第70讲、弦长问题（教师版）

第70讲弦长问题知识梳理1、弦长公式的两种形式①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．必考题型全归纳题型一：弦长问题例1．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则．【答案】/【解析】设直线，直线与圆相切，，将直线方程与椭圆方程联立，得，所以，因为，所以，由对称性，不妨取，故答案为：.例2．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为．【答案】【解析】在椭圆中，，，则，故点，设点、，由题意可知，直线的方程为，即，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，.故答案为：.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则．【答案】6【解析】如图，连接，因为的离心率为，所以，即，所以，因为，所以为等边三角形，又，所以直线为线段的垂直平分线，所以，，则的周长为，，而，所以直线的方程为，代入椭圆的方程，得，设，，则，所以，故答案为：6.变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为.【答案】【解析】双曲线双曲线：的渐近线方程为，而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为，与双曲线方程联立，化简可得，由，得或．设，，则，，则，所以，，解得：（舍去）或，所以直线的方程为，令，可得.故点P的坐标为.故答案为：.变式2．（2024·贵州·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左支与右支上，且点，与点共线，若，则.【答案】【解析】因为，设，，由双曲线定义可得，所以，即，，即.故答案为：.变式3．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则．【答案】【解析】如图，由题意可知轴，，将代入中得，即,又，则，故的方程为，联立，可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），则，故，故答案为：.变式4．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则．【答案】8【解析】由题意得，，当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，故设直线的方程为，不妨设，联立，可得，易得，设，则，则，则，，由正弦定理得，，因为，，所以，，即，又由焦半径公式可知，则，即，即，解得，则，解得，故，当时，同理可得到.故答案为：8变式5．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【解析】（1）因为直线l经过C的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上，因为双曲线C两条准线之间的距离为1，所以有，又因为离心率为2，所以有代入中，可得，∴C的标准方程为：；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为，所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，方程为与双曲线方程联立为：，设，则有，变式6．（2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.【解析】（1）因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）如图，设，.将代入，消去整理得.当时，，.，化简得：，解得，经检验，此时，故.题型二：长度和问题例4．（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．(1)求的方程；(2)若过点作两条平行线分别与和交与和，求的最小值．【解析】（1）由两圆的方程知：圆心分别为，，即，，，解得：，.（2）由题意知：；，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长，设，其与椭圆交于点和由得：，则，，，当时，取得最小值，的最小值为.例5．（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．【解析】（1）设，则直线的方程为，即，记，则的方程为，将其代入椭圆的方程，消去，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得，同理可得，，所以为关于的方程的两根，所以，．又点在椭圆上，所以，所以．（2）由椭圆，得其离心率，所以当，即时，椭圆的标准方程为，所以，，，恰好为椭圆的左、右焦点，易知直线的斜率均存在且不为，所以，因为在椭圆上，所以，即，所以．设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为．由，得，设，则，，所以，同理可得，所以．例6．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．【解析】（1）的周长为，由椭圆的定义得，即，又面积的最大值为2，，即，，，，解得，椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知，，椭圆的离心率，设椭圆的方程为，则有，，解得，椭圆的标准方程为，设，，，点在曲线上，，依题意，可设直线，的斜率分别为，则的方程分别为，，于是，联立方程组，消去整理，得，，，，同理可得：，，，为定值.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.【解析】（1）∵，所以.设椭圆方程为，将代入，得.故椭圆方程为.（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易得其中一条弦为长轴，另一条弦长为椭圆的通径为，即；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，，设直线的方程为，则直线的方程为，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：，∴，，∴，同理，，∴，令，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.综合②可知，的取值范围为.题型三：长度差问题例7．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．(1)若，证明：直线过定点．(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：将点代入，得，即．联立得，由，设，，则，．因为，所以恒成立，则，所以的方程为，故直线过定点．（2）联立得，则且，即，，设，同理可得．因为直线在的右侧，所以，则，即．所以，即，解得，因为，所以满足条件的存在，.例8．（2024·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为椭圆：的右焦点F，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l过点F，交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且，求直线l的方程.【解析】（1）由抛物线可知：，故由得：，故，则，则对于有：，解得，故椭圆方程为：；（2）过点的直线的斜率不存在时，，，，所以直线在点的右侧，与两曲线的交点顺序变成A，B，D，C的顺序，不满足题意，如下图；所以过点的直线的斜率存在，故设直线的斜率为k，则直线方程为，联立抛物线方程：，整理得：，设，则，故，联立，整理得，设，则，则，又，即，整理得，解得，因为，，而，且A，B，C，D依次排序，所以，如下图，故，故直线的方程为.综上，直线的方程为.题型四：长度商问题例9．（2024·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线的标准方程.(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.【解析】（1）根据双曲线的对称性，不妨设，其渐近线方程为，因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.所以，因为双曲线的离心率是，所以，，解得所以，双曲线的标准方程为.（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设，直线.联立整理得，所以，.故.设直线的斜率为，同理可得.因为直线与直线的倾斜角互补，所以，所以，则，即，所以.例10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，(1)求圆心的轨迹方程(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.【解析】（1）因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以<4，所以点C的轨迹是双曲线的一支，又，，，所以其轨迹方程为；（2）设直线为，联立，消去y得：，所以，设MN中点坐标为G，则，所以，，直线GP的方程为:，，所以，所以=1.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.(1)求C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意得，解得故C的方程为.（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，联立，得，因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，故，解得，此时有.，，由，解得，同理可得，所以.因为，故.因为，故，故实数的取值范围是.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线C的方程；

