专题19 对角互补模型-备战2022年中考数学母题题源解密（原卷版）

专题19对角互补模型考向相似形对角互补模型【母题来源】2021年中考北京朝阳卷【母题题文】如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且CMAC＜3k的式子表示）．【答案】（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，OD＝OA．sin∠A＝OA．sin45°=2同理：OE=2∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM+∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON+∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，∠MDO∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．（2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD=22OA，OE∴ODOE由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴OMON∴ON＝k•OM．（3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB=2∴OB=2•kk+1a，OA=∴OE=22OB∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN=OEtan∠N=∵CE＝OD=22OA∴NC＝CE+EN=1k+1a+由（2）知：OMON∴∠M＝∠N，∵AMPN∴OMON∴∠P＝∠A＝45°，∠AMO＝∠N＝30°，∴PE＝OE=k∴PN＝PE+EN=kk+1a+设AD＝OD＝x，∴DM=3由AD+DM＝AC+CM得，（3+1∴x=3−12（AC+CM）＜3−1∴k＞1∴NCPN∴NCPC【试题解析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；（3）解Rt△EON和斜△AOM．【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【命题方向】一般设置为解答题，设置为压轴题.【得分要点】如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，则CE＝CD·tan方法：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N易证△MCD∽△NCE，∴，即CE＝CD·tan1．（2021•浙江稠州二模）特例感知（1）如图1，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证BE＝AF；探索发现（2）如图2，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；类比迁移（3）如图3，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．2．（2021•安徽模拟）（1）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求证：DF•DA＝DB•DE；②求EF的最小值．3．（2021•四川成都模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为线段AD上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE，交射线CD于点F，垂足为P．（1）求证：△CED∽△BCF；（2）当F为CD的中点时，求tan∠BAP的值；（3）若△ABP为等腰三角形时，直接写出DE的长．4．（2021•山东济宁三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt