重难点突破-高二数学上册常考题（人教A版2019选修一）01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题）含答案

董睢京突破--离二政学上册常考题专练，人数A版2019选哮一）专题

01通苞空同向量解决五体几何中的角度间勉，高考靠题专练）

题回。直线与平面所成的角

1.（2020•海南）如图，四棱锥P-A88的底面为正方形，PD_L底面A8CD.设平面皿）与平面P8C的

交线为/.

（1）证明：/!.平面PDC；

（2）已知叨=AO=1,Q为/上的点，QB=近,求尸3与平面QC。所成角的正弦值.

2.(2020•山东)如图，四棱锥P-45co的底面为正方形，PQ_L底面ABCD.设平面皿＞与平面PBC的

交线为/.

(1)证明：/_1_平面PDC;

(2)已知PD=AZ)=1,。为/上的点，求只3与平面QC£)所成角的正弦值的最大值.

3.(2020•天津)如图，在三棱柱ABC-AAG中，CG_L平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,CC,=3,

点、D,£分别在棱伍和棱CG上，且4)=1,CE=2,M为棱4月的中点.

(I)求证：C.MLB.D-,

(II)求二面角的正弦值；

(III)求直线A?与平面力8避所成角的正弦值.

4.(2021•浙江)如图，在四棱锥P-AB8中，底面/WCD是平行四边形，ZABC=120°,AB=\,BC=4,

PA=y/]5,M,N分别为3C,PC的中点，PDA.DC,PMA.MD.

(I)证明：ABLPM；

(11)求直线AV与平面PZW所成角的正弦值.

5.(2018・浙江)如图，已知多面体48(7-486,8,C0均垂直于平面ABC,NABC=120。，A,A=4,

GC=1,AB=BC=B、B=2.

(I)证明：A与，平面48c;

(ID求直线AG与平面所成的角的正弦值.

题国自二面角的平面角及求法

6.（2021•新高考n）在四棱锥。—A8c。中，底面他CD是正方形，若4）=2,QD=QA=旧,QC=3.

（I）求证：平面QAD_L平面438；

（II）求二面角8-QD-A的平面角的余弦值.

7.(2020•新课标I)如图，方为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，/正为底面直径，AE=AD.AABC

是底面的内接正三角形，P为DO上一点,PO=—DO.

6

(1)证明：A4_L平面P3C；

(2)求二面角8-PC-E的余弦值.

D

8.(2019•新课标H)如图，长方体ABC。-ABCQ的底面ABC。是正方形，点E在棱的上，BELEC,.

(1)证明：平面EBC；

(2)若AE=AE，求二面角B-EC-G的正弦值.

9.（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体ABCO-AAG〃中，E,F分别为棱8C,8的中点.

（1）求证：£）尸//平面AEG；

（2）求直线AC与平面AEG所成角的正弦值；

（3）求二面角A-AG-E的正弦值.

10.（2021•北京）己知正方体A88-ABC〃，点E为A"中点，直线用弓交平面C"E于点F.

（1）求证：点厂为AG中点；

（2）若点M为棱A,8,上一点，且二面角CF-E的余弦值为好，求4竺.

3

II.(2021•乙卷)如图，四棱锥P-45CZ)的底面是矩形，P£)_L底面438,PD=DC=\,“为BC中点,

且依_LAW.

(1)求8C；

(2)求二面角A-BM-3的正弦值.

12.(2021•甲卷)已知直三棱柱ABC-A耳G中，侧面的用3为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC

和CG的中点，。为棱A与上的点，BF^AB」

(1)证明：BFJ.DE；

(2)当4。为何值时，面BBCC与面。庄所成的二面角的正弦值最小？

13.(2019•新课标I)如图，直四棱柱ABC£>-A瓦G2的底面是菱形，例=4,AB=2,ZBAD=60°,

E,M,N分别是8C,BB、,A力的中点.

(1)证明：MN//平面C]DE；

(2)求二面角A-M&-N的正弦值.

