四川省成都市青白江区南开为明学校2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

PAGE19-四川省成都市青白江区南开为明学校2024-2025学年高二数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共12题60分）1.若复数满意（是虚数单位），则的虚部为()A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求得，由此求得的虚部.【详解】依题意，所以的虚部为.故答案为：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的虚部，属于基础题.2.已知集合，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由，解得，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场竞赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A.甲所得分数的极差为22B.乙所得分数的中位数为18C.两人所得分数的众数相等D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】依据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了依据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.若实数满意约束条件，则的最大值为（）A.-4 B.0 C.4 D.8【答案】D【解析】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采纳数形结合求出目标函数的最大值．详解：作出不等式组所对应的平面区域（阴影部分），令，则，表示经过原点的直线，由有，当此直线的纵截距有最大值时，有最大值，由图知，当直线经过A点时，纵截距有最大值，由有，即，此时，选D.点睛：本题主要考查了简洁的线性规划，考查了数形结合的解题方法，属于中档题．5.已知等差数列的前项和为，且，，则（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】分析：利用等差数列前项和公式及等差数列的性质，求出，从而求出的值．详解：由有，，由等差数列的性质有，所以，又，所以，选A.点睛：本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差数列的基本性质，属于基础题．在等差数列中，若，且，则．6.已知曲线(为参数).若直线与曲线相交于不同的两点，则的值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】分析：消参求出曲线C的一般方程：，再求出圆心到直线的距离，则弦长．详解：依据，求出曲线C的一般方程为，圆心到直线的距离，所以弦长，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为一般方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．7.已知函数则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【详解】解：，（1），，故选．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．8.中，角，，的对边分别为．若向量，，且，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角的方程，得解．【详解】由得，，由正弦定理得，，化为，即，由于，，又，故选．【点睛】本题主要考查平面对量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.9.某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程(万公里)与修理保养费用(万元)的五组数据，并依据这五组数据求得与的线性回来方程为.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示.行驶里程(单位:万公里)12458修理保养费用(单位:万元)0500.902.32.7则被污损的数据为（）A.3.20 B.3.6 C.3.76 D.3.84【答案】B【解析】分析：分别求出行驶里程和修理保养费用的平均值，线性回来方程经过样本的中心点，这样求出被污损的数据．详解：设被污损的数据为，由已知有，而线性回来方程经过点，代入有，解得，选B.点睛：本题主要考查了线性回来方程恒过样本的中心点，属于简洁题．回来直线方程肯定经过样本的中心点，依据此性质可以解决有关的计算问题．10.已知函数，则“”是“函数在处取得微小值”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出原函数的导函数，分析函数在处取得微小值时的的范围，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：若在取得微小值，．令，得或．①当时，．故在上单调递增，无最小值；②当时，，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．故在处取得微小值．综上，函数在处取得微小值．“”是“函数在处取得微小值”的充分不必要条件．故选．【点睛】本题考查利用导数探讨函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．11.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的改变状况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得起先①②③④⑤故选．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由有，直线与函数的图象有4个不同的交点．数形结合求出的范围．详解：由有，明显，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合．，综上，，选A.点睛：本题主要考查函数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题．画出这两个函数的图象是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，共4题20分）13.已知曲线：（为参数）．若点在曲线上运动，点为直线：上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先表示出曲线C上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.【详解】表示曲线为参数）上随意点到直线的距离，当时，．故答案为【点睛】本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算实力和转换实力，属于基础题型．14.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，．则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】令，依据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系推断出的单调性，依据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集．【详解】令，则，所以在上为单调递增，且，所以，解得．由是定义在上的奇函数得，所以在为偶函数，且所以不等式的解集为，故答案为．【点睛】本题主要考查不等式的求解，依据条件构造函数，求函数的导数，利用导数探讨函数的单调性是解决本题的关键．15.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.【答案】6【解析】试题分析：因为是等差数列，所以，即，又，所以，所以．故答案为6．【考点】等差数列基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以依据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须留意整体代换思想及方程思想的应用.16.已知数列中，，，则______.【答案】【解析】【分析】依据递推关系式得到数列的周期性，由此求得.详解】依题意，，则.所以，，，.所以数列是周期为的周期数列.所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.三、解答题（共6题，共70分）17.已知函数，其导函数的图象关于轴对称，．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依据导函数的图象关于轴对称求出m的值，再依据求出n的值；（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（Ⅰ）.函数的图象关于轴对称，.又，解得.，.（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围.由（Ⅰ），得..令，解得.当或时，，在，上分别单调递增.又当时，，在上单调递减.的极大值为，微小值为.实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．18.在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用正弦定理边弦的关系，将转化为，结合已知条件，求得b值；依据cosB的值，求sin2B,cos2B的值，结合余弦两角和公式，求的值．【详解】解：（1）由，得，即．，．由余弦定理，得．，解得．（2），，则，．．【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，及两角差余弦公式求值，属于中等题.19.在中，内角的对边分别为，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得的大小.（Ⅱ）利用三角形的面积求得，结合余弦定理列方程，化简求得.【详解】（Ⅰ）由，由正弦定理：有：，，，，，，而，.（Ⅱ）由即：（1）在中，由余弦定理：即：（2）（1）代入（2）得：【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.20.已知数列满意：.（Ⅰ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用配凑法证得数列是等比数列，进而求得数列的通项公式.（Ⅱ）求得的通项公式，利用裂项求和法求得.【详解】（Ⅰ）由已知，数列满意：.是以为首项，2为公比的等比数列.即：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.【点睛】本小题主要考查递推关系求通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.21.已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有唯一零点，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）依据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）问题等价于关于方程有唯一的解时，求的值．令，求得的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得的值；【详解】解：（1）当时，，所以，所以．又，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值．令，则．令，则，在上单调递减．又，当时，，即，在上单调递增；当时，，即，在上单调递减．的极大值为．当时，；当时，．又，当方程有唯一的解时，．综上，当函数有唯一零点时，的值为1．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算实力，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极