第5讲、一元二次不等式与其它不等式解法（教师版）

[在此处键入]第5讲一元二次不等式与其它不等式解法知识梳理1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．（2）当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【解题方法总结】1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．必考题型全归纳题型一：不含参数一元二次不等式的解法【解题总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集例1．（2024·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________.【答案】【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是.故答案为：.例2．（2024·高三课时练习）不等式的解集为______．【答案】【解析】解:由题知不等式为,即,即,解得,所以解集为.故答案为:例3．（2024·高三课时练习）函数的定义域为______．【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得.所以函数的定义域为.故答案为：.例4．（2024·高三课时练习）不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式即，的根为，故的解集为，即不等式的解集为，故答案为：题型二：含参数一元二次不等式的解法【解题总结】1、数形结合处理．2、含参时注意分类讨论．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要条件，，当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，若，则需；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.例6．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】不等式即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故，当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是，故，，故实数m的取值范围为，故选：C例7．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．【解析】方程：且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述,当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.故选：A.题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式【解题总结】1、一定要牢记二次函数的基本性质．2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．例9．（2024·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为【答案】B【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误.故选：B例10．（2024·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.例11．（2024·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的解集是，，得，则不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故选：D例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（

）A．B．C．若关于x的不等式的解集为，则D．若关于x的不等式的解集为，且，则【答案】C【解析】由题意，所以正确;对于:，当且仅当，即时成立,所以正确;对于,由韦达定理，可知，所以错误;对于,由韦达定理，可知，则，解得，所以正确,故选：.例13．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－2 B．1 C．2 D．8【答案】C【解析】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，，所以，当且仅当，即时取等号，则，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为2.故选：C.题型四：其他不等式解法【解题总结】1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．2、根式不等式绝对值不等式平方处理．例14．（2024·北京海淀·统考一模）不等式的解集为_________．【答案】或【解析】根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集为或.故答案为：或例15．（2024·全国·高三专题练习）不等式的的解集是______【答案】：【解析】则或【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法例16．（2024·上海·高三专题练习）若不等式，则x的取值范围是____________．【答案】【解析】∵，则，解得，∴x的取值范围是.故答案为：.例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________．【答案】【解析】当时，，解得，此时解集为空集，当时，，即，符合要求，此时解集为，当时，，解得，此时解集为空集，综上：不等式的解集为.故答案为：例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________．【答案】【解析】，.故.故答案为：题型五：二次函数根的分布问题【解题总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．例19．（2024·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．【答案】【解析】令，图象恒过点，方程0在区间内有两个不同的根，，解得.故答案为：例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．【答案】.【解析】方程

方程两根为，若要满足题意，则，解得，故答案为：.例21．（2024·全国·高三专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.【答案】1【解析】方程化为，由，解得，所以最大整数值是.故答案为：1.例22．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________.【答案】【解析】，故，，，将看成方程的两根，则，即，故，解得.故答案为：题型六：一元二次不等式恒成立问题【解题总结】恒成立问题求参数的范围的解题策略（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论．例23．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】原不等式可化为对恒成立．（1）当时，若不等式对恒成立，只需，解得；（2）当时，若该二次不等式恒成立，只需，解得，所以；综上：.故答案为：例24．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．【答案】【解析】由不等式对恒成立，可转化为对恒成立，即，而，当时，有最大值，所以，故答案为：．例25．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】因为，所以由得，因为关于的不等式在区间上有解，所以只需小于等于的最大值，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为1，所以，即实数的取值范围是.