14.(2021•新高考I)如图，在三棱锥A-3co中，平面4犯_L平面38,AB^AD,O为3。的中点.

(1)证明：OA1.CD-.

(2)若AOC£)是边长为1的等边三角形，点E在棱仞上，DE=2E4,且二面角£-8。一£)的大小为45。,

求三棱锥A-BCD的体积.

15.（2020•江苏）在三棱锥A—88中，已知C8=C£>=逐，皮）=2,O为次）的中点，AO_L平面88,

AO=2,E为AC中点.

（1）求直线43与所成角的余弦值；

（2）若点尸在8c上，满足设二面角尸一£>E—C的大小为6,求sin。的值.

16.(2020•新课标HI)如图，在长方体A8CD-ABC。中，点E，F分别在棱。。，网上，且2DE=ER,

BF=2FB、.

(1)证明：点G在平面小厂内；

(2)若A8=2,AD=\,e=3,求二面角A-E/-A的正弦值.

17.（2019•天津）如图，AE_L平面的8,CF//AE,AD//BC,ADYAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求证：8尸//平面ADE;

(II)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(III)若二面角-尸的余弦值为工，求线段C户的长.

3

18.（2019•新课标HI）图1是由矩形4）£3、RtAABC和菱形3FGC组成的一个平面图形，其中AB=1,

BE=BF=2,Z/«C=60°.将其沿AB,8C折起使得郎与跖重合，连结OG,如图2.

图1图2

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面A8C_L平面8CGE；

（2）求图2中的二面角B-CG—A的大小.

19.(2018•新课标III)如图，边长为2的正方形A8CD所在的平面与半圆弧8所在平面垂直，M是8上

异于C,。的点.

(1)证明：平面4WE>_L平面8WC；

(2)当三棱锥M-体积最大时.，求面M钻与面所成二面角的正弦值.

20.(2018•新课标I【)如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2y[2,PA=PB=PC=AC=4,。为AC的

中点.

(1)证明：PO_L平面A8C；

(2)若点M在棱上，且二面角M-P4-C为30。，求PC与平面K4M所成角的正弦值.

21.（2019•北京）如图,在四棱锥尸一"8中，B4_L平面ABCZ）,AD1.CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,

pp1

BC=3.E为尸。的中点，点F在PC上，且——=-.

PC3

(I)求证：C£>_L平面BM>；

(II)求二面角的余弦值;

(III)设点G在心上，且竺=2.判断直线AG是否在平面用内，说明理由.

PB3

专题01通过变间向量解决五体几百中的角度

同题(离专熏题专练)

题因。直线与平面所成的角

1.(2020•海南)如图，四棱锥P-A8co的底面为正方形，PO_L底面A8CD.设平面K4D与平面P8C的

交线为/.

(1)证明：/_!_平面PDC；

(2)已知PD=A£>=1,Q为/上的点，QB=&,求P8与平面QC£>所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：过P在平面R4Q内作直线〃/4),

由AZV/BC,可得"/BC,即/为平面F4Z)和平面PBC的交线,

PZ)J_平面BCu平面:.PD±BC,

又BC_LCD,CD'、|PO=。，.♦.BC，平面PO),

1//BC,；」上平面PCD；

(2)解：如图，以。为坐标原点，直线ZM,DC,OP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系

D-xyz,

PD=AD=\,Q为/上的点，QB=6,

PB=y/3,QP=\,

贝lj£)(o,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),B(l,1,0),作PQ//AZ),则尸。为平面

与平面P8C的交线为心因为。8=夜，AQAB是等腰直角三角形，所以Q(l,0,1),

则0,1),PB=(1,1,-1),DC=(0,1,0),

设平面QC。的法向量为“=(“，b,c),

n-DC=0仍=0

则(，,・《，取c=l,可得z〃=(—1,0,1),

nDQ=0[a+c=0

n・PB-1-1瓜

/.cos<〃，PnBD>=------=-=_==——,

InilFBI百•&3

二尸8与平面QC。所成角的正弦值为弓.

