专题27 函数与圆问题-备战2022年中考数学母题题源解密（原卷版）

专题27函数与圆问题考向1二次函数与圆问题【母题来源】2021年中考贵州省黔西南卷【母题题文】如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．（1）填空：m＝1，n＝3，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x+1．（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x+1，可得m＝1，n＝3，∴A（0，1），B（3，7），再将A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2+bx+c得，c=118+3b+c=7，可得c=1∴y＝2x2﹣4x+1，故答案为：1，3，y＝2x2﹣4x+1；（2）由题意可得y＝2x+1﹣a，联立y=2x+1−∴2x2﹣6x+a＝0，∵直线l与抛物线C仍有公共点∴Δ＝36﹣8a≥0，∴a≤92，∴0＜a（3）存在以AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下：设Q（t，s），∴M（t2，s+12），P（t2∵AQ2＝t2+（s﹣1）2＝（s+1）2，∴t2＝4s，∵s＝2t2﹣4t+1，∴t2＝4（2t2﹣4t+1），∴t＝2或t=2∴P（1，0）或P（17∴以AQ为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为P（1，0）或P（17【试题解析】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x+1，可求m、n的值，再将A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2+bx+c，可求函数解析式；（2）由题意可得y＝2x+1﹣a，联立y=2x+1−ay=2（3）设Q（t，s），则M（t2，s+12），P（t2，0），半径r=s+12，再由AQ2＝t2【命题意图】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．【得分要点】直线与圆位置关系的解题策略：（1）利用圆的切线性质“圆心到直线的距离等于半径”解决问题；（2）联立直线方程和圆的方程构成方程组，通过该方程组的解来解决问题；（3）利用勾股定理或勾股定理逆定理，建立未知量的方程解决问题；（4）构造相似三角形，列比例式解决问题．1．（2021•湖北荆州模拟）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由；（3）连接CE，求sin∠AEC的值．2．（2021•山东青岛二模）如图，已知抛物线y1＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，54），直线y2（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，以点P为圆心，PC为半径画圆，求证：x轴是⊙P的切线；（3）我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．②k＝2时，求使M＞y2的x的取值范围；②当k＝﹣1时，求使M＝5的x的值．3．（2021•浙江省湖州长兴县模拟）在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求圆心C的坐标与抛物线的解析式；（2