高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第二册)第十章概率(知识通关详解)【单元测试卷】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第二册)(原卷版+解析)

概率一．有限样本空间1.随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（samplespace).我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,...,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,...,ωn,}为有限样本空间.例1：1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。2.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？举一反三1.抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.2.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间3．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．二、随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（randomevent),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent).1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母，，来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.例2：1．一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（

）A．摸出的4个球中至少有一个是白球B．摸出的4个球中至少有一个是黑球C．摸出的4个球中至少有两个是黑球D．摸出的4个球中至少有两个是白球2．下列事件中不可能发生的是（

）A．打开电视机，中央一台正在播放新闻B．我们班的同学将来会有人当选为劳动模范C．在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快D．太阳从西边升起举一反三：1．“是实数，”这一事件是（

）A．必然事件 B．不确定事件C．不可能事件 D．随机事件2．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3厘米，5厘米，9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．在12件同类产品中，有10件正品，2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中:①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品.随机事件有__________，必然事件有__________，不可能事件有__________.事件的关系和运算1、包含关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，则我们称事件包含事件（或称事件包含于事件），记作（或）.2、相等关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，并且如果事件发生时，事件一定发生，即若且，则我们称事件与事件相等，记作.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件或事件发生，则我们称该事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）.4、交事件如果某事件发生当且仅当事件发生且事件也发生，则我们称该事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或）.例3：1．打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（

）A．全部击中 B．至少击中发C．至少击中发 D．以上均不正确2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（

）A．B．C．表示向上的点数是1或2或3D．表示向上的点数是1或2或33．掷一枚骰子，给出下列事件：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.求：（1），；（2），.举一反三1．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A． B． C． D．2．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是______________________．3．先后掷一个骰子两次，观察出现的面的点数，记事件A：点数之和等于5，事件B：最大点数为4，试用集合表示事件A，B，，.5、互斥事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），则我们称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中都不会同时发生.互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件与事件互斥，那么；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件，，…，两两互斥，那么事件“发生”（指事件，，…，中至少有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式.在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.例4：1．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（

）A． B． C． D．2．设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（

）A．是必然事件 B．是必然事件C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件举一反三1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（

）A．0.2 B．0.28 C．0.52 D．0.82．命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．6、对立事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），而事件与事件的并事件为必然事件（即），则我们称事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生.对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件与而言，由于在一次试验中，事件与事件不会同时发生，因此事件与事件互斥，并且，即事件或事件必有一个发生，所以对立事件与的并事件发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之和，且和为，即，或.【注】上述这个公式为我们求事件的概率提供了一种方法，当我们直接求有困难时，可以转化为先求其对立事件的概率，再运用公式即可求出所要求的事件的概率.例5：1．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（

）.A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶2．（多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（

）A．2个小球不全为红球B．2个小球恰有1个红球C．2个小球至少有1个红球D．2个小球都为绿球3．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则______.举一反三1．袋内分别有红､白､黑球个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个2．（多选)某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（

）A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和全是男生3．把标号为1、2、3、4的四张卡片分给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张．设A：甲分得1号卡片；B：乙分得1号卡片．(1)求、；(2)A与B是否为互斥事件？是否为对立事件？若不是对立事件，分别写出A与B的对立事件．古典概型古典概型的定义：

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.2.概率计算公式：A事件发生的概率;例6：1．连续抛掷一枚骰子次，则第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为（

）A． B． C． D．2．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（

）A．与互斥 B．与相互独立C． D．3．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是____.举一反三1．某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案：方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，则（

）A． B．C． D．2．（多选）在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则（

）A．恰有1件一等品的概率为B．恰有2件一等品的概率为C．至多有1件一等品的概率为D．至多有1件一等品的概率为3．某服装公司经过多年的发展，在全国布局了3500余家规模相当的销售门店.该公司每年都会设计生产春季新款服装并投放到各个门店销售.该公司为了了解2022年春季新款服装在某个片区的销售情况，市场部随机调查了该片区6个销售门店当年销售额（单位：万元，不考虑门店之间的其它差异），统计结果如下：门店编号123456年销售额283330404522(1)请用平均数，中位数分别估计2022年该公司的春季新款服装在这个片区的某个销售门店的年销售额；(2)从以上6个门店中随机抽取2个，求恰好有1个门店的该年销售额不低于40万元的概率.概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.例7：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（