2.(2020•山东)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PZ)_L底面A8CD.设平面皿>与平面PBC的

交线为/.

(1)证明：/_L平面PDC；

(2)已知PD=4)=1,Q为/上的点，求PB与平面所成角的正弦值的最大值.

【解答】解：(1)证明：过P在平面以。内作直线//MD,

由AD〃3C,可得1//BC,即/为平面皿＞和平面PBC的交线，

PDJ_平面488,8Cu平面A3CD,.\PD1BC,

又BC1CD,CZT'PD=。，.•.BC，平面PCD,

〃/8C,平面PCD；

(2)如图，以。为坐标原点，直线ZM,DC,DP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,

则。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),3(1,1,0),

设。(加，0,1),DQ=(m,0,1),PB=(1,I,-1),DC=(0,1,0),

设平面QCO的法向量为〃=(a,b,c),

niIn-DC=0/=0—r/口,八

则《,/.<，取a=—1,可得〃=(—1,0,m)9

n-DQ=0+c=0

PB>"-l-m

.,.COS<«，

73-Vl+w2

11+w|乖>1+2m+m2

PB与平面QCD所成角的正弦值为

>/3-71+rrr3YX+m1

=堂.、又二匹，坐・\丘=坐，当且仅当机=1取等号，

3V1+w23V23

，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为乎.

3.(2020•天津)如图，在三棱柱A8C-AqG中，CGJ•平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,CC,=3,

点O,E分别在棱例和棱CC上，且AD=1,CE=2,例为棱儿用的中点.

(I)求证：C.M1B.D；

(II)求二面角3-耳E-O的正弦值；

(III)求直线4?与平面。SE所成角的正弦值.

【解答】解：以C为原点，C4,CB,CG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图

则C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,2,0),0(0,0,3),

4(2,0,3),男(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),例。，I,3),

(I)证明：依题意，CtM=(1,1,0),B、D=(2,-2,-2),

GM•80=2-2+0=0,1B.D；

(II)依题意，CA=(2,0,0)是平面84Et的一个法向量,

EB、=(0,2,1),ED=(2,0,-1),

设"=(x,y,z)为平面。gE的法向量，

则卜3=0,即py+z=o,不妨设x=],则”=(1,—1,2),

n-ED=0[2x-z=Q

.・.cos<CA,…金。监

\CA\-\n\6

/.sin<C4,n>=

.•.二面角B-8E—D的正弦值我；

6

(III)依题意，AB=(-2,2,0),

由(II)知，”=(1,-1,2)为平面。8乃的一个法向量,

―…—.〃=_@,

\AB\-\n\3

.••直线,与平面。与E所成角的正弦值为年

4.(2021•浙江)如图，在四棱锥尸中，底面ABCD是平行四边形，ZABC=U0°,AB=\,BC=4,

PA=y/15,M,N分别为BC,PC的中点，PDLDC,PMVMD.

(I)证明：AB±PM；

(II)求直线AN与平面PDW所成角的正弦值.

【解答】(I)证明：在平行四边形他CD中，由已知可得，CD=AB=\,

CM=-BC=2,ZDCM=60°,

2

由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDxCMxcos60°

=l+4-2xlx2x—=3,

2

贝IJCC>2+£)M2=1+3=4=CM2,EPCD1DM,

又PD上DC,PD[yDM=D,，Cr>_L平面P£)M,

而PMu平面PDW,：.CDLPM,

CDIIAB,..ABYPM-,

(II)解：由(I)知，C£>_L平面PDM,

又CDu平面ABCD,平面ABCDJ_平面PDM,

且平面ABCDC平面灯泌=DM,

PM±MD,且PMu平面PDM,;.RM_L平面ABCD,

连接AM,则PM_LM4,

在AAfiM中，AB=i,BM=2,ZABM=\20°,

可得AAf=l+4-2xlx2x(-1)=7,

又PA二岳,在RtAPMA中，求得PM=dPA?-MA?=2也，

取AO中点E,连接ME,则ME//CD,可得ME、MD、两两互相垂直，

以M为坐标原点，分别以M£>、ME、MP为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

贝2,0),P(0,0,2啦)，C(G,-l,0),

又N为PC的中煎，：.N吟桓),4V=(孚-|,后)，

平面PDM的一个法向量为〃=(0,1,0),

设直线AN与平面PDM所成角为6,

5

.m.\AN-n\2V15

则milsin0n=|cos<AN,n>|=-----------=—j===——=------.