（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.【解析】（1）设双曲线方程为由题知双曲线方程为：（2）设直线l的方程为代入整理得，设所以：由弦长公式得：设AB的中点则，

代入l得：AB的垂直平分线方程为令y=0得，即，所以：为定值.变式9．（2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点的直线与交于两点，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.【解析】（1）由，得，又的周长为，即，，椭圆的标准方程为.（2）设，当直线的斜率为0时，得；当直线的斜率不为0时，设直线，直线，联立直线和椭圆的方程，并消去整理得，.由根与系数的关系得，所以.联立直线和椭圆的方程，并消去整理得，由根与系数的关系得，，所以.令，则不妨设，，，，综上可得，的取值范围为.变式10．（2024·陕西·统考一模）在椭圆C：，，过点与的直线的斜率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当取最大值时，求直线MN的方程．【解析】（1）过点与的直线的斜率为，所以，即，又，即，解得，．所以椭圆C的标准方程是．（2）如图所示，由题知，设点，则直线FP的斜率为．当时，直线MN的斜率，直线MN的方程是；当时，直线MN的方程是，也符合的形式，将直线MN的方程代入椭圆方程得，且，设，，则，，所以．又，令，则，当且仅当，即时等号成立，由，解得，即当时取最大值时，此时直线MN的方程为或．变式11．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆）中，，过点与的直线的斜率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的右焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于两点，求的最大值.【解析】（1）过点与的直线的斜率为，所以，即，又，即，解得，所以椭圆的标准方程是.（2）由题知，作出图形如图所示设点，则直线的斜率为.当时，直线的斜率，直线的方程是；当时，直线的方程是，也符合的形式，将直线的方程代入椭圆方程得，且，设，则.所以又，令，则，当且仅当，即时等号成立，由，解得，所以的最大值为.变式12．（2024·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.【解析】（1）由题意设，由点到直线距离公式得，，∴，∴，又∵垂足位于第一象限，垂足位于第四象限，，∴的轨迹方程为.（2）由对称性，不妨设在第一象限，设，则，设直线的斜率为，记，由为的角平分线，则有，其中，，，，∴，同理得：，代入中，∴，化简得：.将代入，中，解得：，，∴，，设直线的方程为，将代入，解得：，∴直线的方程为，，由点到直线距离公式得：.由直线的斜率为，设直线的方程为，将点代入，解得：，∴直线的方程为，将其与联立得：，设，则，，由可知，，由均值不等式，，当且仅当，即时，等号成立，∵，故，∴，当且仅当时，等号成立.∴的最大值为.变式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知，为椭圆的两个焦点．且，P为椭圆上一点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，若的中点为为坐标原点，直线交直线于点．求的最大值．【解析】（1）依题意，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，，，，设，则，，..的中点为，则，即，直线的方程为，令，得，即，而，所以，所以，令，则，则，当且仅当时等号成立.所以的最大值为.变式14．（2024·海南海口·高三统考期中）设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.(1)证明：直线过定点；(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.【解析】（1）由题意可设直线的方程为：，，联立抛物线方程，所以，又，化简得，解之得，即直线为：，显然过定点；（2）由抛物线，则点的切线方程分别为，易知，联立切线方程可得，结合（1）可知，∴，故，，由弦长公式及（1）可得，所以，易知，即的取值范围为.变式15．（2024·四川绵阳·统考三模）过点的直线与拋物线交于点，（在第一象限），且当直线的倾斜角为时，.(1)求抛物线的方程；(2)若，延长交抛物线于点，延长交轴于点，求的值.【解析】（1）由题意直线l的斜率，所以l得方程为，联立方程，解得，，由弦长公式得：