）A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次2．有下列事件：①在标准大气压下，水加热到时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖．其中必然事件是（

）A．② B．③ C．①②③ D．②③举一反三1．下列事件中，不可能事件是（

）A．三角形内角和为B．三角形中大边对大角，小边对小角C．锐角三角形中两个内角和等于D．三角形中任意两边之和大于第三边2．下列事件是必然事件的是（

）A．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上B．异性电荷相互吸引C．在标准大气压下，水在1℃时结冰D．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数事件的相互独立性1．相互独立的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立的性质若事件A与B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立．注：(1)必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．(2)事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B)．例8：1．若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是（

）A．A与 B．A与 C．与B D．与2．（多选）下列四个命题中错误的是（

）A．若事件A，B相互独立，则满足B．若事件A，B，C两两独立，则C．若事件A，B，C彼此互斥，则D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件3．已知事件，相互独立，且，，则______．举一反三1．出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（

）A． B． C． D．2．（多选）已知随机事件A，B满足，，则（

）A．若事件A，B互斥，则B．若，则事件A，B互斥C．若事件A，B相互独立，则D．若，则事件A，B相互独立3．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，其余均为不中奖．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，，求：(1)事件，，的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．频率与概率知识点一频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).例9：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（）A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次2.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？举一反三1．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076 B．0.7516 C．0.3924 D．0.24842.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？知识点二随机模拟用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.随机数与伪随机数(1)随机数要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．(2)伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．整数值随机数的产生及应用(1)产生整数值随机数的方法用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．(2)整数值的随机数的应用利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．例10：1.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：131412342333122433221413312443212341241312242143431224121413433122344422324143314234由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）A． B． C． D．3.经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰有3次命中的概率为（）．A． B． C． D．举一反三1.总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．07 C．04 D．012.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，其中，，，为下雨，，，，，，为不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（）附随机数表:A．25% B．30% C．45% D．55%3.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.课外阅读几何概型；知识点几何概型的基本特点：基本事件数有无限多个；每个基本事件之间互斥且等可能；概率计算公式：A事件发生的概率；注意：究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪一个是等可能的；例：1．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（）A．0.16 B．0.12 C．0.18 D．0.582．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A． B． C． D．3．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（）A． B． C． D．．4．一个正方形及其内切圆，在正方形内部随机取一个点，则点在圆内的概率是__.5．（1）若从区间内任意选取一个实数x，求的概率；（2）从图中矩形（，图中的圆与和都相切）中任取一点P，求点P取自阴影部分的概率．概率一．有限样本空间1.随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（samplespace).我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,...,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,...,ωn,}为有限样本空间.例1：1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω={h,t}.2.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)．举一反三1.抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：用i表示朝上面的“点数为i”，因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.2.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间解：如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果.一方面数学追求最简洁地表示，另一方面，这种表示有其实际意义，在后面的研究中会带来很大的方便.3．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．【答案】36【分析】直接采用列举法即可求出结果数.【详解】将这个试验的所有结果一一列举出：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种．故答案为：36.二、随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（randomevent),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent).1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母，，来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.例2：1．一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（

）A．摸出的4个球中至少有一个是白球B．摸出的4个球中至少有一个是黑球C．摸出的4个球中至少有两个是黑球D．摸出的4个球中至少有两个是白球【答案】B【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.【详解】因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况.故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误.故选：B.2．下列事件中不可能发生的是（

）A．打开电视机，中央一台正在播放新闻B．我们班的同学将来会有人当选为劳动模范C．在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快D．太阳从西边升起【答案】D【分析】根据随机事件的概念判断各选项即可.【详解】对于A、B，属于随机事件，有可能发生；对于C，属于必然事件，一定会发生；对于D，“太阳从西边升起”这个事件一定不会发生，所以它是一个不可能事件．故选：D．举一反三：1．“是实数，”这一事件是（

