2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册第五章三角函数知识点考点重点题型归纳总结

第五章三角函数

5.1任意角与弧度制..........................................................1

5.1.1角的概念的推广....................................................1

5.1.2弧度制............................................................6

5.2任意角的三角函数......................................................10

5.2.1任意角三角函数的定义.............................................10

第一课时用比值定义三角函数......................................10

第二课时用有向线段表示三角函数..................................14

5.2.2同角三角函数的基本关系..........................................17

5.2.3诱导公式.........................................................22

第一课时诱导公式一至四..........................................22

第二课时诱导公式五、六..........................................25

5.3三角函数的图象与性质..................................................28

5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质..................................28

第一课时正弦函数、余弦函数的图象................................28

第二课时正弦函数、余弦函数的性质................................32

5.3.2正切函数的图象与性质............................................39

5.4函数y=Asin（3x+@）的图象与性质........................................42

第一课时函数y=Asini：3x+（p）的图象及变换..............................42

第二课时函数y=4sinOx+⑼图象与性质的应用（习题课）..................46

5.5三角函数模型的简单应用................................................50

5.1任意角与弧度制

5.1.1角的概念的推广

知识点一任意角的概念

1.角的概念

角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所

形成的图形.

2.角的分类

名称定义图形

一条射线绕着端点以邈出方向旋转所形成

正角

的角O^-------------A

负用以顺时针方向旋转所形成的角

零角没有作任何旋转所形成的角A®

3.角的加法

(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称。=£；

(2)设a,£是任意两个角，把角。的终边旋转角夕，这时终边所对应的角是

a+6;

(3)相反角：把射线0A绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做

互为相反角,角a的相反角记为一。,a—6=a+(—6).

。想一想1

当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？

提示：不是的.虽然始边、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转

圈数)并没有确定，所以角也就不能确定.

知识点二象限角与终边相同的角

1.象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与工轴的非负半轴

重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角;如果角的终边在

坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

2.各象限角的集合

象限角象限角a的集合表示

第一象限角{a|^360°<。<k・360°+90°,k^Z}

第二象限角似依360。+90°<o<k-360°+180。，k^Z]

第三象限角{#360。+180°<"%・360。+270。，ZWZ}

第四象限角{a|k360°+270°<。4・360°+360°,%£Z}

3.终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=1M=a+

k360。，0］,即任一与角«终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角

的和.

•点一点・

对集合S="W=a+k360°,%£Z｝的理解

(1)角。为任意角，“k£Z”不能省略；

(2火・360°与a中间要用“+”连接，女・360°-a可理解成k3用0+(—a)；

(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有

无数个，它们相差360。的整数倍.

题型一

［例1］(多选)下列说法正确的是()

A.锐角都是第一象限角

B.第一象限角一定不是负角

C.小于180。的角是钝角、直角或锐角

D.在9(TW£V180。范围内的角£不一定是钝角

［解析］锐角是大于0。且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，

所以A正确；

一350。角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；

0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；

由于在90°W£V180°范围内的角夕包含90。角，所以不一定是钝南，所以D

正确.

［答案］AD

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角

的始边与终边及旋转方向与大小,另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断

结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可.

题型二终边相同的角的表示

［例2］己知角a=2021。.

(1)把。改写成2・360。+伙k£Z,(TW万〈360。)的形式，并指出它是第几象限

角;

(2)求仇使。与a终边相同，且一360°W夕＜360°；

(3)求与a终边相同的最大负角与最小正角.

［解］(1)由2021°除以360。，得商为5,余数为221°,・••取k=5,£=221°,

则a=5X360°+221°.又£=221°是第三象限角，a为第三象限角.

(2)与2021°角终边相同的角为k360°+2021°,2WZ.令一360°Wk•3600+2

021°<360°,kGZ,・•/可取一6,-5,将2的值代入&SGOO+Z021°中，得南。

为一139°,221°.

(3)由(2)知，与a终边相同的最大负角是一139°,最小正甬是221°.

终边相同角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360。的整数倍;

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍;

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90。的整数倍.

象限角的判定

［例3］⑴侈选)在①160。；②480。；③一960。；④153CT这四个角中,是第

二象限角的是()

A.①B.②

C.③D.④

［解析1第二象限角Q需满足k360°+90°VaVZ-360°+180°,k《Z,分析

可知:①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故

选A、B、C.