，

，解得，抛物线方程为；（2）由（1）知：抛物线方程为，设

，直线l的方程为，显然时存在的，如图：联立方程，得，，①，直线MB的方程为：，即，，②，直线PN的方程为：，令得，，，，由①②得：；综上，抛物线方程为，.变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．【解析】（1）因为点，在抛物线C：上，所以，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得：，解得，即抛物线C的方程为；（2）由题意可设，，，因为，所以，即，故，整理得，设点，同理可得，则直线AB方程为：，令得，即点，因为直线NF与直线AB垂直，所以直线NF方程为：，令得，即点，∴，当且仅当时，时上式等号成立，联立，得，∴，，，，∴．变式17．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．【解析】（1）由题意得，设F关于直线的对称点为，则，解得，∴抛物线E的标准方程为．（2）由可得，设，，则，，∴，，∴线段AB的中点坐标为，则线段AB的垂直平分线方程为，令，得，故，又，得．∴，令，则，，∴，易知函数在上单调递增，∴当时，取得最小值，此时，故的最大值为．变式18．（2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为2p．(1)求椭圆与抛物线的方程；(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．【解析】（1）由题意，

，又，，抛物线方程为：，椭圆方程为；（2）由（1）知：，由题意的斜率不为0，设直线的方程为：，直线的方程为：，，联立方程，得：，；联立方程，得，，又点P是的交点，，得，点P在抛物线上，，，，，考察函数，是增函数，，，即最大值为；综上，抛物线方程为：，椭圆方程为，的最大值为.题型五：长度积问题例12．（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．(1)求的方程；(2)证明：．【解析】（1）由题意知，将代入，解得，所以当与轴垂直时，，所以，故抛物线的方程为．（2）证明：法一：根据题意知直线的斜率存在，，设直线的方程为，，，联立得，所以，，．对求导，得，所以，所以．由得所以．当时，根据对称性得，，所以；当时，，所以，所以，所以，即．综上，．法二：根据题意知直线的斜率存在，，设直线的方程为，，，联立得，所以，，．对求导，得，由得所以．因为，，所以．又，所以．例13．（2024·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出AB的方程及；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设直线的方程为，，由得，则，，，又，所以，又，所以，所以抛物线方程为；（2）由（1）可知：，所以，设，由得，则，所以，若是与的等比中项，则，即，所以，即，所以，因为，所以，所以方程无解，所以不存在直线，使得是与的等比中项．例14．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆截得的弦长为．(1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆截得的弦长为，可得．又，，解得：，，，椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故．又圆心到直线的距离，，，令，则，，可得，可得：．变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.(1)求的方程；(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.【解析】（1）由题意知，，得，当轴时，设，代入椭圆方程，得，解得，即，由椭圆的定义知，，又，所以，由，解得，故椭圆C的方程为；（2）当切线斜率不存在时，切线方程为，此时点P与点Q重合，等式成立；当切线斜率为0时，切线与x轴不相交，不符合题意；当切线斜率存在时，设，由，得，则，所以切线的斜率为，得切线方程为，即，整理得，即，所以切线方程为，令，得，即，由(1)知，，则，，又，得，所以，，所以，即，即证.变式20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点作轴的垂线，与交于两点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，，交于点，求的取值范围．【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，即①，将代入椭圆方程得，则，由，得，即②，由①②并结合，得，，所以椭圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，，所以；②当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，此时，，所以；③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为（），联立，整理得．