）A．必然事件 B．不确定事件C．不可能事件 D．随机事件【答案】A【分析】任意实数的绝对值大于等于0，作为事件必然发生.【详解】由于是实数，故恒成立，所以是实数，”这一事件是必然事件.故选：A2．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3厘米，5厘米，9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】利用随机事件、不可能事件和必然事件的定义逐一判断得解.【详解】①、②为随机事件；④为不可能事件；只有③是必然的、确定的.故选：A3．在12件同类产品中，有10件正品，2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中:①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品.随机事件有__________，必然事件有__________，不可能事件有__________.【答案】①②④③【分析】根据正品和次品产品的数目，结合事件的概念，即可得出答案.【详解】对于①，由题意知，抽出的3件可能都是正品，故①是随机事件；对于②，由题意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是随机事件；对于③，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；对于④，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.故答案为：①②；④；③.事件的关系和运算1、包含关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，则我们称事件包含事件（或称事件包含于事件），记作（或）.2、相等关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，并且如果事件发生时，事件一定发生，即若且，则我们称事件与事件相等，记作.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件或事件发生，则我们称该事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）.4、交事件如果某事件发生当且仅当事件发生且事件也发生，则我们称该事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或）.例3：1．打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（

）A．全部击中 B．至少击中发C．至少击中发 D．以上均不正确【答案】B【解析】【分析】利用并事件的定义可得出结论.【详解】所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.故选：B.2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（

）A．B．C．表示向上的点数是1或2或3D．表示向上的点数是1或2或3【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得，求得，即可求解．【详解】由题意，可知，则，∴表示向上的点数为1或2或3．故选：C.3．掷一枚骰子，给出下列事件：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.求：（1），；（2），.【答案】（1），“出现2点”.（2）“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【解析】根据题意表示出集合，再求（1），；（2），即可.【详解】由题意知：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”，（1），出现2点”；（2）“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【点睛】本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.举一反三1．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】列出事件N包含的结果再分析与事件M的关系即可.【详解】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有.故选：A.【点睛】本题主要考查了事件的包含关系,属于基础题型.2．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是______________________．【答案】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8【解析】【分析】根据事件可归纳出M的含义.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，归纳可知，事件M的含义是：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8的事件.故答案为：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为83．先后掷一个骰子两次，观察出现的面的点数，记事件A：点数之和等于5，事件B：最大点数为4，试用集合表示事件A，B，，.【答案】，.，.【解析】利用事件的定义直接用列举法写出即可.【详解】根据题意，事件，事件，事件，事件.5、互斥事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），则我们称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中都不会同时发生.互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件与事件互斥，那么；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件，，…，两两互斥，那么事件“发生”（指事件，，…，中至少有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式.在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.例4：1．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】甲不输即是和棋或者获胜两种情况，故可求得结果.【详解】由题意可得，甲不输的情况有：和棋或获胜两种，故其不输的概率为：.故选：A.2．设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（

）A．是必然事件 B．是必然事件C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解.【详解】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故B不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况，与一定为互斥事件，故D不正确.故选：A.举一反三1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（

）A．0.2 B．0.28 C．0.52 D．0.8【答案】A【分析】根据题意，摸出球为红球、白球、黑球事件为两两互斥事件，根据概率加法公式可求解.【详解】设“摸出红球”为事件M，“摸出白球”为事件N，“摸出黑球”为事件E，且为两两互斥事件，又口袋内只有这三种球，则，所以.故选：A.2．命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可.【详解】解：若事件与事件是对立事件，则事件与事件一定是互斥事件；若事件与事件是互斥事件，不一定得到事件与事件对立，故命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的充分不必要条件；故选：A3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则，，可判断A,C;事件B与D是互斥事件,判断B;表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D.【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，故A，C正确；事件B与D是互斥事件，故，故B正确，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D错误，故选：D.6、对立事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），而事件与事件的并事件为必然事件（即），则我们称事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生.对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件与而言，由于在一次试验中，事件与事件不会同时发生，因此事件与事件互斥，并且，即事件或事件必有一个发生，所以对立事件与的并事件发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之和，且和为，即，或.【注】上述这个公式为我们求事件的概率提供了一种方法，当我们直接求有困难时，可以转化为先求其对立事件的概率，再运用公式即可求出所要求的事件的概率.例5：1．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（

