第76讲、双切线问题（学生版）

第76讲双切线问题知识梳理双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.解题思路：①根据曲线外一点设出切线方程．②和曲线方程联立，求出判别式．③整理出关于双切线斜率的同构方程．④写出关于的韦达定理，并解题．必考题型全归纳题型一：定值问题例1．（2024·河南·高三竞赛）已知抛物线C：与直线l：没有公共点，P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：.例2．（2024·高二单元测试）已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值．例3．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3．(1)求抛物线的方程；(2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．变式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.(1)若直线与只有一个公共点，求；(2)设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，且直线，与轴分别交于，两点.①证明：②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式2．（2024·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.题型二：斜率问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.例5．（2024·全国·高三专题练习）设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．（Ⅰ）若点为，求直线的方程；（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点，使得以为直径圆过原点，若存在写出直线方程；(3)设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．变式3．（2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切．(1)求抛物线的方程；(2)点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为．求证：．变式4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知是抛物线上一点，过作圆的两条切线（切点为），交抛物线分别点且当时，.(1)求抛物线的方程;(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.变式5．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.(1)若点M的坐标为，求的面积；(2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；(3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.题型三：交点弦过定点问题例7．（2024·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．(1)求椭圆C的方程；(2)设点P在直线上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．例8．（2024·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，P(4,4)是C上的一点.(1)若直线PF交C于另外一点A，求；(2)若圆：，过P作圆E的两条切线，分别交C于M，N两点，证明：直线MN过定点.例9．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．变式6．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知抛物线，过抛物线的焦点F且斜率为的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，．(1)求抛物线C的方程；(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．变式7．（2024·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．变式8．（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知在椭圆上，圆，圆在椭圆内部.

(1)求的取值范围；(2)过作圆的两条切线分别交椭圆于点（不同于），直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C：的焦点．(1)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，求的面积；(2)若点T为直线上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点．变式10．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知的焦点为，且经过的直线被圆截得的线段长度的最小值为4．(1)求抛物线的方程；(2)设坐标原点为，若过点作直线与抛物线相交于不同的两点，，过点，作抛物线的切线分别与直线，相交于点，，请问直线是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．变式11．（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆的上顶点为，离心率为，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程；(2)若过点作圆（圆在椭圆内）的两条切线分别与椭圆相交于两点（异于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.题型四：交点弦定值问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．(1)求抛物线的方程；(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．例11．（2024·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为(p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB与轴的交点坐标；（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.例12．（2024·全国·高三专题练习）已知拋物线，为焦点，若圆与拋物线交于两点，且(1)求抛物线的方程；(2)若点为圆上任意一点，且过点可以作拋物线的两条切线，切点分别为.求证：恒为定值.变式12．（2024·山东青岛·统考二模）已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，离心率等于，点是双曲线在第一象限上的点，直线与轴的交点为，的周长等于，.(1)求的方程；(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，对应的切点为，.证明：直线与椭圆相切于点，且.题型五：交点弦最值问题例13．（2024·江西抚州·临川一中校考模拟预测）椭圆：的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆：的两条斜率存在的切线分别与椭圆交丁点，，求的最大值.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.（Ⅰ）求证：直线过定点；（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.例15．（2024·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.(1)求的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.变式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知椭圆，是椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线与直线交于点，是直线与椭圆的两个交点.(1)求直线与直线的斜率之积；(2)求面积的最大值.变式14．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为3．(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的最值．题型六：交点弦范围问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图，设抛物线的焦点为F，点P是半椭圆上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴于点M、N．（1）证明：；（2）求的取值范围．例17．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.（i）当直线的斜率都存在时，记直线的斜率分别为.求证：；（ii）求的取值范围.例18．（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以