同.卬区互商6

V44

故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为姮.

z

5.(2018•浙江)如图，已知多面体ABC—48cl,,B、B,C。均垂直于平面ABC,zS4BC=120°,A4=4,

C,C=1>AB=BC=B、B=2.

(I)证明:AQJL平面A/G；

(II)求直线AG与平面A88,所成的角的正弦值.

【解答】（/）证明：4A_L平面ABC,gB_L平面4?C,

/L4,//BB,,

AA=4,BB]=2,AB=2,

：（（）2

.Ag=7W+M-BBt=2V2,

又AB,={AB。+BB：=2叵,A4,2=AB'+AB：,

/.AB】_L44，

同理可得：AB1工B©，

又AR'BQ=耳，

ABiJ_平面A4G.

（〃）解：取AC中点。，过。作平面43c的垂线03,交AG于。,

AB=BC,:.OBVOC,

AB=BC=2,Zft4C=120°,.•.08=1,OA=OC=C,

以。为原点，以OB,OC,8所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:

则4(0,-石，0),8(1,0,0),B,(l,0,2),0(0,6，1),

.­.AB=0,50),BBX=(0,0,2),ACt=(0,2上,1),

设平面4期的法向量为〃=(x,y,z),则""8=°,

小叫=0

.X+°,令y=l可得九=(-6，1,0),

2z=0

_2后回

/.cos<n,AC>=

t|n||ACJ~2xy/13~13

设直线AC】与平面ABB1所成的角为。，则sin6>=(cos<〃,4G>|=-^.

直线AC,与平面ABB,所成的角的正弦值为噜.

题照二面角的平面角及求法

6.(2021•新高考0)在四棱锥Q-ABCZ)中，底面ABC。是正方形，若AT>=2,QD=QA=^5,QC=3.

(I)求证：平面04。_L平面ABC。；

(II)求二面角8-QD-A的平面角的余弦值.

Q

【解答】(I)证明：AQC£>中，CD=AD=2,Q£>=石，QC=3,所以CD?+Q£>?=QC?,所以COLQO；

又C£)_L4),AD^QD=D,AOu平面。4。，QZ)u平面QA£),所以CQ_L平面QA。；

又CDu平面ABC£),所以平面QAZ)J.平面43c3.

(II)解：取AZ)的中点O,在平面AfiCZ)内作Or_LA£),

以OD为y轴，OQ为z轴，建立空间直角坐标系O-孙z,如图所示:

则0(0,0,0),8(2,-1,0),D(0,1,0),2(0,0,2),

因为3,平面A。。，所以平面4)。的一个法向量为a=(1,0,0),

设平面BZ)Q的一个法向量为£=(x,y,z),

由BD=(-2,2,0),。。=(0,-1,2),

得?如。，即「「。

/•OQ=0[-y+2z=0

令z=l,得y=2,x=2,所以力=(2,2,1)；

0aB2+0+02

所以cos<a，H>=____•_____________=_

\a\-\p\lx「4+4+13

所以二面角3-QZ5-A的平面角的余弦值为|.

7.(2020•新课标I)如图，力为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.AAfiC

是底面的内接正三角形，。为。。上一点，PO=—DO.

6

(1)证明：E4,平面PBC；

(2)求二面角3—PC—E的余弦值.

