第17讲、幂指对比较大小（教师版）

[在此处键入]第17讲幂指对比较大小知识梳理（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：①②③④⑤⑥必考题型全归纳题型一：直接利用单调性【例1】（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据指数函数在上递增可得，；根据对数函数在上递增可得，，根据指数函数在上递减和值域可得，，∴．故选：D【对点训练1】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因为是定义在上的偶函数，所以，因为，，，且在上单调递减，所以，即．故选：A．【对点训练2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在上单调递减，所以，即．因为在上单调递增，所以，即．因为在上单调递增，所以，即．综上，．故选：D【对点训练3】（2024·天津·统考二模）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得，，由于为上的单调增函数，故，故，故选：C题型二：引入媒介值【例2】（2024·天津河北·统考一模）若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，，而，即，所以，，的大小关系为．故选：B【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，，且，则，因为，则，所以．故选：B．【对点训练5】（2024·湖南娄底·统考模拟预测）已知，，，则三者的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，即又由，可得，因为，即，所以．故选：C．【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由对数函数的运算性质，可得，，，所以．故选：D．题型三：含变量问题【例3】（理科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知，，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可设，因为，所以的图象关于直线对称．因为，当时，，所以，，，所以，所以在上单调递增，由对称性可知在上单调递减．因为，所以，所以；又，，由对称性可知，且，因为，所以，又在上单调递减，所以，所以，故选：A．【对点训练7】（云南省大理市辖区2024届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，由，得，设，则，当时，单调递增，因，当且仅当时取等号，故，又，所以，故，∴，则，即有，故．故选：C．【对点训练8】（江西省宜春市2024届高三模拟考试数学（文）试题）已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因，，则，即，令，则，函数在上单调递增，有，即，从而当时，，令，，在上单调递减，则由，得，所以．故选：A【对点训练9】（山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以在上是奇函数．所以对求导得，令，则当时，，所以在上单调递增，则时，，即，所以在上单调递增．因为，所以，因为在上单调递增，所以．令，则所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以，而，即，所以，即．所以，即，则所以所以，即．故选：A【对点训练10】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得，则因为，所以，则，因为，所以．故选：A．题型四：构造函数【例4】（2024·山东潍坊·三模）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，故．故选：D．【对点训练11】（2024·广西·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由指数幂的运算公式，可得，所以，构造函数，其中，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，当且仅当时取等号，由于，则，则，所以，所以，所以．故选：C．【对点训练12】（2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，设，则在恒成立，所以函数为单调递减函数，所以，即，所以．因为，所以，即，所以，即，所以，综上，．故选：A【对点训练13】（河北省唐山市开滦第二中学2024届高三核心模拟（三）数学试题）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，则，令且，则为减函数，所以，而，故，故在上递增，则，即在上恒成立，所以，即，由，令且，则，所以在上递增，则，即在上恒成立，所以，即．综上，．故选：C【对点训练14】（湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，，又，则，，所以，对于，令，则，此时，所以．故选：A．【对点训练15】（2024·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，设，函数定义域为，则，故在上为增函数，有，即，所以，故．设，函数定义域为，则，，解得；，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．当时，取最大值，所以，即，时等号成立，所以，即，又，所以．故选：D．【对点训练16】（2024·河南·模拟预测）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令函数，求导得，函数在上递减，当时，，则，于是，即，令函数，求导得，函数在上递增，当时，，则，于是，即，当时，，，则，即，而，于是，即，所以a，b，c，d的大小关系是，C正确．故选：C题型五：数形结合【例5】（广东省六校2024届高三上学期第三次联考数学试题）已知，为函数的零点，，若，则（

）A． B．C． D．与大小关系不确定【答案】C【解析】易知为函数的零点，又解之：，负根舍去；又，即与有三个交点，交点横坐标分别为，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为切线方程为：过原点，此时的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，故选：C【对点训练17】（2024·天津和平·统考三模）已知满足，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知：把的值看成函数与图像的交点的横坐标，因为，，易知；把的值看成函数与图像的交点的横坐标，，易知；把的值看成函数与图像的交点的横坐标，，与，易知．所以．故选：B．【对点训练18】（2024·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，画出函数的图象如下图所示，

由图象可知，．故选：D．【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2024学年高三上学期期中数学试题）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故令，则，．易知和均为上的增函数，故在为增函数．∵，故由题可知，，即，则．易知，，作出函数与函数的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在内，即，，．故选：B．【对点训练20】（河南省洛平许济2022-2024学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题）已知，则这三个数的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，由，解得，由，解得，所以在上单调递增，在上单调递减；因为，所以，即，所以，所以，又递增，所以，即；，在同一坐标系中作出与的图象，如图：由图象可知在中恒有，又，所以，又在上单调递增，且所以，即；综上可知：，故选：A【对点训练21】（2024·全国·高三专题练习）已知y＝（x－m）（x－n）＋2023（n>m），且α，β（α<β）是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是（

）A．α<m<n<β B．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n【答案】C【解析】∵α，β为方程y＝0的两个实数根，∴α，β为函数y＝（x－m）（x－n）＋2023的图像与x轴交点的横坐标，令y1＝（x－m）（x－n），∴m，n为函数y1＝（x－m）（x－n）的图像与x轴交点的横坐标，

易知函数y＝（x－m）（x－n）＋2023的图像可由y1＝（x－m）（x－n）的图像向上平移2023个单位长度得到，∴m<α<β<n．故选：C．【对点训练22】（2024·安徽亳州·高三校考阶段练习）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据“躺平点”定义可得，又；所以，解得；同理，即；令，则，即为上的单调递增函数，又，所以在有唯一零点，即；易知，即，解得；因此可得．故选：B题型六：特殊值法、估算法【例6】若都不为零的实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取，满足，但，A错误；当，满足，但，B错误；因为，所以，所以，C正确；当或时，无意义，故D错误．故选：C【对点训练23】已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取，则，，，所以．故选：B．【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，函数在单调递增，并且有，则，于是得，即，则，又函数在单调递增，且，则有，所以．故选：C【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，，可知，又由，从而，可得，因为，所以；因为，从而，即，由对数函数单调性可知，，综上所述，．故选：B．【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）三个数，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以．故选：D题型七：放缩法【例7】（百师联盟2024届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【答案】C【解析】由题意得，m＝log4ππ，，∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，∴，而p＝，∴n＜m＜p．故选：C．【对点训练27】（四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】易得，，令，，∴在上递减，则，∴，故，，，故，故选：A．【对点训练28】（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三））已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】分别对，，两边取对数，得，，．．由基本不等式，得：，所以，即，所以．又，所以．故选：D．【对点训练29】（2024届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题）下列大小关系正确的为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于选项，因为，所以，则，又因为，则有，所以，故选项错误；对于选项，构造函数，则，所以函数在上单调递减，则，所以，即，令，则，所以在上单调递增，则，即，所以，故，故选项正确；对于选项，构造函数，则，由选项可知：当时，，所以，则有，因为函数在上恒大零，所以，则函数在上单调递增，所以，即，故选项错误；对于选项，因为，令，则，令，则，令，解得：，因为，所以在上单调递减，故，即，所以，故选项错误，故选：．【对点训练30】（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知实数，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为上的增函数，所以，故，即，又，，故，则，而，故，所以，则，所以，故选：B．【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，即，∴，∴，∴，∴．令，则，∴在上单调递增，∴，即，∴，∴．故选：D．【对点训练32】（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】要比较，，等价于比较的大小，等价于比较，即比较，构造函数，，令得，令得，所以在单调递增，单调递减．所以，因为，所以最大，即，，中最大，设，结合的单调性得，，先证明，其中，即证，令，，其中，则，所以，函数在上为增函数，当时，，所以，当时，，则有，由可知，所以，因为，所以即，因为，在单调递增，所以，即，因为所以所以，即，因为，在单调递减．所以，即，即，综上，．故选：D【对点训练33】（2024·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，，则，因为，所以，，则，所以因为，即，因此，．故选：C．【对点训练34】（2024·广东·统考模拟预测）已知，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，，，故．故选：A．题型八：不定方程【例8】（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2024学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，a、b、c是正实数，所以，因为，所以，对于A，若，则，满足题意；对于B，若，则，满足题意；对于C，若，则，满足题意；对于D，若，则，不满足题意．故选：D．【对点训练35】（湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2024届高三二模联考数学试题）设实数，满足，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．无法比较【答案】C【解析】假设，则，，由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；即有与假设矛盾，所以，故选：C【对点训练36】已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是A． B． C． D．【答案】【解析】先比较与2的大小，因为，所以，所以，即，故排除，，再比较与2的大小，易得，当时，由，得与矛盾，舍去，故，则有，得，令，，令，则，故，故，从而．故选：．【对点训练37】已知实数，满足，，则下列判断正确的是A． B． C． D．【答案】【解析】，故，，，故，即，，且，，，令，则，故，即，故，故选：．【对点训练38】若且，且，且，则A． B． C． D．【答案】【解析】令，则．由得：．函数在上单调递增，在上单调递减．，，，，，，（4）（a），（5）（b），（6）（c）．，（6）（5）（4），（c）（b）（a），又，，，，，都小于，．故选：．题型九：泰勒展开【例9】已知，则（

）【答案】A【解析】设，则，，，计算得，故选A．【对点训练39】设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）【答案】【解析】，由函数切线放缩得，因此．故答案为：【对点训练40】设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选【对点训练41】，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，故选B题型十：同构法【例10】（贵州省毕节市2024届高三诊断性考试（二）数学（理）试题）已知，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．不确定【答案】B【解析】，又，则，设，显然为增函数，因为，所以又，，则令，设，则，当时单调递增，则在上单调递增，故，解得．故选：B【对点训练42】（四川省德阳市2024届高三下学期4月三诊考试理科数学试题）已知实数x、y满足，则x、y的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，因为，，所以，所以，则，所以，令，则，当时，，所以函数在上单调递增；则当时，，即，一定有，所以，则，又因为，所以，令，则，当时，，所以函数在上单调递增；