［答案］ABC

(2)已知a是第二象限角，求角三所在的象限.

［解］・・・。是第二象限角，

：.k-360°+90°<a<k-360°+180°(X：eZ).

•360°+45°<y<1-360°+90°(%£Z).

当女为偶数时，令左=2〃("£Z),得

n•360°4-45°<y</?*3600+90°,

这表明£■是第一象限角；

当火为奇数时，令&=2〃+l(〃£Z),得

n・360°4-225°<y<7i•360°+270°,

这表明■^是第三象限角.

・・1为第一或第三象限角.

［母题探究］

1.(变设问)在本例⑵的条件下，求角2a的终边的位置.

解：,・七是第二象限角，

：.k-360°+90°<a<k-360°+180°/&Z).

：.k-720°+180°<2a<k・7200+360°(2£Z).

・••角2a的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.

2.(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？

解：・・“360°<a<k-3600+90°(A£Z),

：.k^180°<y<^>180°+45°a^Z).

当女=2〃(〃金Z)时,n-3600<y<n-3600+45°,

...j■是第一象限角.

当Z=2〃+1(〃£Z)时，

n•360o+180°<y<n•360°+225°,

・・・£是第三象限角.

・•・£■是第一或第三象限角.

1.给定一个角判断它是第几象限角的思路

判断角a是第几象限角的常用方法为将a写成4+攵-360°(其中k^Z,。在

0。〜360。范围内)的形式，观察角B的终边所在的象限即可.

2.分角、倍角所在象限的判定思路

(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确

定解题方略；

(2)由a的象限确定2a的象限时，应注意2a可能不再是象限角，对此特殊

情况应特别指出.如a=135。，而2。=270。就不再是象限角.

5.1.2弧度制

知识点一度量角的两种制度

角定义用“度”作为单位来度量角的单位制

度1度

1度的角等于周角的忐，记作1°

制的角

弧定义以“弧度”为单位来度量角的单位制

度1弧度把长度等于生径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧

制的角度的角.1弧度记作1rad（rad可省略不写）

•点一点•

1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这

个角对应的瓠度数即可.

2.不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关

的定值.

知识点二角度制与弧度制的换算

1.弧度数的计算

正角的一度数是一个—〕

I一度数）--［负角的弧度数是•个—〕

-［零角的弧度数是。］

2.弧度与角度的换算

。想一想

1.一个角的度数是否对应一个弧度数？

提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的.

2.在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？

提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1,在大小不同的圆

中，由于半径不同，所以圆心角也不同.

知识点三扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,。（0"<2兀）为其圆心角，则

(1)弧长公式：l=aR；

(2)扇形面积公式：5=/尺=,aR2,

•点一点•

在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意a的单位是“弧度”，而不是

“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算.

角度与弧度的换算

［例1］将下列角度与弧度进行互化：

5117Ji

(1)—n；(2)—F；(3)10°；(4)-855°.

［解］(1居

n=-X1800=153300.

XI80°=-105°.

⑶10。=10乂旃=京

-n19n

(4)-8550=-855X—=

角度制与弧度制的互化原则和方法

(1)原则：牢记180°=五rad,充分利用1°=念rad和1rad=pf"|。进行换

1OW1儿，

(2)方法：设一个角的弧度数为角度数为则arad=a•—°；n°

［注意］用“弧度”为单&度量角时，常常把弧度数写成多少n的形式，如

无特别要求，不必把ri写成小数.

用弧度制表示角的集合

［例2］把下列角化成2Z)i+Q(0WaV2n,ZWZ)的形式，指出它是第几象

限角并写出与a终边相同的角的集合.

(1)3

［解1(1)—上胃=-8X2TT+乎，它是第二象限角，与乎终边相同的角的

［2n1

集合为［aa=2Zn+q-,々£Zj.

7n

(2)-1485°=-5X360°+315°=-10n+—,

它是第四象限角，与弓■终边相同的角的集合为|aa=2kn

弧度制下与角a终边相同的角的表示

在孤度制下，与角a的终边相同的角可以表示为｛夕旧=2女兀+Sk^Z］,即

与角。终边相同的角可以表示成a加上2n的整数倍.

［注意］(1)注意角度与弧度不能混用;

(2)各终边相同的角需加2Zn,k£Z.