【解答】解：(1)不妨设圆。的半径为1,OA=OB=OC=\,AE=AD=2,AB=BC=AC=&

DO=ND解-OM=&PO=J^DO=显,

62

PA=PB=PC=y]PO2+AO2=—,

2

在AE4c中，PA2+PC2=AC2,故R4_LPC,

同理可得R4_LP8,又PB']PC=P,

故E4_L平面PBC；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，

则有8(半,;,0)((-[，3,0)/(0,0,1),E(0,1,0),

故BC=(-6,0,0),CE=g,；,0),CP=g,-；,1),

设平面PCE的法向量为〃=(x,y,z),

与1

+-=O

22

取X=

21正

--+Z=O

222

所以平面PCE的法向量为n=(1,-73,-76),

由(1)可知Q4_L平面PBC,不妨取平面PBC的法向量为AP=(0,l,

故8.=制=半’即二面角八y―E的余弦值为竽.

8.（2019•新课标n）如图，长方体ABCD-ABCQ的底面ABCD是正方形，点E在棱A4,上，BE1ECt.

（1）证明：5£_L平面EBC；

（2）若AE=AE,求二面角8-EC-C的正弦值.

【解答】证明：（1）长方体458-A4GA中，gqj■平面A%4,

B£工BE,BEA.EC,,

8°。明=G,.•.BEL平面EB©.

解：（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设4E=AE=1,则BE=E4，3E_L平面ESC，/.BE±EBt,

BE2+EB；=2BE2=BB'=4,..BE1=2,

AE2+AB2=l+AB2=BE2=2,=

则E(l,1,1),A(l,1,0),旦(0,1,2),C,(0,0,2),C(0,0,0),

BC±EBt,EB[±面EBC,

故取平面EBC的法向量为相=E4=（-l,0,1）,

设平面EC0的法向量”=(x,y,z),

n-CC.=0fz=0„.ZH-

由J，得《，取x=l,得"=(1,—1,0),

n-CE=0|/+y+z=0

mn1

cos<m,n>=------=——,

\m\\n\2

二面角8-EC-C的正弦值为乎.

9.（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体ABC。—中，E,尸分别为棱5C,8的中点.

（1）求证：QF//平面AE£；

（2）求直线AG与平面AEG所成角的正弦值；

（3）求二面角A-AG-E的正弦值.

【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

则A（0，0,2）,EQ,1,0）,G（2,2,2）,

故AG=(2,2,0),EG=(0,1,2),

设平面aEC的法向量为〃=(x,y,z),

则卜的二°,即/+)'=°,

n-FC,=0[y+2z=0

令z=l,则x=2,y=-2,故〃=(2,-2,l),

又F(1,2,0),R(0,2,2),

所以FR=(-1,1,2),

则"•FR=0,又〃尸仁平面AEC,

故〃F//平面AEG；

(2)解:由(1)可知,AC,=(2,2,2),

|nMC|1

则Icos<n,ACt>|=.=—,

In||AC,|3x2V39

故直线AC与平面AEG所成角的正弦值为Y；

(3)解:由(1)可知,AA,=(0,0,2),

设平面44,6的法向量为"?=3,仇c),

「1m-AA.=0fc=0

则，即，八，

m-A,Ct=01。+方=。

令。=1,则6=-1,故，”=(1,一1,0),

所以|cos<m,ri>|==-土尸=2叵，

\“m\\"nI\3x夜3

故二面角A-AG-E的正弦值为J1-(半产=1.

10.(2021•北京)已知正方体ABCr>—A4G〃，点E为中点，直线4cl交平面QDE于点尸.

(1)求证：点F为B|G中点；

(2)若点M为棱人由上一点，且二面角M—CF-E的余弦值为赵，求4丝.