设，，则，，所以．因为，所以可用替换表达式中的得，所以．

令，因为，所以，，，所以，因为，则，所以；综上所述：的取值范围为．变式21．（2024·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．【解析】（1）根据题意可得解得，，所以椭圆的方程为．（2）由(1)得，设直线的方程为，，，，联立，得，所以，，,，，因为以为直径的圆过点A，故，所以，所以，所以，所以，所以，解得或舍去，当时，，且，点A到MN的距离为，所以，化简得，令，则，，由对勾函数的单调性知，在上单调递增，即时取得最小值，此时.变式22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．【解析】（1）由椭圆的焦距为2，故，则，又由椭圆经过点，代入得，解得，所以椭圆的方程为．（2）根据题意，直线l的斜率显然不为零，令，由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，联立方程组，整理得，则，设，，且，设存在点，设点坐标为，由，可得，又因为，所以，所以，所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，则，所以，所以，整理得，即，即，解得，符合题意，即存在点满足题意．题型六：长度的范围与最值问题例15．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，过点作垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．【解析】（1）抛物线的焦点为，由题意可得①由与关于轴对称，可得与的公共点为，可得②由①②解得，，即有椭圆的方程为；（2）设，，代入椭圆方程，可得，设，，，，则，，即有，由为中点，可得，又的斜率为，即有，令，可得，即有可得又，即有，由，可得，即有，则有的取值范围为．例16．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，动点到焦点的距离的最大值为，可得，即，所以椭圆的方程是.（2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为.设，连接OA，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线平行，若，则，故，故直线的方程为：，整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，满足.故直线的方程为，同理直线的方程为，又在直线和上，即，故直线的方程为.联立，消去得，设，．则，从而，又，从而，所以.例17．（2024·陕西咸阳·校考三模）已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.(1)求双曲线的标准方程;(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.【解析】（1）由题可知，，解得，所以双曲线的标准方程为；（2）由题可知，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，联立消去，得，所以，解得，且，所以.联立可得，同理可得，所以，所以，其中，则，所以.变式23．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意得：，故，双曲线渐的近线方程为，故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，因为，解得：，故，所以椭圆方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线为，联立与，得：，由得：，设，则，因为，所以，其中，整理得：，将代入中，解得：，又，解得：，综上：或，原点到直线的距离为，则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，该圆的半径即为，故圆的方程为，当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，与椭圆的两个交点为，或，，此时，满足要求，经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；，将代入上式，令，则，因为，则，所以，因为，所以，故当时，取得最大值，最大值为，又，当直线的斜率不存在时，此时，综上：的取值范围为.变式24．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.【解析】（1）由的周长为，得，即，又离心率，所以，，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知的坐标为，①当直线的斜率不存在时，，，则；②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，联立，得，设，，则，，，设点，则，即，代入椭圆方程得，解得，，所以，所以，又，所以的取值范围是.综上所述，的取值范围是.变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．(1)若，求证：；(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．【解析】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．又因为椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆的方程为.因为直线经过、，，所以，直线的方程为，设点、，联立可得，由，得，.

所以，，因此，.（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，则直线方程为，其中．联立可得，设、，则，由韦达定理可得，，易知且，将代入直线的方程可得，即点，所以，同理可得，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．(1)求双曲线的标准方程；(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；(3)求的取值范围．【解析】（1）设双曲线的标准方程为，由题意知，且，即，所以双曲线的标准方程为：；（2）设点，由题可知，则，，所以，而由点在双曲线上，可知，即有，从而，故；（3）由上可知，且，且不能同时取或，所以可设直线的方程为，则直线的方程为，把直线的方程为代入椭圆方程，整理得，设，，则有，，因此，同理可得，因此，又，所以，所以，所以的取值范围为.变式27．（2024·江苏南京·校考二模）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．【解析】（1）设，由题意，因为，所以，即，两边平方并整理得．故点的轨迹的方程为；（2）设直线方程为，联立，消并整理得，，显然，设，，则，，又，可得线段中点坐标为，所以线段中垂线的方程为，令，可得，对于直线，令，可得，所以又，所以，令，则，因为在上单调递增，所以，故．变式28．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.(1)求证：(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.【解析】（1）由题意得椭圆焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，所以，解得，所以的方程为，由，消y得，所以得，设，，则，所以，化简得，得证；（2）由消x，得，所以，即，结合，及，可得，设，，则，所以，所以，设，由，得，所以，所以，所以.变式29．（2024·广东深圳·高三校联考期中）已知点在运动过程中，总满足关系式：.(1)点的轨迹是什么曲线？写出它的方程；(2)设圆，直线与圆O相切且与点的轨迹交于不同两点，当且时，求弦长的取值范围.【解析】（1）由关系式，结合椭圆的定义，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.∴，∴点M的方程为.（2）由题意，联立方程，则设，，则，,因直线与圆相切，且，∴