题型三”扇形的弧长公式及面积公式的应用

［例3］若扇形的面积是4cm2,它的周长是10cm,则扇形圆心角(正角)的

弧度数为()

1n

A，22

C4

D.y

［解析］设扇形的半径为r,圆心角为a(0VaV2n),

5厂a=4,①

由题意，得

,2r+ra=10,②

由②得，一指

③

把③代入①，得2a2—170+8=0.

解得6(=］或a=8(舍去).

故扇形圆心角的弧度数为g.

［答案］A

关于弧度制下扇形问题的解决方法

⑴三个公式：@=；,S=qlr=,a/,要恰当选择公式，建立未知量、已知

量间的关系，通过解方程（组）求值；

（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长（面积），利用

函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解.

5.2任意角的三角函数

5.2.1任意角三角函数的定义

第一课时用比值定义三角函数

知识点一任意角的三角函数的定义

如图，设a是一个任意角，在角a的终边0M上任取Mfr

_____P（即y）\

不同于原点。的点P,r=|OP|=yf+的,利用点尸的坐r：

标定义sincosa="；tan。以上三个比值

分别称为角a的正弦、余弦、正切.

对于任意的角a,sina,cos。都分别唯一对应一个值；当。工方+%冗（左£2）

时，tan4也唯一对应一个值，此时y=sina,y=cosy=tan。分别叫作

角a的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数称为三窗函数.

•点一点•

对三角函数定义的再理解

(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比

值的集合的函数；

(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域

就是使分母不为零的角的集合.

。想一想I

对于确定的角。，请问三角函数的结果会随点尸在a终边上的位置的改变而

改变吗？

提示：不会.三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐

标的比值)为函数值的函数：三角函数值只与角a的大小有关，即由角a的终边

位置决定.

知识点二三角函数值的符号

如图所示：

正弦：一二象限正,三四象限负;

余弦：二B象限正，二三象限负;

正切：二^象限正，二四象限负.

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

三角函数的定义及应用

［例1］(1)已知角a的终边经过点P(-4a,3a)(aW0),求sina,cosa,tan

a的值;

⑵己知角。的终边落在直线小x+y=0上，求sina,cosa,tan。的值.

［解］(l)r=((-4〃)？+(3〃)2=5⑷.

若〃>0,则，，=5〃，故sin4=；=|^=］，cosx-4a4y

a=-=——=—7,tana==

r5a5'x

343

若。<0,则r=—5a同理可得sina=一予cosa=T,tan4=一不

(2)直线«§x+y=O,即》=一小.则直线通过第二和第四象限.

①在第二象限内取直线上的点(一1,5

则r=7(-1)2+(#)2=2,

।

所以sina=2fcosa=~ytanQ=一小.

②在第四象限内取直线上的点(1,一木),则r3T2+(一小)2=2,

巧]

所以sina=—^-fcos。tana=一小.

利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况：

(1)若已知角。终边上一点P(x,y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出),

则sina=ytcosa=x9tana=%W0)；

(2)若已知角。终边上一点P(x,y)不是单位圆上的点，则首先求r=对子,

yxy

则sincosa=",tana=；(xW0);

(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定

义求解；

(4)参数问题：若点的坐标、角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是

否需要分类讨论.

题型二

[例2]⑴若角0同时满足sin夕<0且tan8<0,则角0的终边一定位于

)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)填空sin285°•cos(-105°)0(填“V”或“

[解析1(1)由sin6<0,可知。的终边可能位于第三或第四象限，也可能与

y轴的负半轴重合.由tan8<0,可知夕的终边可能位于第二象限或第四象限，

故夕的终边只能位于第四象限.

(2)因为285°是第四象限角，所以sin285°<0.因为一105°是第三象限角，所以

cos(—105°)<0.所以sin285°•cos(—105°)>0.

［答案］(1)D(2)>

正弦、余弦函数值的正负规律

［1503］求函数段尸国春F的定义域.

"sinx2O,

cosx>0,

［解］要使/U)有意义，则，tan#O,

n

x手女n+了，kGZ,

+n,keZ,

nn

所以《2ATT—E<XV2GTI+5，kGZ,

n

x=^knI-y,x*An,kUZ.

解得2%nVxV2女n+5,k^Z.

所以原函数的定义域为［42火nVxV2Zn+£,kGZ.

求三角函数定义域的方法

(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过

解不等式或不等式组求得.对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身

定义域的限制；

(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取

特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.

