1-3集合的基本运算解析版-2022-2023学年高一数学新教材题型能力素养练人教A版2019

1.3集合的基本运算一维练基础一维练基础题型一：交集、并集、补集的概念和运算1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【点拨】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以.故选：D2．设集合，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【点拨】解方程求出集合A，B，再求两集合的并集【详解】依题意，，故，故选：C3．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【点拨】先求集合B，然后利用并集和补集定义进行运算即可.【详解】，集合，所以，全集，．故选：B4．若全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【点拨】根据集合的交补集运算求解即可【详解】由题意，，故故选：C5．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【点拨】先根据补集概念求出，再由交集定义即可求出.【详解】因为，所以，所以.故选：B.题型二：利用集合的运算求参数1．已知集合，，若满足，则的值为(

)A．或5 B．或5 C． D．5【答案】C【点拨】根据可知9∈A，则或由此可求出a的值，分类讨论即可确定符合题意的a的取值．【详解】∵，∴9∈A，或，解得或或，当时，，，此时，不符合题意；当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；当时，，，此时，符合题意；综上，故选：C．2．设集合，则满足条件的集合N的个数是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】B【点拨】根据集合并集的性质进行求解即可.【详解】因为，，所以集合N中必含有，因此或或或，故选：B3．设集合，，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【点拨】利用集合的并集运算求解.【详解】因为集合，，且，所以.故选：D.4．设全集，集合，，则的取值为（

）A．-3 B．3 C．-1 D．1【答案】C【点拨】由题意可得：，进而得到且，即得解.【详解】∵，∴且，∴．故选：C.5．已知集合，集合，若，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【点拨】根据求得的取值范围.【详解】，由于，所以.故选：A题型三：Venn图以及集合的应用1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【点拨】依题意图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以.故选：C2．某校学生积极参加社团活动，高一年级共有100名学生，其中参加合唱社团的学生有63名，参加科技社团的学生有75名（并非每个学生必须参加某个社团）.则在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多学生人数是（

）A．63 B．38 C．37 D．25【答案】A【点拨】当参加合唱社团的63名学生都参加了科技社团的时候，同时参加合唱社团和科技社团的学生人数最多.【详解】当参加合唱社团的63名学生都参加了科技社团的时候，同时参加合唱社团和科技社团的学生最多，故答案为A故选：A3．国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（

）A． B． C． D．【答案】A【点拨】根据集合的运算可得答案.【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为.故选：A.4．已知且，若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【点拨】直接利用集合的含义解答.【详解】解：由题得.故选：B5．设A，B是非空集合，定义且.已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【点拨】根据集合新定义，直接计算即可.【详解】由题意，知，，则.故选：C.二维练能力二维练能力1．已知集合，集合，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【点拨】由交集运算求解即可.【详解】故选：B2．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（

）A． B． C． D．【答案】D【点拨】按照“理想配集”的定义分类讨论即可.【详解】，∴集合A和B必然同时含有1，2两个元素，若则或，共有2种，若，则，共有1种，又∵与是不同的“理想配集”，故共有种；故选：D.3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【点拨】求出集合A，根据集合的并集运算，即可求得答案.【详解】由题意得，，故，故选：D4．已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【点拨】利用数轴，根据集合的运算结果即可求解.【详解】因为集合或，，，所以．故选：B．5．已知全集，集合，，则a的所有可能值形成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，即，则，解得，若，则，而，不符合集合中元素的互异性，舍去；若，则，，，符合题意.所以a的所有可能值形成的集合为.故选：A.6．已知全集，集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【点拨】根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以，又，所以；故选：C7．设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【点拨】图中阴影部分对应的集合为，即可得到答案.【详解】因为，，所以图中阴影部分对应的集合为故选：D8．已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【点拨】根据集合求得，再根据题意即可求得参数的范围.【详解】因为，故可得或，因为，，故可得.故选：C.9．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．【答案】172【点拨】画出韦恩图求解即可.【详解】，（人．故答案为：17210．设集合，集合中所有元素之和为，则实数的取值集合为：____．【答案】【点拨】解一元二次方程确定集合中可能的元素，由并集的定义、集合的互异性及已知条件确定值．【详解】解一元二次方程可得，，且，当，或时，结合集合的互异性，满足中所有元素之和为，否则由，解得：，综上可得，实数的取值范围是．故答案为：．11．已知集合，则的元素个数为___________.【答案】5【点拨】直接求出集合A、B，再求出，即可得到答案.【详解】因为集合，集合，所以，所以的元素个数为5.故答案为：5.12．某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有___________人.【答案】5【点拨】设三类课程都选择参加的学生有x人，由题意得，解方程可求得结果【详解】设三类课程都选择参加的学生有x人，由题意得，解得.故答案为：513．设，，已知，求a的值.【答案】-3【点拨】根据，分和，讨论求解.【详解】解：因为，，且，所以当时，解得，此时，不符合题意；当时，解得或，若，则，不成立；若，则，成立；所以a的值为-3.14．已知集合，，全集.求：(1)；(2).【答案】(1)(2)=【点拨】（1）先求得集合A，根据交集运算的概念，即可得答案.（2）先求得集合A的补集，根据并集运算的概念，即可得答案.【详解】(1)由，解得，，；(2)，，=15．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.【答案】(1)A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2}(2){a|a<8}【点拨】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.【详解】(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}.∵＝{x|x<2或x>8}，∴∩B＝{x|1<x<2}.(2)∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可，∴a<8.∴a的取值范围为{a|a<8}.16．（1）已知全集，集合={}，={}，求（分别用描述法和列举法表示结果）；（2）已知全集，若集合，求集合；（3）已知集合，当集合只有一个元素时，求实数的值，并求出这个元素.【答案】（1），；（2）；（3），元素为.【点拨】（1）根据补集和交集的定义直接计算作答.（2）利用补集的定义直接计算作答.（3）利用元素与集合的关系推理计算作答.【详解】（1）由，={}，得：或，而，所以.（2）由，，得，所以.（3）当时，，不符合题意，当时，因集合P只有一个元素，则方程有等根，，此时，集合中的元素为，所以，这个元素是.三维练素养三维练素养1．设全集且，，若，，则这样的集合共有（