，，，

①

②将①代入②.因为，所以.变式30．（2024·四川遂宁·统考三模）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围．【解析】（1）由题设因为，所以：，所以，所以椭圆方程为（2）由（1）知的坐标为，①当直线的斜率不存在时，，，则；②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，联立，得，设，，则，，，设点，则，即，代入椭圆方程得，解得，，所以，所以，又，所以的取值范围是．综上所述，的取值范围是．变式31．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆:过点，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.【解析】（1）椭圆:过点，且离心率为所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，则直线：，代入椭圆方程得，所以；直线：，代入椭圆方程得，所以，所以；当直线的斜率不存在时，同理可得；当直线,的斜率均存在，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，则，消去得，恒成立，所以，所以；同理可得，将换成可得所以，综上所述，的取值范围是.变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值为，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的标准方程.(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求弦长的取值范围.【解析】（1）由题意得，，两边平方化简得，即可整理得曲线C的标准方程为；（2）i.当直线l的斜率k不存在时，由椭圆对称性有，又，故为等腰直角三角形，故，代入方程有，则弦长；ii.当直线l的斜率k存在时，设直线l为，联立椭圆消y得，∴，，由，即，整理得.从而.当时，；当时，，当且仅当，即时取等号，综上，弦长的取值范围为.变式33．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆过点.(1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围；(2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值.【解析】（1）∵在椭圆，∴，有，所以，又∵，所以，∵，∴；（2）由（1）可知，又，所以，椭圆.因为直线与相切，故.若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，代入椭圆方程可得此时线段.若直线的斜率存在，可设直线的方程为：.由直线与相切，故，可得：.联立得，所以，线段.又因为，所以.当且仅当，故当时，的最大值为2.综上所述：当时，线段的最大值2.变式34．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆E上，，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆E相交于A，B两点，与圆相交于C，D两点，求的取值范围．【解析】（1）因为点在椭圆上．所以，又因为|，所以，，因为，所以，又，解得，，所以椭圆的标准方程为（2）设，，联立直线与椭圆的方程：，整理可得．，有，，所以弦长，圆的圆心到直线的距离为，所以，所以，由，得，则，所以以的取值范围为.变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．【解析】（1）由题意可知：，，，则，∴椭圆的标准方程：；（2）由题意可知：，设，则，∴，由，当时，，当时，，∴的取值范围；题型七：长度的定值问题例18．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．(1)求证：为定值；(2)求证：为定值．【解析】（1）由题意知：，，双曲线的，又双曲线离心率，，，；设，，，则，，即为定值.（2）设直线的方程分别为，，，，由（1）知：，由得：，，，；同理可得：，，即为定值．例19．（2024·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）椭圆．(1)点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；(2)和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．【解析】（1）设，，则，，当时，，当时，.（2）如图所示：过点作轴于，过点作轴于，设，例20．（2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C的右焦点与抛物线E：的焦点F重合，且椭圆C的离心率为．(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）抛物线E：的焦点，设椭圆标准方程为，由右焦点得椭圆C的半焦距，又椭圆C的离心率，所以，，所以椭圆C的标准方程.（2）如图所示：当过点F的直线l的斜率为0时，其与抛物线E只有一个交点，不符合题意，∴直线l的斜率不为0，设直线，，联立方程组，消去x，得，所以，，所以.联立方程组，消去x，得，设，则，，所以，所以，令，得.当时，，即存在.使为定值.变式36．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E：的焦点关于其准线的对称点为，椭圆C：的左，右焦点分别是，，且与E有一个共同的焦点，线段的中点是C的左顶点．过点的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．