

）A．N B．Z C．Q D．1．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2.（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．3.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．41．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．162．（2023·陕西西安·校联考一模）已知集合，则（

）A． B．C． D．3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（

）．A． B． C． D．4.（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若集合，，则（

）A． B． C． D．6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设集合，，则（

）．A． B． C． D．7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（

）A． B． C． D．8.（2023·天津和平·统考一模）已知全集，则中元素个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．1610．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）设集合，则（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则（

）A． B． C． D．12.（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（

）A． B． C．8 D．6专题1.1集合【核心素养】1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.知识点一知识点一元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．知识点二知识点二集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.知识点三知识点三集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为CUA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.知识点四知识点四集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.常用结论常用结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.4.CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).常考题型剖析常考题型剖析题型一：集合的基本概念【典例分析】例1-1.（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合，若，，或，当时，，此时；当时，，此时；所以或.故选：C例1-2．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．【详解】集合，所以集合的元素个数为9个．故选：B．【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件.(2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.【变式训练】变式1-1.（2023·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（

）A．－2 B．－1 C． D．【答案】B【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.【详解】∵，∴，∴，可知，故A、C、D错误；，故B正确.故选：B变式1-2.（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．【答案】4【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．故答案为：4．题型二：集合间的基本关系例2-1.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，故选：A例2-2.（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.【详解】集合，.要使，只需，解得：.故选：A【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．【变式训练】变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合A的子集的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】用列举法表示集合A，再写出其子集即可作答.【详解】集合，则集合A的子集有：，共8个，所以集合A的子集的个数为8.故选：D变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________【答案】【分析】根据，列出元素之间的关系，即可求解实数的值.【详解】因为，且，所以，，因为，，所以，解得.当时，，满足要求.所以.故答案为：.题型三：集合的基本运算【典例分析】例3-1.（2023·北京通州·统考模拟预测）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】全集，集合，由补集定义可知：或，即，故选：D．例3-2．（2023·安徽·校联考二模）若集合，则的元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先化简集合，然后利用交集运算求解.【详解】由题意得，，故，即共有4个元素，故选：C．例3-3.（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）若集合，集合，则中整数的个数为（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据不等式的解法，分别求得集合，，结合集合并集的运算，求得，进而得到答案.【详解】由题意，可得集合，，则，其中集合有，共有个.故选：C.【规律方法】如何解集合运算问题(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【变式训练】变式3-1.（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，，然后进行交集的运算即可．【详解】依题意得，，所以．故选：C．变式3-2.（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由，得，所以，不等式的解集为，所以，所以或，所以；故选：A.变式3-3.（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知全集，集合，则集合等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先表示出集合与集合的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分析求解即可．【详解】由题意知，，所以，，故选：B．题型四：利用集合的运算求参数【典例分析】例4-1.（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知、，集合，集合，若，则（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】利用交集运算可得出，可得出，讨论、的取值范围，结合已知条件检验可得出结果.【详解】因为集合，集合，若，则，可得，若，则，此时，，不合乎题意；若，则，此时，，合乎题意.因此，.故选：D.例4-2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性求解.【详解】因为集合，集合，且，所以，所以若，不满足元素互异性，则或，满足互异性，所以.故选：C．【规律方法】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．【易错警示】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．【变式训练】变式4-1.（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知集合，若，则的值不可能是（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【分析】由集合A中的元素，计算可能出现在集合B中的元素，得到的值的范围.【详解】若，则的值可能是-3，0，3，不可能是-1.故选：B.变式4-2.（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.【详解】由知：，当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当，即或，若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若，则，，满足要求.综上，.故选：A题型五：集合的新定义问题【典例分析】例5-1.（2023·全国·高三专题练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据在R上定义运算，结合分式不等式的解法求出不等式的解集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解.【详解】由得，即，解得，由题设知，解得.故选：C.例5-2．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．【答案】7【分析】令，列举出所有三元子集，结合组成v阶的Steiner三元系定义，确定中元素个数.【详解】由题设，令集合，共有7个元素，所以的三元子集，如下共有35个：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有：、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.故答案为：7【规律方法】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．【变式训练】变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.【详解】因为，，所以，故中元素的个数为.故选：B.变式5-2.（2023·山西·高三校联考阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（

）A．N B．Z C．Q D．【答案】C【分析】根据数域的定义，对选项进行验证.【详解】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确；对于集合，，，故不是数域，D选项错误.故选：C1．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：或，即，故选：D．2.（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D3.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.【详解】解不等式，得，因此，所以集合的子集个数为.故选：C2．（2023·陕西西安·校联考一模）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出集合，然后根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为，所以