）.A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶【答案】C【分析】根据对立事件的概念可得结果.【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.故选：C.2．（多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（

）A．2个小球不全为红球B．2个小球恰有1个红球C．2个小球至少有1个红球D．2个小球都为绿球【答案】BD【分析】根据互斥事件与对立事件的定义可得答案.【详解】从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，这两个球可能为2个红色球、2个绿色球、2个蓝色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色、1个蓝色1个绿色共6种情况，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有B，2个小球恰有1个红球；C，2个小球都为绿球，而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件；2个小球至少有1个红球包括2个红色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色.故选：BD.3．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则______.【答案】/【分析】根据题意求出事件A与B有一个发生的概率，结合，求得，即可求得答案.【详解】由题意事件A与B互斥，它们都不发生的概率是，则，结合，可得，即，可得，故，故答案为：举一反三1．袋内分别有红､白､黑球个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【详解】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A中事件不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，即可能是一个白球和一个黑球，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故二者互斥，从袋中任取2个也可能是两个红球，即二者可能都不发生，故二者不对立，故选：D2．（多选)某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（

）A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和全是男生【答案】AD【分析】逐个选项分析事件之间是否有同时发生的可能性再判断即可.【详解】A中两个事件是互斥事件,恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生,它与恰有2名女生不可能同时发生，A是；B中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；C中两个事件不是互斥事件,至少一名女生包含全是女生的情况，C不是；D中两个事件是互斥事件,至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D是.故选：AD3．把标号为1、2、3、4的四张卡片分给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张．设A：甲分得1号卡片；B：乙分得1号卡片．(1)求、；(2)A与B是否为互斥事件？是否为对立事件？若不是对立事件，分别写出A与B的对立事件．【答案】(1)，{甲分得1号卡，乙分得1号卡}；(2)A与B是互斥事件，但不是对立事件，A的对立事件是甲未分得1号卡片，B的对立事件是乙未分得1号卡片．【分析】（1）根据、直接理解判断即可;（2）由互斥事件和对立事件的概念即可判断.(1)根据题意，事件和事件不可能同时发生，所以是不可能事件，即；{甲分得1号卡，乙分得1号卡}；(2)由（1）可知事件和事件不可能同时发生，所以事件和事件是互斥事件，又因为事件和事件可以都不发生，如甲分得2号卡片，同时乙分得3号卡片，所以事件和事件不是对立事件，事件的对立事件为“甲未分得1号卡片”，事件的对立事件为“乙未分得1号卡片”.古典概型古典概型的定义：

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.2.概率计算公式：A事件发生的概率;例6：1．连续抛掷一枚骰子次，则第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由古典概型概率公式计算即可.【详解】方法一：连续抛掷一枚骰子次，用表示第次和第次正面向上的数字分别为，，则基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，设事件“第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大”，则事件中基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共个，∴.∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为.方法二：连续抛掷一枚骰子次，第次正面向上的数字有种，第次正面向上的数字有种，∴连续抛掷一枚骰子次，基本事件有个；其中，第次正面向上的数字与第次正面向上的数字相等的基本事件有个，而第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的基本事件，与第次正面向上的数字比第次正面向上的数字小的基本事件数量相同，∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的基本事件有个，∴第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为.故选：A.2．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（

