第60讲、直线与圆、圆与圆的位置关系（学生版）

②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是．题型四：切点弦问题例10．（2024·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）从抛物线上一点作圆：得两条切线，切点为，则当四边形面积最小时直线方程为.例11．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为.例12．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对变式23．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（

）A． B． C．1 D．变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（

）A． B． C． D．变式26．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，点M在抛物线：上运动，过点引直线与圆相切，切点分别为，则下列选项中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．变式27．（2024·江苏南京·高三统考开学考试）过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【解题方法总结】过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．题型五：圆上的点到直线距离个数问题例13．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例14．（2024·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例15．（2024·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为()A． B．C． D．变式28．（2024·全国·高三专题练习）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．变式29．（1991·全国·高考真题）圆上到直线的距离为的点共有A．个 B．个 C．个 D．个变式30．（2024·全国·高三专题练习）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【解题方法总结】临界法题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题例16．（2024·湖北·统考模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（

）A． B． C． D．例17．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为.例18．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为.

变式31．（2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是.变式32．（2024·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若，则的最小值为.变式33．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为.变式34．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是．变式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为.变式36．（2024·全国·高三专题练习）已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为.变式37．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为．变式38．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为．变式39．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知圆C：与直线l：交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是.变式40．（2024·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习）已知圆与直线相交于两点，则的最小值是.变式41．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知分别是圆，圆上动点，是直线上的动点，则的最小值为．变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是．变式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）已知是圆上两点，若，则的最大值为.变式44．（2024·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为．变式45．（2024·全国·高三专题练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．变式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4变式47．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（

）A． B．8 C． D．变式48．（2024·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（

）A．1 B． C． D．2变式49．（2024·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）已知点P在圆上，点，，则错误的是（

）A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2C．当最小时， D．当最大时，变式50．（2024·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点、和在直线上的动点，当与的外接圆相切时，最大．若，，是轴正半轴上一动点，当对线段的视角最大时，的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【解题方法总结】直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．题型七：圆与圆的位置关系例19．（2024·河南·校联考模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5例20．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（

）A．外切 B．内切 C．相交 D．外离变式51．（2024·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式52．（2024·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条变式53．（2024·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式54．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条变式55．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3变式56．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（

）A．3 B．8 C．4 D．9【解题方法总结】已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含；题型八：两圆的公共弦问题例22．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为．例23．（2024·河南·校联考模拟预测）若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为.例24．（2024·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则变式57．（2024·天津和平·耀华中学校考一模）圆与圆的公共弦的长为．变式58．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知圆与圆相交于两点，则.变式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知圆与圆相交于两点，则.【解题方法总结】两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．题型九：两圆的公切线问题例25．（2024·全国·高三专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程：.例26．（2024·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程．例27．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.变式60．（2024·湖北·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则．