河南省鹤壁市淇滨高级中学2024-2025学年高一数学上学期第四次周考试题

PAGE1-河南省鹤壁市淇滨高级中学2024-2025学年高一数学上学期第四次周考试题分值150分；考试时间：120分钟；命题人：高一数学组留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每题5分共60分）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．函数的定义域为（）A． B． C．，且 D．，且4．下列各式正确的是（）A． B．C． D．5．下列函数中，随x（x>0）的增大，增长速度最快的是（）A．y=1，x∈Z B．y=x C．y=2x D．y=6．设，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．7．已知函数，则的值是（）A． B． C． D．8．若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（）A．平行 B．异面C．异面或相交 D．相交、平行或异面9．下列函数既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．10．下列两个函数相等的是()A．y＝与y＝x B．y＝与y＝|x|C．y＝|x|与y＝ D．y＝与y＝11．以下函数，在区间内存在零点的是A． B．C． D．12．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是()A．0 B．3a2－1C．6a2－2 D．6a2第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（每题5分共20分）13．集合的非空子集个数是_____．14．_____；15．已知一个球的表面积和体积相等，则它的半径为．16．已知幂函数的图象过点，则函数的值为__________．三、解答题17（10）．计算以下式子的值:（1）（2）（3）18（12分）．已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值集合．19（12）．已知四棱锥中平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，分别是的中点．（1）求证：//平面；（2）求截面与底面所成二面角的大小．20（12分）．如图，已知平面，为矩形，分别为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：面平面；（3）求点到平面的距离.21(12分)．如图，直三棱柱中，，是棱的中点，.（1）证明：；（2）求二面角的大小.22（12分）．定义区间的长度均为,其中(1)若函数的定义域为值域为写出区间长度的最大值；(2)若关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6,求实数的取值范围；参考答案1．D【分析】依据并集的定义求解.【详解】因为集合，，所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2．A【解析】解A=(0,1)B=(0,),3．D【分析】可看出，要使得有意义，需满意，然后解出的范围即可．【详解】解：要使有意义，则，解得且，的定义域为，且．故选：．4．D【分析】根式化简及零指数意义.【详解】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，，当时无意义，故B不正确；对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；对于D，，故D正确.故选：D.【点睛】根式化简留意根指数的奇偶性.5．D【解析】试题分析：指数函数模型增长速度最快，并且e＞2，因而y＝ex增长速度最快.考点：函数图像.6．A【分析】求出的范围即得的大小关系.【详解】由题得，,，，所以.故选A【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的性质，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.7．C【分析】首先计算出，再把的值带入计算即可．【详解】依据题意得，所以，所以选择C【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题．8．C【分析】借助正方体模型，找出三条直线a，b，c，符合题意，推断b，c的位置关系.【详解】解：考虑正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，直线AB看做直线a，直线B'C'看做直线b，即直线a和直线b是异面直线，若直线CD看做直线c，可得a，c平行，则b，c异面；若直线A'B'看做直线c，可得a，c平行，则b，c相交.若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面冲突，故b，c不平行.故选：C.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，考查数形结合思想和分类探讨思想，以及推理实力，属于基础题.9．D【分析】选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行推断，这两个方面可以借助于图象，也可以干脆利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解.【详解】选项A中，设函数，，函数是偶函数，不符合题意；选项B中，设函数，，则函数为非奇非偶函数，选项B不符合题意；选项C中，函数的定义域为，则为非奇非偶函数，选项C不符合题意；选项D中，是单调递增且满意，则是奇函数，符合条件.故选D.【点睛】本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，留意它们的判定方法，属基础题.10．B【解析】试题分析：对于选项A,y＝＝|x|，它与y＝x的对应关系不同，对于选项D,y＝＝|x|与y＝＝x(x≠0)的定义域不同．对于选项C,y＝＝x，它与y＝|x|的对应关系不同．这样解除后可知，选B.考点：函数的概念点评：同一函数的定义就是定义域和对应法则都相同的时候，属于基础题．11．C【解析】对于A，不确定；对于B，单调增，且，所以无零点；对于C，,在区间内必有零点；对于D，单调增，且.所以必无零点.故选C.12．A【解析】故选A.13．3【分析】干脆写出集合的非空子集即可.【详解】集合的非空子集有：，故答案为：3.14．【分析】依据根式的运算法则，干脆计算，即可得出结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题主要考查根式的化简求值，属于基础题型.15．3【解析】试题分析：设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2，解得r=3故答案为：3．考点：球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．16．【解析】分析：先依据幂函数定义求出幂函数表达式，然后计算即可.详解：设幂函数为：因为幂函数的图象过点，故，所以=，所以=,故答案为点睛：考查幂函数的定义和简洁计算，属于基础题.17．（1）2；（2）5；（3）；【分析】应用对数、指数的运算性质求值即可.【详解】（1），（2），（3）【点睛】本题考查了指对数的运算，应用指对数间的关系，及指对数的运算性质求值，属于简洁题.18．（1）；（2）．【分析】（1）求出集合A和B，依据补集的定义求出．（2）由条件可得，依据子集关系可得或．【详解】（1），当时，，则且，．（2），．因为方程的两根为1和a，当时，，符合，当时，再由，可得，实数a的取值集合为．【点睛】本题主要考查了集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的交集、并集、补集的定义和求法，属于基础题．19．（1）证明见解析；（2）．【分析】试题分析：本题以四棱锥为背景，第（1）小题设计为证明线面平行；第（2）小题求二面角的大小，解决方法多样，既可以用综合法，也可以用向量法求解．用向量法解答此题时，则先建立以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，第（1）小题只需证明直线MQ的方向向量与平面PCB的法向量的数量积为零；第（2）小题先求平面MCN的法向量，平面ABCD的法向量，然后代入向量公式即得答案．用综合法解答此题时，第（1）小题，取AP的中点E，则四边形DCNE是平行四边形，可得MQ//从而//平面．第（2）小题，由于截面与底面只有一个公共点C，所以须要作协助线或进行命题转化，留意到平面底面所以截面与面所成的二面角即为面与面所成的二面角，从而利用三垂线定理作出二面角，解三角形可求得二面角的大小．试题解析：方法（一）：(1)以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，由，分别是的中点，可得：,∴，设平面的的法向量为，则有：令，则，∴，又平面∴//平面（2）设平面的的法向量为，又则有令，则，又为平面的法向量，∴，又截面与底面所成二面角为锐二面角，∴截面与底面所成二面角的大小为．方法（二）：