）A．与互斥 B．与相互独立C． D．【答案】BD【分析】对于A、B选项，根据事件的对立与互斥定义即可分辨；对于C、D选项利用概率公式计算即可【详解】对于A项，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件可以有以下情况：第一次掷出1，第二次掷出5或第一次掷出3，第二次掷出3等，如此与事件有同时发生的可能，故A错误；对于B项，，，故B正确；对于C项，易知，故C错误；对于D项，点数和为6，且两次点数相同仅有都是3点一种情况，故，故D项正确.故选：BD3．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是____.【答案】/0.6【分析】列举出总的情况和满足条件的情况，然后根据古典概型的计算公式，即可求得本题答案.【详解】“任意闭合其中的两个开关”所包含的情况如下：，，，，，，，，，，共10种；“电路接通”所包含的情况如下：，，，，，，共6种.所以电路接通的概率.故答案为：举一反三1．某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案：方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】列表后可求相应的概率.【详解】记好、中、差分别为A，B，C，方案一包含的基本事件数为，方案二包含的基本事件数为，则123ABC√ACB√BAC√BCA√CAB√CBA于是．故选：A2．（多选）在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则（

）A．恰有1件一等品的概率为B．恰有2件一等品的概率为C．至多有1件一等品的概率为D．至多有1件一等品的概率为【答案】ABD【分析】5件产品中任取2件有10种取法，恰有1件一等品的取法有6种，恰有2件一等品的取法有3种，“恰有2件一等品”的对立事件是“至多有1件一等品”，从而得出选项.【详解】将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，共6种，故恰有1件一等品的概率为；恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，故恰有2件一等品的概率为，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为.故选：ABD.3．某服装公司经过多年的发展，在全国布局了3500余家规模相当的销售门店.该公司每年都会设计生产春季新款服装并投放到各个门店销售.该公司为了了解2022年春季新款服装在某个片区的销售情况，市场部随机调查了该片区6个销售门店当年销售额（单位：万元，不考虑门店之间的其它差异），统计结果如下：门店编号123456年销售额283330404522(1)请用平均数，中位数分别估计2022年该公司的春季新款服装在这个片区的某个销售门店的年销售额；(2)从以上6个门店中随机抽取2个，求恰好有1个门店的该年销售额不低于40万元的概率.【答案】(1)33万元，31.5万元(2)【分析】（1）根据平均数和中位数的计算方法即可求解；（2）根据列表法即可求解.【详解】（1）样本的平均数为（万元），样本从小到大排列为：22、28、30、33、40、45，所以样本的中位数为：（万元），根据样本估计总体的思想，由平均数可以估计2022年该公司的春季新款服装在这个片区的某个销售门店的年销售额为：33万元，根据样本估计总体的思想，由中位数可以估计2022年该公司的春季新款服装在这个片区的某个销售门店的年销售额为：31.5万元，（2）从以上6个门店中随机抽取2个门店的年销售额的所有样本点如下表所示：（22，28）（22，30）（22，33）（22，40）（22，45）（28，30）（28，33）（28，40）（28，45）（30，33）（30，40）（30，45）（33，40）（33，45）（40，45）恰好有1个门店的该年销售额不低于40万元样本点如下表所示：（22，40）（22，45）（28，40）（28，45）（30，40）（30，45）（33，40）（33，45）所以从以上6个门店中随机抽取2个恰好有1个门店的该年销售额不低于40万元的概率为：.概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.例7：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（

）A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案】B【解析】根据概率的定义进行判断.【详解】解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题2．有下列事件：①在标准大气压下，水加热到时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖．其中必然事件是（

）A．② B．③ C．①②③ D．②③【答案】A【解析】【分析】根据必然事件一定发生逐一判断即可.【详解】事件分为随机事件、必然事件和不可能事件，必然事件是一次试验中必然发生的事件.因为在标准大气压下，水加热到才会沸腾，所以①不是必然事件；因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件．故选：A．举一反三1．下列事件中，不可能事件是（

）A．三角形内角和为B．三角形中大边对大角，小边对小角C．锐角三角形中两个内角和等于D．三角形中任意两边之和大于第三边【答案】C【解析】【分析】根据三角形的相关性质可判断事件.【详解】由三角形性质可知、、为必然事件；由三角形内角和定理知两个内角和等于的三角形为直角三角形是不可能的，所以为不可能事件．故选：C2．下列事件是必然事件的是（