(1)求C的方程；(2)证明：．【解析】（1）抛物线E的焦点关于其准线的对称点为，所以，即．因为椭圆C与抛物线E有一个共同的焦点，所以，，所以线段的中点为，所以，．故C的方程为．（2）由题意知，直线l的斜率存在，设为k．当时，点A，B恰为椭圆C的左、右顶点，y轴为线段AB的垂直平分线，，，，则．当时，直线l的方程为，设，，线段AB的中点为，．联立，消去y，得，则，，所以，则．由题意知，线段AB的垂直平分线的方程为，令，得，则．又，所以．综上，．变式37．（2024·天津红桥·统考一模）设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率；(3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．【解析】（1）由离心率，长轴为4，得，，所以，故椭圆C的标准方程为：．（2）由（1）得椭圆的右焦点的坐标为，设直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，，由得，，则，，所以，因为，所以，即，解得，故直线的斜率为．（3）是定值，理由如下，由（2）得：直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，，，，则，由是椭圆经过原点的弦，设，，直线的斜率为，则，由得，，且，得，所以，为定值．变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.(1)求椭圆及抛物线的标准方程；(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意可设，可得，所以，所以，，所以，所以，点P坐标代入椭圆方程得，所以椭圆C方程为，所以，即，所以抛物线E方程为.（2）设.直线l的方程为，与椭圆C的方程联立得，则恒成立，所以则.直线l的方程为，与抛物线E的方程联立得...要使为常数，则，得.故存在，使为常数.变式39．（2024·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.(1)求C的方程；(2)证明：为定值.【解析】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为，将代入C的方程有，，所以M，N到直线的距离之和为，所以，C的方程为.（2）方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，且由双曲的定义可知，故.当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，，故.设，代入C的方程有：，设，，则，，所以，所以.综上，的值为6.方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，且由双曲的定义可知，故.当l不垂直于x轴时，设，代入C的方程有：.设，，则，，所以.综上，的值为6.变式40．（2024·安徽淮北·统考二模）已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，过点任意作直线分别交抛物线于，交椭圆于.当垂直于轴时，.(1)求和的方程；(2)是否存在常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由已知可得，的方程为，代入抛物线方程可得，，解得，所以.由题意知，得，所以，抛物线方程是.所以直线的方程为，焦点，所以.将直线的方程代入椭圆方程可得，，解得，所以.由已知可得，，解得，所以，椭圆的方程为.（2）假设存在常数，使为定值.设直线的方程为：，设，，联立方程，消化简得.则恒成立，且，所以.设，，联立方程，消化简得.则恒成立，且，所以，.所以，.因为为定值，所以有，所以.所以，假设成立.所以，存在常数，使为定值.变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所成的四边形的周长为.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求的值.【解析】（1）根据题意，所以，椭圆顶点围成的四边形周长为：，所以，又因为，所以，，故椭圆方程为：，椭圆离心率为.（2）①当直线PQ斜率不存在时，|PQ|，|MN|，此时.②当直线PQ斜率为0时，|PQ|，|MN|，此时.③当直线PQ斜率存在且不为0时，设直线PQ:，直线MN：联立所以所以，所以，PQ同理可得，.此时.综上所述，的值为.变式42．（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C：的长轴长为4，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：为定值.【解析】（1）由题设可得，设椭圆的半焦距为，则，故，故，故椭圆的方程为：.（2）当时，，此时，而，故，故.当时，直线的方程为，，由可得，此时，，，且.的中垂线的方程为：，令，则，故，故.变式43．（2024·天津河北·高三统考期末）已知椭圆点，且离心率，F为椭圆C的左焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，，连接OT与PQ交于点H.①若，求；②求的值.【解析】（1）由题意可得，解得,椭圆C的方程为.（2）①当时，即，直线的斜率为，∴直线的斜率为，则直线的方程，联立方程，消去得：，解得，∴.②∵，则直线的斜率为，当时，则直线l与x轴垂直，点H即为点F，则；当时，则直线的斜率为，则直线的方程，联立方程，消去得：，显然，设，则，∴线段的中点的横坐标为，∵直线的方程为，联立方程，解得，即点H为线段的中点，则；综上所述：.变式44．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E：