高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第二册)第六章平面向量及其应用【单元测试B卷】(原卷版+解析)

第六章平面向量及其应用单元检测B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角的对边分别为．若，则（

）A． B． C．1 D．2．下列命题中正确的个数是（

）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．33．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（

）．A．7 B． C． D．14．已知向量，若，则实数m的值是（

）A．3或 B．或1 C．3或1 D．或5．在中，，则中最小的边长为（

）A． B．C． D．6．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（

）A． B． C． D．7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（

）A． B． C． D．8．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里，a，b，c分别为的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知中，，则该三角形内切圆半径（

）A． B． C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使10．在单位圆中，是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（

）A．B．在上的投影向量可能为C．D．若，则11．如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（

）A．点在线段上时，为定值B．点在线段上时，为定值C．的最大值为D．使的点轨迹长度为12．如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（

）A．B．C．面积的最大值为D．四边形面积的最大值为三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量，且，则__________.14．已知空间中非零向量，且，，，则_________15．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________.16．已知，，且，则的取值范围是___________.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．18．在中，设角所对的边长分别为，且．(1)求角；(2)若的面积，，求的值．19．已知(1)当k为何值时，与共线？(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．20．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.(1)若，求的长；(2)若，求的周长.21．在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．(1)证明：点O为三角形的外心；(2)求的取值范围．22．已知的内角的对边分别为，满足，(1)求；(2)是线段边上的点，若，求的面积.第六章平面向量及其应用单元检测B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角的对边分别为．若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据正弦定理角化边，即可求得答案.【详解】由题意在中，由正弦定理得，为外接圆半径，故由,得，故选：B.2．下列命题中正确的个数是（

）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，对于B，向量，则四点共线或，故B错误，对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，故选：A3．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（

）．A．7 B． C． D．1【答案】D【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.【详解】根据三力平衡得，即，两边同平方得，即即,解得故选：D.4．已知向量，若，则实数m的值是（

）A．3或 B．或1 C．3或1 D．或【答案】C【分析】根据向量坐标化的加减运算法则得到，再利用向量坐标化后的点乘公式得到关于的方程，解出即可.【详解】，，则，即解得或3.故选：C.5．在中，，则中最小的边长为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】易得，再根据正弦定理计算最小角的对边即可.【详解】由题意，，故中最小的边长为.由正弦定理，故.故选：B6．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理可得，进而即得.【详解】在，，，，又，由正弦定理得：，，树的高度为(m).故选：A．7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意,即，所以故选：A.8．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里，a，b，c分别为的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知中，，则该三角形内切圆半径（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由及结合余弦定理可求得，用海伦公式求，由求.【详解】，，又，，，，，，，又，，，故选：D.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使【答案】AB【分析】根据基底的定义逐项判断即可.【详解】解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.10．在单位圆中，是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（

）A．B．在上的投影向量可能为C．D．若，则【答案】BC【分析】对选项A，D，根据平面向量的加减运算即可判断A，D错误，对选项B，根据当所成角为时，在上的投影向量为，即可判断B正确，对选项C，根据平面向量数量积概念即可判断C正确.【详解】对选项A，，故A错误.对选项B，在上的投影向量为，若，则，即所成角为.所以当所成角为时，在上的投影向量为，故B正确.对选项C，，因为是单位圆上的动点（可重合），所以，所以，故C正确.对选项D，因为，所以，所以，故D错误.故选：BC11．如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（

）A．点在线段上时，为定值B．点在线段上时，为定值C．的最大值为D．使的点轨迹长度为【答案】AC【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点，则，，，，当点在线段上时，，，故A正确；当点在线段上时，不是定值，不为定值，故B错误；由得，则，，所以，故当时，即当点与点重合时，取得最大值，故C正确；由得，直线交轴于点，交轴于点，所以，使的点轨迹为线段，且，故D错误.故选：AC.12．如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（

）A．B．C．面积的最大值为D．四边形面积的最大值为【答案】ACD【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可；B选项：由题意得的范围，即可得到的范围；C选项：根据几何的知识得到当时，最大，利用三角形面积公式求面积即可；D选项：将四边形的面积转化成，得到面积，再利用辅助角公式和三角函数的性质求最值即可.【详解】在中，由余弦定理得，A正确；，则，所以，B错误；易得当时，取最大值，C正确；，其中，D正确．故选：ACD.三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量，且，则__________.【答案】【分析】根据向量平行列出方程，求出m的值.【详解】由题意得：，解得：.故答案为：-114．已知空间中非零向量，且，，，则_________【答案】【分析】将平方，结合数量积以及模的计算，即可求得答案.【详解】由题意可得，故，故答案为：.15．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________.【答案】7【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,故答案为：716．已知，，且，则的取值范围是___________.【答案】【分析】由题意，均在圆心为原点，半径为2的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解即可.【详解】由题意，，故均在圆心为原点，半径为2的圆上.①当为直径时，，又为在直径上的投影，故，此时；②当不为直径时，，设，数形结合可得在上的投影，故，即，故当，时有最小值，此时.综上可得的取值范围是.故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.【详解】（1）由题知，，所以，所以.（2）由题知，，，，所以，，所以，所以，所以，所以，因为，向量与向量的夹角为.18．在中，设角所对的边长分别为，且．(1)求角；(2)若的面积，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可；（2）根据题意与面积公式求得，，结合余弦定理得，由正弦定理得，即可解决.【详解】（1）解法一：因为，由正弦定理得：所以因为，所以，即因为，所以．解法二：因为，由余弦定理得：整理得，即又由余弦定理得，所以，即因为，所以．（2）由（1）得，因为的面积，所以，所以，由于，所以，又由余弦定理：，所以．所以，所以由正弦定理得，所以．19．已知(1)当k为何值时，与共线？(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先求出与的坐标，然后利用两向量共线列方程可求出的值；（2）由题意可得和共线，列方程可求得m的值．【详解】（1）因为所以，，因为与共线，所以，解得；（2）因为所以，，因为A，B，C三点共线，所以，解得.20．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.(1)若，求的长；(2)若，求的周长.【答案】(1)4(2)【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；（2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.【详解】（1）解：在中，，且，所以.因为，，所以.在，由正弦定理可得，所以.（2）因为，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因为，所以.在中，由余弦定理可得所以的周长为.21．在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．(1)证明：点O为三角形的外心；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）已知，根据向量的运算可得，得证点O为三角形的外心.（2）延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径，可得，，利用向量的加减和数量积的运算求得，因为，所以，求出二次函数的值域即可.【详解】（1）证明：由可得：，所以，即，同理：，所以，所以点O为三角形的外心.（2）由于O是三角形外接圆的圆心，故O是三边中垂线的交点．如图所示，延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径．所以，，．所以，