）A．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上B．异性电荷相互吸引C．在标准大气压下，水在1℃时结冰D．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数【答案】B【解析】根据必然事件的定义判断．【详解】四个选项都是随机事件，根据定义只有B选项是一定会发生的，是必然事件.故选：B.【点睛】本题考查随机事件与必然事件的概念，属于基础题．事件的相互独立性1．相互独立的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立的性质若事件A与B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立．注：(1)必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．(2)事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B)．例8：1．若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是（

）A．A与 B．A与 C．与B D．与【答案】A【分析】根据相互独立事件的性质，逐一判断即可得到本题答案.【详解】因为与是相互独立事件，所以与，与，与都是相互独立事件，而是的对立事件，与是互斥事件.故选：A2．（多选）下列四个命题中错误的是（

）A．若事件A，B相互独立，则满足B．若事件A，B，C两两独立，则C．若事件A，B，C彼此互斥，则D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件【答案】BCD【分析】A选项，事件A，B相互独立，则满足；BCD可举出反例，说法错误.【详解】若事件A，B相互独立，则满足，A说法正确；举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，事件B：第二个骰子点数为奇数，事件C：两个骰子的点数之和为奇数，于是有，，，可以看出事件A，B，C两两独立，但A，B，C不互相独立，所以，B说法错误；举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1，事件B：第二次骰子点数为2，事件C：第三次骰子点数为3，则事件A，B，C被此互斥，则，C说法错误；举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足，但A，B不是对立事件，D说法错误.故选：BCD3．已知事件，相互独立，且，，则______．【答案】/0.75【分析】利用独立事件乘法公式有，根据已知即可求.【详解】由题设，则.故答案为：举一反三1．出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为.故选：B2．（多选）已知随机事件A，B满足，，则（

）A．若事件A，B互斥，则B．若，则事件A，B互斥C．若事件A，B相互独立，则D．若，则事件A，B相互独立【答案】ACD【分析】利用互斥事件的定义判断AB，利用相互独立事件的定义判断CD.【详解】对于A选项，，故A正确；对于B选项，，，A，B互斥，否则不一定有A，B互斥，故B错误；对于C选项，因为事件A，B相互独立，故，故C正确；对于D选项，因为，故事件A，B相互独立，故D正确．故选：ACD．3．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，其余均为不中奖．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，，求：(1)事件，，的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【答案】(1)事件，，的概率分别为，，；(2)；(3).【分析】（1）根据题意，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；（2）根据互斥事件的概率加法公式，即可求解；（3）根据对立事件的概率计算方法，即可求解．【详解】（1）由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，故，，；（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，设“1张奖券中奖”这个事件为，则，∵，，两两互斥，∴．∴1张奖券的中奖概率为；（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件，则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴，∴1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为．频率与概率知识点一频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).例9：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（）A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案】B【分析】根据概率的定义进行判断.【详解】解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题2.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？解①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.反思感悟(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.举一反三1．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076 B．0.7516 C．0.3924 D．0.2484【答案】A【分析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.【详解】两人投中次数相等的概率P＝，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.2.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？解甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是eq\f(99,100).乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100).由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.反思感悟在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.知识点二随机模拟用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.随机数与伪随机数(1)随机数要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．(2)伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．整数值随机数的产生及应用(1)产生整数值随机数的方法用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．(2)整数值的随机数的应用利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．例10：1.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：131412342333122433221413312443212341241312242143431224121413433122344422324143314234由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题中数据，找到满足条件的组数，代入公式，即可求得答案.【详解】由题意得，直到标有偶数的球都取到过就停止，且恰好在第4次停止摸球，表示所得到的4个数中包含2和4，且前3次只能出现2或4中的一个（不限次数），第4次又摸到另外一个偶数，有1234，1224，3124，1224，4312，2234共有6组，所以恰好在第4次停止摸球的概率.故选：C3.经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数