第二课时用有向线段表示三角函数

知识点有向线段与三角函数线

I.有向线段的概念

规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段.

规定：以坐标轴的方向为有向线段的正方向.

2.三角函数线

有向线段以，Q2,也分别叫作角a的正弦线、余弦线和正切线.

其中有向线段。尸，OD,AT的方向和K度分别代表了sina,cosa,tana

的符号和绝对值、正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.

•・＞点一点•

1.三条有向线段与工轴或y轴正方向同向的为正向线段，为正值；与x轴或

y轴负方向同向的为负向线段，为负值.

2.单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以解决

比较大小、解三角方程、解三角不等式等问题，而且可以直观地研究同角三角函

数间的基本关系.

题型一三角函数线的作法

［例1］作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

5n

(1)70°;(2)-110°;0)—.

［ft?］(1)如图①，有向线段MP为70°角的正弦线，有向线段OM为70°角的

余弦线，有向线段A7为70°角的正切线.

(2)如图②，有向线段MP为一110°角的正弦线，有向线段OM为一110°角的

余弦线，有向线段AT为一110。角的正切线.

(3)在平面直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图)

③所示，以x轴的正半轴为始边作斗的终边，与单位圆交于点P,\5

作PM_Lx轴于点M,过单位圆与x轴正半轴的交点4作工轴的

Hi(3?

垂线，与。尸的反向延长线交于点r,则有向线段MP,OM,AT分别为牛角的

正弦线、余弦线、正切线.

三角函数线的作法

(D作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点

作X轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线；

(2)作正切线时，应从A(l,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T,即可

得到正切线AT,要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边

反向延长，再按上述作法来作正切线.

题型二三角函数线的应用

角度一利用三角函数线比较大小

［例2］利用三角函数线比较下列各组数的大小:

2n4冗厂、2n4n

①sin?一与sin有一；②tan飞一与tan;一.

［解1如图所示，角乎的终边与单位圆的交点为P,其反向延长线与单位圆

的过点A的切线的交点为T,作轴，垂足为M,则sin^~=MP,tan

4n

=AT;角行-的终边与单位圆的交点为P,其反向延长线与单位圆的过点4的切

4n4n

线的交点为『，作P'M'_Lx轴，垂足为M，,则sin—Pl,tan—=Ar,

由图可知，PfI,且MP与M'P'都与y轴正方向相同，所以

①sin竽Asin手:|A71>|AT'且4T与AF都与y轴正方向相反，所以②tan竽

4n

角度二利用三角函数线解不等式

［例引在单位圆中画出适合下列条件的角。的终边的范围，并由此写出角a

的集合：

（l）sina2;⑵cos。忘一

［解］（1）作直线y=5-交单位圆于A,B两点、,连接。4,OB,则Q4与03

围成的区域（图①阴影部分）即为角a的终边的范围，故满足条件的南口的集合为

n2n

2knaW2ZTT左£Zj.

图①图②

（2）作直线x=一;交单位圆于C,。两点，连接OC,OD,则0C与OO围成

的区域（图②中阴影部分）即为角a终边的范围，故满足条件的角a的集合为

2n4nI

a2&n+-^-WaW2及nRCZj.

角度三利用三角函数线求函数的定义域

［例4］求函数段）=同1—2cosx+ln（sinx—乎）的定义域.

［解］由题意，得自变量x应满足不等式组

」一2cosx，0,cos

J-乎>0,即.也

I2[sinx>2•

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，

,n3n1

即定义域为卜2&n+g_Wx<2火n+7",%£Zj.

i.利用三角函数线比较大小的两个关注点

⑴三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出

三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值；

(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向.

2.利用三角函数线解三角不等式的方法

对于sinx2。，cos丁2a(sin%W力,cosx^a),求解关

正弦、余弦型不等式的解键是寻求恰当的点，只需作直线y=b或x=a与单位

法圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，

此时再根据方向即可确定相应的范围

对于tanx>c,取点(1,c)连接该点和原点并反向延长，

正切型不等式的解法即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范

困

3.利用三角函数线求函数的定义域

解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角a的三角函数线,

然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围.在这个解题过程中实现了一个

转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想.

