第71讲、面积问题（学生版）

第71讲面积问题知识梳理1、三角形的面积处理方法（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）水平宽·铅锤高或（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．2、三角形面积比处理方法（1）对顶角模型（2）等角、共角模型3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直（2）一般四边形（3）分割两个三角形4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．必考题型全归纳题型一：三角形的面积问题之底·高例1．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆的左焦点为，且过点.(1)求C的方程；(2)不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.（i）求的斜率；（ii）求的面积的取值范围.例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上运动，过点与垂直的直线和的中垂线相交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设点是轨迹上的动点，点在轴上，圆内切于，求的面积的最小值.例3．（2024·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.变式1．（2024·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.变式2．（2024·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.题型二：三角形的面积问题之分割法例4．（2024·全国·高三专题练习）设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．例5．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．例6．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．变式3．（2024·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦，.，的中点分别为，.(1)证明：直线过定点；(2)若，的斜率均存在，求面积的最大值.题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化例7．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.例8．（2024·浙江·高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.（1）求面积的最大值；（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.例9．（2024·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.变式4．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点（其中点在第一象限），过点作的切线交轴于点，直线交于另一点，直线交轴于点.(1)求证：；(2)记，，的面积分别为，，，当点的横坐标大于2时，求的最小值及此时点的坐标.变式5．（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值；(3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．变式6．（2024·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知圆，点，圆周上任一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的动直线与椭圆相交于两点，直线的方程为.过点作于点，过点作于点.记的面积分别为，，.问是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.变式7．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线：的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和.(1)若，求点的坐标；(2)若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；(3)若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在中，设，，则的面积为变式8．（2024·四川眉山·高三校考阶段练习）在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为6；记的重心的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若圆：，，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与曲线的另一个交点分别是点，，求面积的最大值.题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型例10．（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）.(1)求的准线方程；(2)若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值.例11．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆，且过两点．(1)求椭圆E的方程和离心率e；(2)若经过有两条直线，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．例12．（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．变式9．（2024·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知定点，关于原点对称的动点，到定直线的距离分别为，，且，记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线？(2)已知点，是直线与曲线的两个交点，，在轴上的射影分别为，（，不同于原点），且直线与直线相交于点，求与面积的比值.变式10．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C交于两点，直线与圆E：的另一交点分别为为坐标原点，求与面积之比的最小值．变式11．（2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8．(1)求的方程；(2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.（i）求的面积与的面积之比；（ⅱ）证明：为定值.题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型例13．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆方程；(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．例14．（2024·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．例15．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线的方程为，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为，过F的直线l与抛物线交于M，N两点，反向延长，分别与椭圆交于P，Q两点．

(1)求的值；(2)若恒成立，求椭圆的方程；(3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线的方程（其中，分别是和的面积）．变式13．（2024·四川·校联考一模）已知点在椭圆上，点在椭圆C内．设点以为的短轴的上、下端点，直线分别与椭圆C相交于点，且的斜率之积为．(1)求椭圆C的方程；(2)记，分别为，的面积，若，求的取值范围．变式14．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)记，分别为，的面积，若，求m的值.变式15．（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型例16．（2024·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．(1)求E的方程；(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．例17．（2024·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，M为椭圆E的上顶点，，点在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.例18．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知直线与抛物线交于两点，.(1)求；(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.题型七：四边形的面积问题之一般四边形例19．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.例20．（2024·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知椭圆C：经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.例21．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.变式16．（2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆：（）左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点，为椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)已知，为椭圆上不同两点，且都在轴上方，满足.（ⅰ）若，求直线的斜率；（ⅱ）若直线与抛物线无交点，求四边形面积的取值范围.变式17．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知椭圆的离心率，且经过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形的面积；若不是定值，请说明理由.变式18．（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆：（）中有如下性质：不过椭圆中心的一条弦的中点为，当，斜率均存在时，，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.(1)求点的轨迹方程；(2)过点作直线交椭圆于，两点，使，求四边形的面积.变式19．（2024·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点．

(1)当时，求四边形的面积；(2)四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由；(3)当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．变式20．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆：（）与椭圆：（）的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．(1)求实数a和b的值；(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线BC与直线AD相交于点