3Ag

【解答】(1)证明：连结DE,

在正方体43CO-A8CR中，CDUC\D\,CRu平面入8©口,C£)U平面

则CDH平面AB£R,因为平面ABGRC平面CDEF=EF,

所以CD//EF,则EF//CtDt,

故A4〃EF//GR,又因为AR//AG，

所以四边形4线/王为平行四边形，四边形EFCR为平行四边形，

所以AE=B7,ED,=FC,,

而点E为AR的中点，所以AE=ER,

微B、F=FC\,则点F为BQ的中点；

(2)解：以点片为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体边长为2,设点M(m,0,0),且加<0,

则C(0,2,-2),E(-2,1,0),F(0,1,0),

故FE=(-2,0,0),FC=(0,1,-2),FM=,

设平面CMF的法向量为，〃=（a力,1）,

m-FM=0ma-h=0

则,即ar1

m•FC=0b-2=0

所以a=2,b=2,故机=(2,2,1),

mm

设平面CDEF的法向量为〃=(%y,1),

5=。，即-2x=0

则,

n-FC=0j-2=0

所以x=0,y=2,故〃=(0,2,1),

因为二面角M-CF-E的余弦值为亚，

3

m.i..\m'n\5__________y/5

则|cos<m,n>|=------

成I4~厂——号‘

IIMI—+4+1xV2"+1

解得"2=±1,又加<0,

所以zn=-1,

故I

11.（2021•乙卷）如图，四棱锥P—A3CD的底面是矩形，PE），底面A3C£>,PD=DC=1,"为BC中点,

且.

(1)求BC；

(2)求二面角A—的正弦值.

【解答】解：(1)连结班)，因为底面ABCD，且4Wu平面MC。，

则AM_LPZ),又4W_LP3,PB[\PD=P,PB,PDu平面PBD,

所以AA/_L平面尸3D,又BDu平面PBD,则AM_L3£),

所以ZAB£>+Z4OB=90。，又ZA3O+ZM43=90。，

则有NA£)3=NM4B,所以RtADABsRtAABM,

则丝=里，所以J_BC2=I,解得8C=血；

ABBM2

(2)因为D4,DC,。尸两两垂直，故以点。位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,

则A(板,0,0),8(0,1,0),Af(J,1,0),P(0,0,1),

2

所以4尸=(-V2,0,1),AM=(--,1,0),BM=(--,0,0),BP=(-夜,-1,1)，

22

设平面4WP的法向量为〃=(x,y,z),

-\[^.x+z=0

”"二°,即.

则有■

--x+y=o'

n-AM=0

2

令*=&，则y=l,z=2>故"=(&」,2),

设平面3Mp的法向量为机=(p，4，r),

m-BM=0-丁=。

则有,即《

m•BP=0一&p_g+r=0

令4=1,则r=l,故加=(0』,l),

33m

所以|cos<〃,〃z>|=

IHIIWI/x夜14

设二面角A—PM—B的平面角为a,

则sina=《1-cos2a=y/]-cos2<n.m>=

1414

所以二面角A-PM-B的正弦值为叵

12.（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面A4,耳B为正方形，43=BC=2,E,F分别为AC

和CG的中点，D为棱人片上的点，BFLA.B,.

(1)证明：BFA.DE■,

（2）当片£＞为何值时，面8MGC与面。FE所成的二面角的正弦值最小？

,1

【解答】(I)证明：连接AF,

E,尸分别为直三棱柱A8C-A4G的棱AC和CC1的中点，且AB=BC=2,

:.CF=1,BF=5

BF±A,Bt,A8//AA，

:.BFA.AB

22他2222夜

：.AF=yjAB+BF=3+4=3;AC=JAF-CF=>/3-l=2，

AC2=AB2+BC2,即

故以3为原点，BA,BC,8g所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

贝|J4(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),尸(0,2,1),

设Bp=m,则。(机，0,2),

BF=(0,2,1),DE=(l-m,1,-2),

BFDE=O,即即_LZ)E.

(2)解：AB,平面，平面的一个法向量为0=(1,0,0),

由(1)知，DE=(l-m,1,-2),EF=(-1,1,1),

设平面DEF的法向量为"=y,z),则〃S"二°,即(1一机)龙+y-2z=0

/?EF=0-x+y+z=0

令x=3,则丁="?+1,z=2—m,.二〃=(3,m+1,2—机)，

pn3

/.cos<p,n>=------=---/，==/------------------------------

2

\p\'\n\ixj9+(m+1)2+(2—6)2,2加一2机+14/2(m--)+—

.•.当机=」时，面B8CC与面。庄所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，

21

故当用。=3时，面88CC与面0石所成的二面角的正弦值最小.