5.2.2同角三角函数的基本关系

知识点同角三角函数的基本关系

关系式文字表述

平方sin2a+cos2a=

同一个角。的正弦、余弦的平方和等于1

关系1

商数sina同一个角。的正弦、余弦的商等于角a的

—tana

关系cos。正切

•点一点•

基本关系式的变形公式

sin2a=1—cos2a,

sin2a4-cos2a=1=>cos2a=1—sin2a,

(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

sina=tan^cosa,

sina

tana=--------0sina

cosacosa=-------

tana

利用同角基本关系式求值

角度一已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值

[1501](链接数科书第164页例5、例6)(1)己知sin。，求cosa,tana

的值;

(2)已知\

tana=2,求cos。的值.

[解](l)：sina=1>0,.二。是第一或第二象限角.

T2^6sina

当a为第一象限角时,cosa~a,tanCt=

25.5cosa

=必

12,

当a为第二象限角时，cosa=-2争，tan。=一杏・

sina

=2①

(2)由已知得cosa

sin2a+cos2a=l,②

由①得sina=2cosa代入②得4cos2a+cos2a=l,

、1（3n1

Acos-a=^,又cc£（n,,Acosa<0,

.」_亚

・・cosQ——§.

求三角函数值的方法

⑴已知sin。（或cosJ）求tan。常用以下方法求解:

⑵已知tan。求sin。（或cos。）常用以下方法求解:

［注意］当角。的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而

对角。分区间（象限）讨论.

角度二已知tana的值，求关于sina,cos。齐次式的值

［例2］己知tan。=2.

」、sina—3cosa

（1）^R———T-------的值;

smo+cosa

⑵求2sin2a—sin^cosa+cos2a的值.

［解］⑴法一（代入法）：VtanQ=2,

sina

--------=2,/.sina=2cosa.

cosa

.sina-3cosa2cosq-3cosa1

**sina+cosa2cosa+cosa3'

法二（弦化切）：Vtana=2.

sina

-3

.sina-3cosacosa'tana-32-3j_

•・sina+cosasina.tana+12+13'

-------------4-1

cosa

(2)2sin2a-sinacosa-Feos2a

2sin2a-sinacosa+coCa

sin2a+cos2a

2lan%—tana+12X4-2+17

tan2a+14+15,

已知角a的正切求关于sina,cos。的齐次式的方法

(1)关于sina,cos。的齐次式就是式子中的每一项都是关于sina,cosa

的式子且它们的次数之和相同，设为〃次，将分子、分母同除以cos。的〃次嘉,

其式子可化为关于tan。的式子，再代入求值;

(2)若无分母时，把分母看作1,并将1用siMo+cos?。来代换，将分子、分

母同除以cos?。，可化为关于tan。的式子，再代入求值.

题型二sinaicos。与sinacosQ关系的应用

［例3］(链接教科书第164页例8)己知sina+cosa=—y0<a<n.

⑴求sinacos。的值;

⑵求sina—cosa的值.

［解］(1)由sina+cos。=-g得(sina+cosa)2=1,

sin2a+2sinacosa+cos2a=^,sinacosa=—

(2)因为OVaVn,sinacosa<0,

所以sina>0,cosa<0=>sina_cosa>0.

17

(sina-cosa)2=1-2sinacosa=豆,

所以sina—cosa

sina+cosa,sina—cosa,sinacos。三个式子中，已知其中一个,

可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin。土cos4)2=

l±2sinacosa.

［注意］求sina+cosa或sina—cosa的值，要注意根据角的终边位

置，利用三角函数线判断它们的符号.

题型三利用同角三角函数的关系化简与证明

角度一三角函数式的化简

sinasina

［例4］化简

1+sina1—sina

sinasina

〔］1+sina1—sina

sina(1-sina)—sina(1+sina)

(1+sina)(I—sina)

-2sin2a_2sin2a,

\~2=?=—2tan，ct.

1-sinzacosa

三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到

化繁为简的目的；

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到

化简的目的；

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sidt+cos?

。=1,以降低函数次数，达到化简的目的.

角度二三角恒等式的证明

4十l+2sinacos。tan。+1

［例/T15］(链接教科书笫164页例7)求证：—-------s—=;------------

□」''sin2a—cos2atano—\

sin?a+cos?Q+2sinacosa

［证明］法一:左边=

sin2a-cos2a

(sina4-cosa)2sina4-cosatana+l-

=嬴­=右边.

si•n2a—cos2a-sina-cosa

所以等式成立.

sina

1

cosasina+cosa

法二:右边=而下

sina-cosa

cosa

(sina4-cosa)2

(sina-cosa)(sina+cosa)

l+2sinacosa

=左边.

sin2a-cos2a

所以等式成立.

