人教版五年级数学下册 4-3最大公因数和约分 同步拓展讲与练+奥数培优（无答案）

最大公因数和约分学问引入：一、最大公因数1.公因数与最大公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。2.求最大公因数的方法找最大公因数方法：列举法、分解质因数法（公有质因数的积）、短除法（除数相乘）（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出最大的一个。例如：8和128的因数（）；12的因数（）；8和12的公因数（）；8和12的最大公因数是（）。（2）分解质因数法：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。例如：①16和4016分解质因数（）；40分解质因数（）16和40的最大公因数就是公有质因数的积（）。②32和4832分解质因数（）；48分解质因数（）；32和48的最大公因数是（）。（3）短除法：把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把全部的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。例如：①24和36的最大公因数是（）。②45和15最大公因数是（）。（4）特殊状况①当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。②两个数只有公因数1时，它们的最大公因数也是1。互质数3.公因数只有1的两个数的最大公因数是1，这两个数叫做互质数。（表示两个数的关系）1和任意非0的自然数是互质数。2和任何奇数都是互质数。互质数的特殊状况相邻的两个非零自然数是互质数。相邻的两个奇数是互质数。不相同的两个质数是互质数。一个合数与一个质数是互质数（合数是质数的倍数除外）。二、约分1.约分的意义和依据：（1）约分的依据：分数的基本性质（约分前后分数的大小不变）（2）约分的意义：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。2.约分方法：（1）逐步约分法：用分数的分子和分母公有的质因数逐步去除分子和分母，直到得出一个最简分数。（2）一次约分法：用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，就得到最简分数。最简分数的意义：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。巩固练习：1.推断。（1）两个合数的最大公因数不能是1。（）（2）两个数的公因数的个数是有限的。（）（3）甲数和乙数都是它们的最大公因数的倍数。（）（4）最小质数和最小合数的最大公因数是1。（）（5）最简分数的分子和分母没有公因数。（）（6）由于24÷3=8，所以24和3的最大公因数是8。（）（7）两个数的最大公因数是1，那么这两个数肯定都是质数。（）（8）奇数和奇数的最大公因数肯定是1。（）2.求最大公因数。48和2818和1925和4054和723.先约分，再比较每组中两个分数的大小。和和4.把下面各分数化成最简分数。5.约分后从小到大排序。、、、、6.选择。（1）甲数和乙数两个非零自然数，甲数是乙数的8倍，甲、乙两数的最大公因数是（）。A、甲数B、乙数C、8D、无法确定（2）下列各项中，两个数的最大公因数是1的是（）。A、一个奇数和一个偶数B、一个质数和一个合数C、两个不同的奇数D、两个不同的质数（3）两个不同的质数的积肯定是（）。A、奇数B、偶数C、公因数D、合数7.填空。（1）9的因数有（），18的因数有（），9和18的公因数有（），其中最大的公因数是（）。（2）16的因数有（），24的因数有（），16和24的公因数有（），其中最大的公因数是（）。（3）4和14的最大公因数是（）；10和25的最大公因数是（）；54和72的最大公因数是（）；15和45的最大公因数是（）；（4）的分子和分母的最大公因数是（）；的分子和分母的最大公因数是（）；的分子和分母的最大公因数是（）；的分子和分母的最大公因数是（）；的分子和分母的最大公因数是（）；的分子和分母的最大公因数是（）；（5）A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公因数是（）。（6）a÷b=13（a，b不为0），那么a和b的最大公因数是（）。（7）A和B是两个相邻的非零自然数，它们的最大公因数是（）。（8）全部非0的自然数的公因数是（）。（9）全部非0偶数的最大公因数是（）。（10）一个分数约分后，分数大小（）。（11）的分子和分母最大公因数是（），化成最简分数是（）。（12）分母是10的全部最简真分数的和是（）。（13）一个最简真分数，分子和分母的积是8，这个分数是（）。（14）一个最简真分数分子和分母的和是9，这样的最简真分数有（）个。（15）一个最简真分数，它的分子和分母的积是36，这个数可以是（）。（16）45min=（）h28㎝=（）m220dm2=（）m28.按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。两个数都是合数：（）和（）两个数都是奇数：（）和（）一个偶数和一个奇数：（）和（）9.解答题。（1）用一个数去除10、20、80，都能整除，这个数可以是多少？（2）一个数除200余4，除300余6，除500余10，求这个数最大是多少？A、B、C三个数，A和B的最大公因数是15，B和C的最大公因数是9，A、B、C的最大公因数是多少？（4）铁匠师傅要把一张长是18dm，宽是12dm的长方形铁皮裁成若干同样大小的小正方形，怎样裁能使得到的小正方形最大，又不会铺张材料？（5）一个分数用2约分一次，用3约分一次，用5约分一次，得到最终结果是，这个分数原来是多少？（6）用下面两种花搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能扎多少束？48朵36朵（7）同学们去野餐，把42瓶矿泉水和30瓶可乐平均分给几个小组，正好分完，最多可以分给几个小组？每个小组分得两种饮料各多少瓶？（8）水果店预备用200个橙子，120个火龙果，480个芒果装水果篮，最多可分成多少份同样的水果篮？在每个水果蓝中，三种水果各多少个？奥数思维拓展（一）：解决有关三个数最大公因数的实际问题1.渗透两种数学思想：推理思想、转化思想。2.学习两类思维方法：分析法、筛选法。思维提升：[例]用60元可以买一级茶叶144克或者买二级茶叶180克或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少钱？[分析]由于144克以及茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克以及茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶分装的袋数应当相同，即分装的袋数应当是144,180,240的公因数。当每袋的价格最低时，分装的袋数应最多，就需求出144,180,240的最大公因数。[解答]144的因数：1，2,3,4,6,8,9，12，16,18,24,36,48,72,144圈出180和240的因数，所以144,180,240的公因数是1,2,3,4,6,12，最大公因数是12。所以60元的茶叶最多分装成12袋。[技巧]解决公因数问题，通常先求出几个数的最大公因数，再依据已知信息求出问题答案。举一反三：1.将长为25分米，宽为20分米，高为15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的正方体，不能有剩余，每个正方体的棱长是多少分米，一共可以锯成多少块？2.小伴侣们用60朵玫瑰花、48朵菊花、36朵天堂鸟做花束。假如每束花中的玫瑰、菊花、天堂鸟的朵数都相等且没有剩余，最多可以做多少束花？每束花中的玫瑰、菊花和天堂鸟各有多少朵？3.有三根铁丝，长度分别为120厘米，180厘米和300厘米，现在要把它们截成长度相等的小段，且不能剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？奥数思维拓展（二）：用转化法解决分数问题1.渗透两种数学思想：推理思想、化归思想。2.学习两类思维方法：转化法、综合法。思维提升：[例]一个分数，分子比分母少18，约分后是，原来这个分数是多少？[分析]首先从约分后的分数入手，一个分数约分后大小不变，分子和分母的倍数关系不变，通过约分后的分数可以发觉，分母比分子多3，由于分子比分母少18，所以可以利用差倍问题的解法先求出分子、分母缩