）A．个 B．个C．个 D．个【答案】D【点拨】先求出全集，再求出集合的子集即为，再进行补集运算可得集合，进而可得正确选项.【详解】且，的子集有，，，，，，，，的子集有个，，所以有个，因为，所以存在一个即有一个相应的，所以，，，，，，，有个，故选：D.2．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”．给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，，且是“复活集”，则；③若，，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的命题个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【点拨】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.【详解】对于①，，故①正确；对于②，不妨设，则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，由，可得或，故②错；对于③，不妨设中，由得，当时，即有，，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确；对于④，当时，，故只能，，求得，于是“复活集”只有一个，为，当时，由，即有，也就是说“复活集”存在的必要条件是，事实上，矛盾，当时不存在“复活集”，故④正确.故选：C3．设集合，则下列说法一定正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则有4个元素D．若，则【答案】D【点拨】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.【详解】（1）当时，，；（2）当时，，；（3）当时，，；（4）当时，，；综上可知A，B，C，不正确，D正确故选：D4．（多选题）设集合是实数集的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合的聚点，则下列集合中，1为该集合的聚点的有（

）A． B．C． D．整数集Z【答案】ABC【点拨】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断.【详解】解：对于A，因为集合中的元素是极限为的数列，所以对于任意，都存在，使得成立，所以为集合的聚点，故正确；对于B，因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项与之间的距离均小于，所以对任意，都存在，使得的x，所以为集合的聚点，故正确；对于C，对任意，都存在，使得成立，那所以为集合的聚点，故正确；对于D，对任意，如，对任意的整数，都有或成立，不可能有成立，所以不是集合整数集Z的聚点，故错误；故选：ABC5．（多选题）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【点拨】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.【详解】当时，，即，此时，符合题意，当时，，即，由可得或，因为，所以或，可得或，因为，所以，所以实数的取值范围为或，所以选项ABC正确，选项D不正确；故选：ABC.6．已知集合，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为________．【答案】3【点拨】由集合定义，及交集补集定义即可求得.【详解】由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为．又，，，即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3故答案为：3.7．设集合，，若，则实数的取值范围是______.【答案】【点拨】根据并集求解参数的范围即可.【详解】根据题意，.故答案为.8．我们将称为集合的“长度”．若集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值为______．【答案】2021【点拨】对的取值进行分类讨论，结合“长度”的定义求得集合的“长度”的最小值.【详解】由题意得，的“长度”为2022，的“长度”为2023，要使的“长度”最小，则，分别在的两端．当，时，得，，则，此时集合的“长度”为；当，时，，，则，此时集合的“长度”为．故的“长度”的最小值为2021．故答案为：9．已知集合，集合A中的元素，，定义为，，中的最小值，记为：．（1）若，，，则____________；（2）若，为集合A中的元素，且，则n的取值范围为____________．【答案】

【点拨】（1）由题意求得，的值，然后计算其差值即可；（2）将原问题进行等价转化，然后分类讨论即可求得实数n的取值范围．【详解】解：（1）由题意可得：，，则．（2）由题意可得：，则：或，由可得或，由可得或，即当或时，，由可得或，由可得或，即当或时，或，综上可得，实数n的取值范围是．故答案为：；．10．已知集合.(1)当时，求集合;(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2)【点拨】（1）由题知，再根据集合交集，补集运算求解即可；（2）由题知，再分和两种情况讨论求解即可.【详解】(1)解：集合，当时，，所以或所以.(2)因为，所以，①当时，，解得，此时②当时，应满足，解得，此时综上，的取值范围是11．已知集合.(1)求，；(2)若，且AC，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【点拨】（1）解不等式求得集合，由此求得，进而求得.（2）根据是的子集列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】(1)，所以，所以.(2)由于，且AC，所以，所以的取值范围是.12．对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称