证明三角恒等式常用的方法

⑴从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；

⑶化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异;

(4)变更命题法，如要证明£=宗可证ad=bc,或证"='等；

左边

(5)比较法，即设法证明“左边—右边=0"或“昔=1”.

5.2.3诱导公式

第一课时诱导公式一至四

知识点诱导公式一至四

1.终边相同的角的同一三角函数值相笠.

公式一：sin(a+2-n)=sina,cos(a+2R兀)=cos。，tan(a+2Z:n)=tan

外其中kGZ.

公式二：sin(—a)="sing,cos(-a)=coso,tan(—a)=—tang.

公式三：sin(n+a)=­sin一a,cos(n+a)=-cos。,tan(叮+a)=tana.

公式四：sin(n—g)=sina,cos(n-a)=-cos。，tan(n—a)=-tana.

2.公式一至四的法则

2兀±4（keZ）的三角函数值，等于角。的回笠函数值，前面添上一个把角。

看成锐角时原函数值的符号.

记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.

•点一点・

诱导公式的作用

⑴绝对值大于2冗的角公式二（0,2元）范围的角公丝至四（0,冗）范围的角;

⑵负角公式三正角.

。想一想

诱导公式中角a必须是锐角吗？

提示:诱导公式中角a可以是任意角，要注意正切函数中要求aWAn+3,

k《Z.

给角求值问题

［例I］求下列三角函数值：

17n仆03n,11H

(1)cos6；(2)tan(—855)；"Nan-^+sirr

6.

［解］(1)cos^n=cos(2n+5n5n

"6"=cos"6"

nn

=cos(n=_C0Sy=-2.

(2)tan(-855°)=一tan855°=—tan(2X3600+135°)

=-tan135°=一tan(l800-45°)=tan45°=1.

(3)原式=tan(n—高+sin(2n—

1

nn-

-62

t3a4

-

才

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

［例2］化简:

cos(—a)tan(7n+«)

⑴sin(f~~

sin(1440°+ct)-cos(«~1080°)

(2)cos(-180°-a)-sin(-a-180°),

cos4tan(n+o)cosa・tana31na

(1)原式=

sinasinasina

=1.

sin(4X3600+a)・cos(3X360°-a)_sina•cos(—a)

cos(180°+a)-[—sin(180°+a)](—cosa)sina

cosa

1.

—cosa

利用诱导公式一〜四化简应注意的问题

⑴利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；

(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变;

(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也

将弦化切.

题型三给值(式)求值问题

［例3］已知cos修一ab坐，求cos作-+J的值•

3,

［母题探究］

1.（变设问）在木例条件下，求：

⑴cos'—今一）的值；（2）52（4—总的值.

2.（变条件）若将本例中条件“cos管一1=坐”

改为aa

“sin3，

e,如何求得?

2n7n，则。一点£管，口）

解：因为~f~6

«,(5n

所以cosl--+G)=~cos^—a^=-cos(a-总

1-9坐

1-sin2a—

解决条件求值问题的两技巧

第二课时诱导公式五、六

知识点诱导公式五、六

公式五：sin^jy-=cos^g

5+a=­sina.

JI

归纳了土。的正弦（余弦）函数值，等于角a的余弦（正弦）函数值,前面添上一

个把角a看成锐角时原函数值的符号.

记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”.

碓f)

sinry+a

cosa1/冗，)

公式六：tan———=；----二，tank+a=

cos侍-a)sincitana12)cosg+；

cosaIn

嬴二“‘女人且仪"火兀+彳（火£Z）.

-sina

利用诱导公式求值

sin(a-n)+cos(n-a)

[例1]⑴已知tana=3,求的值;

sin总-J+cosQ+a)

(2)已知sing_j=T,求cosf^+aj•sinl?"+a)的值.

…sin(a—n)+cos(n—a)

解a)—fnUfn)

sin(爹一aj+cos(爹

-sina-cosa-tanQ—1

cosa-sina1—tana

-3-1

1-3=2

fn,A(2n,

(2)cosl-^-4-aI•sinry+a

6

=cos

=sin信一J・sin停一JK

用诱导公式化简求值的方法

（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用

诱导公