13.(2019•新课标I)如图，直四棱柱ABCD-A4CQ的底面是菱形，M=4,AB=2,Zfi4D=60。,

E,M,N分别是BC,BB1,A。的中点.

(1)证明：MN"平面QDE；

(2)求二面角A-M4,-N的正弦值.

【解答】(1)证明：如图，过N作M/LAO,则N////A4,,且刖/=；偌，

又MB//4A，MB=g/L4,,.•.四边形NMBH为平行四边形，则

由M///41,，N为AQ中点,得〃为4)中点，而E为3C中点，

：.BE//DH,BE=DH,则四边形BED〃为平行四边形，则BH//DE,

：.NM//DE,

NMU平面QDE,DEu平面GOE,

.♦.例/7//平面6。£：；

(2)解：以。为坐标原点，以垂直于3c的直线为x轴，以。C所在直线为y轴，以。2所在直线为z轴

建立空间直角坐标系，

则N(冬-1,2),M由,1,2),小行，-1,4),

w=(2T0)，2(冬-g⑵,

设平面AMN的一个法向量为机=(x,y,z),

且

=3

2x+—y=0

由

G一,取x=\/5,得机=-1),

x-gy+2z=0

=一

2

又平面肱切的一个法向量为〃=(1,0,0),

m-n_>/3_\/15

?.cos<m,n>=

\m\-\ii\x/55

.•.二面角A-MA.-N的正弦值为Jl-cos?<m,〃>=/(警2=半•

14.(2021•新高考I)如图，在三棱锥A-88中，平面他D_L平面BCD,AB=AD,0为a)的中点.

(1)证明：Q41CD；

(2)若△(%•£)是边长为1的等边三角形，点E在棱4)上，DE=2EA,且二面角E-BC-。的大小为45。，

求三棱锥A-BCD的体积.

C

【解答】解：(1)证明：因为45=4),0为的中点，所以

又平面平面88,平面ABDC平面8a>=BO,AOu平面ABD,

所以4。_L平面BCD,又C3u平面8Q9,

所以AOLCD；

(2)方法一：

取03的中点尸，因为AOCD为正三角形，所以CFLOD,

过。作OA///CF与BC交于点M,则

所以OM,OD,04两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以ON,OD,。4为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

则8(0,-1,0),cg,；,O),0(0,1,0),

17/

设4(0,0,t),则E(0,-,一),

33

因为。4_L平面8c0,故平面8c。的一个法向量为04=(0,0,f),

设平面BCE的法向量为H=(x,y,z),

又BC=(今别即畤争，

A/3,3八

n•BC=0——x+—y=0

所以由,得4H《22

n-BE=042f八

—y+—z=0

,33

令%=百，贝!|y=_],z=—,故〃=(G,T,2),

因为二面角E-8C-。的大小为45。,

所以|cos<。4>|=°川

\n\\OA\

解得r=l,所以。4=1,

又=gxlxlx*=曰,所以5刖=冬

5AXX1

VA-BCD=11ABCD,°=1^y=^-

方法二：

过七作环上班)，交BD于点、F,过户作FG,8c于点G,连结EG,

由题意可知，EF//AO,又A。，平面BCD

所以£F_L平面BCD,又3Cu平面38,

所以EFLBC,又BCLFG,FGQEF=F

所以BCJ■平面EFG,又EFu平面£FG,

所以BCLEG,

则NEG尸为二面角E—8C-O的平面角，即N£G9=45。,

又CD=DO=OB=OC=1,

所以ZBOC=120。，则NOCB=ZOBC=30°,

故48=90。，

所以尸G//CD,

H4OEDFEF2

因为t一=—=——=-

ADODAO3

31?

则AO二一尸=一，£>尸=一

233

所喳弓,则叫?

2

3

23

所以所=G/=—,则AO=—斯=1,

32

XX

所以%BCD=~S印CD.AO=—-GX1X1=.