（1）//

又平面，平面,∴//平面（2）易证：平面底面所以截面与面所成的二面角即为面与面所成的二面角，因为平面所以平面，由（1）可知四点共面所以为截面与平面所成的二面角的平面角．所以，所以

考点：线面平行，二面角．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】(1)利用线面平行的判定定理，找寻面PAD内的一条直线平行于MN，即可证出；（2）先证出一条直线垂直于面PCD，依据第一问结论知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证出；（3）依据等积法，即可求出点到平面的距离．【详解】证明：（1）取中点为，连接分别为的中点，是平行四边形，平面，平面，∴平面证明：（2）因为平面，所以，而,面PAD，而面，所以,由,为的终点，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，∴平面平面解：（3），，，则点到平面的距离为（也可构造三棱锥）【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算实力．21．（1）见解析；（2）【详解】试题分析：（I）易证DC1⊥BD,再依据勾股定理证DC1⊥DC,从而可证得DC1⊥平面DCB,得到DC1⊥BC.(II)求二面角关键是作出二面角的平面角，取A1B1的中点为M，连结C1M、DM,证明∠C1DM是A1−BD−C1的平面角即可.（Ⅰ）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D是AA1的中点，∴DC=DC1又AC=AA1，∴DC12+DC2=CC12，∴DC1⊥DC又DC1⊥BD，且DC1∩DC=D，∴DC1⊥平面DCB．∴DC1⊥BC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DC1⊥BC，又CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1∴BC⊥平面CDC1，∵B1C1∥BC∴B1C1⊥平面CDC1∴B1C1⊥A1C1，△A1C1B1为等腰直角三角形取A1B1的中点为M，连结C1M、DM∵直棱柱的底面A1B1C1⊥侧面AB1，C1M⊥A1B1∴C1M⊥平面AB1，C1M⊥BD．由（Ⅰ）知，DC1⊥平面DCB，∴DC1⊥BD又C1M∩DC1=C1，∴BD⊥平面C1MD，MD⊥BD∴∠C1DM是A1−BD−C1的平面角．在Rt△C1MD中，C1M=A1C1，，∴sin∠C1DM==，∴∠C1DM=30o∴二面角A1−BD−C1的大小为30o．考点：本小题主要考查了线线，线面，面面之间的垂直与平行关系，以及二面角等学问.点评：驾驭线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质是求解空间的角与距离的关键.求角的步骤为：一作，二证，三指，四求.22．（1）；（2）；（3）定值为，证明见解析.【分析】（1）令求得函数的零点，令，求得定义域区间长度最大时的值.（2）先求得不等式的解集，设不等式的解集为，依据的长度为列不等式组，由此求得的取值范围.（3）将原不等式转化为分式不等式的形式，结合高次不等式的解法，求得不等式的解集，进而求得不等式解集构成的各区间的长度和为定值.【详解】（1）令，解得，此时为函数的最小值.令，解得，.故定义域区间长度最大时，故区间的长度为.（2）由得，解得，记.设不等式的解集为，不等式组的解集为.设不等式等价于，所以，，由于不等式组的解集的个区间长度和为，所以不等式组，当是恒成立.当时，不等式恒成立，得.当时，不等式恒成立，分别常数得恒成立.当