532o

15.（2020•江苏）在三棱锥A—BCD中，已知CB=C£>=6,BD=2,O为处的中点，4。_1_平面88,

AO=2,E为AC中点.

(1)求直线他与。E所成角的余弦值;

(2)若点尸在BC上，满足=设二面角尸一DE—C的大小为。，求sin。的值.

4

CB=CD,O为加的中点，:.COLBD.

0A所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

BD=2,：.OB=OD=1,则OC=J8C2-O82=后斤=2.

B(1,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0),项-1,0,0),

E是AC的中点，£(0,1,1),

AB=(l,0,-2),DE=(1,1,1).

设直线A3与DE所成角为a,

|A8•。臼|1-2|

则cosa=

\AB\-\DE\~VT+4-71+1+115

即直线AB与。石所成角的余弦值为姮；

15

(2)BF=-BC,BF=-BC,

44

设F(x,y,z),则(x-1,y,z)=(--,-,0),F(-,1,0).

-'4242

/.DE=(1,1,1),DF=(-,-,0),DC=(1,2,0).

42

设平面DEF的一个法向量为m=(占,y,4),

m•DE=玉+y+Z]=0

由，7]，取引=—2,得加=(—2,7,—5)；

mDF=-%+-y=0

4121

设平面DEC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),

n•DE=x,+%+z=0■g

由《2/272,取w=_2,得〃=(-2,1,1).

n-DC=x2+2y2=0

.-.Icos.1=也辿=/二+7=叵

\m\-\n\J4+49+25•<4+1+113

16.(2020•新课标HI)如图，在长方体ABCD-A4CQ中，点E,F分别在棱。R,B4上，且2OE=ER,

BF=2FB-

(1)证明：点C1在平面用内；

(2)若他=2,4)=1,A4,=3,求二面角A-EF-A的正弦值・

【解答】(1)证明：在AA上取点M,使得AM=2AM,连接EM,BM,EC,,FCt,

在长方体ABCD-A4G〃中，有DDJ/AAJ/BB\,S.DD]=AA]=BBt.

又2DE=ED\,AM=2AM,BF=2FB,,:.DE=AM=FBt.

四边形BFAM和四边形EDAM都是平行四边形.

AF//MB,,且=M与，AD//ME,且AD=ME.

又在长方体ABC。—AAGQ中，有AO//4G，且4。=百0，

.•.4G//A/E且4cl=ME,则四边形4GEM为平行四边形，

EC、"MB、,且EC；=MB,,

又AF"MB、,且AF=M4，.-.AF//EQ,且AF=E0,

则四边形AFC,E为平行四边形，

.•.点G在平面的'内；

(2)解：在长方体ABCD-ABCR中，以C1为坐标原点，

分别以GR,GC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

AB=2,AD=\,A4=3,2DE=ED,,BF=2FB、,

"(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A(2,1,0),

贝IJE尸=(-2』,一1),AE=(0,-l,-l),AE=(0,-l,2).

设平面AEF的一个法向量为马=(X1,y,Z|).

则｛，取石=1,得勺=(1』,一1)；

勺•AE=-y]一Z1=0

设平面A.EF的一个法向量为%=U2,j2,z2).

%-EF=-2X+y-z=0

则《222取9=1,得%=(1,4,2).

%•A£*=-y2+2Z2=0

”「”1+4-277

cos<〃],n2>=

I“II•I%I5后一7

设二面角A-EF—A为e,则Sind=

二面角A-EF-A,的正弦值为年.

17.(2019•天津)如图，AE_L平面ABC。，CF//AE,ADIIBC,AD±AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求证：8尸//平面ME;

(ID求直线CE与平面印组所成角的正弦值；

(III)若二面角E—3D—F的余弦值为！，求线段CV的长.

3

【解答】(I)证明：以A为坐标原点，分别以AB,AD,AE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，

可得A(0,0,0),B(l,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

设C尸=/?(/?>0),则尸(1,2,h).

则的=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得8F-A8=0.

又直线BFC平面AD