专题05概率初步（续）（考点串讲）高二数学下学期期末考点大串讲（2020选修）

高二沪教版数学下册期末考点大串讲串讲05概率初步（续）01020403目

录易错易混题型剖析考点透视押题预测九大易错易混经典例题4道期末真题对应考点练五大重难点题型典例剖析+技巧总结五大常考点：知识梳理考点透视知识梳理2．离散型随机变量的分布列(1)定义设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1,2，…，n)，记作：____________________________①.或把上式列成下表Xx1x2…xnPp1p2…pn上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)(2)求随机变量的分布列的步骤①明确随机变量X的取值；②准确求出X取每一个值时的概率；③列成表格的形式．(3)离散型随机变量分布列的性质①pi＞0，i＝1,2，…，n.②___________________.p1＋p2＋…＋pn＝1(2)意义：均值刻画的是X取值的平均水平，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度．方差越小，则随机变量的取值与其均值的偏离程度________．越小例1在5道题中有3道物理题和2道化学题.如果不放回地依次抽取2道题,求:(1)第1次抽到物理题的概率;(2)第1次和第2次都抽到物理题的概率;(3)在第1次抽到物理题的条件下,第2次抽到物理题的概率.题型一：条件概率与全概率公式题型剖析解

设“第1次抽到物理题”为事件A,“第2次抽到物理题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到物理题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的样本点数为方法技巧条件概率的求解策略

例2某学生的课本丢失,落在宿舍中的概率为60%,在这种情况下找到的概率为98%;落在教室里的概率为25%,在这种情况下找到的概率为50%;落在路上的概率为15%,在这种情况下找到的概率为20%.求:(1)该学生找到课本的概率;(2)在找到的条件下,课本在宿舍中找到的概率.(保留三位有效数字)解

设“课本落在宿舍”为事件B1,“课本落在教室”为事件B2,“课本落在路上”为事件B3,“找到课本”为事件A,则Ω=B1∪B2∪B3,(1)P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=98%×60%+50%×25%+20%×15%=0.743.例3某公司招聘员工,先由两位专家面试,若这两位专家都同意通过,则通过初审并予以录用;若这两位专家都未同意通过,则未通过初审并不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为,获得复审专家通过的概率为,各专家评审的结果相互独立.(1)求某应聘人员被录用的概率.(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.题型二：二项分布方法技巧解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在随机变量服从二项分布时才能应用,否则不能应用.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.例4网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去A网购物,掷出点数小于5的人去B网购物,且参加者必须从A网和B网选择一家购物.(1)求这4个人中恰有1人去A网购物的概率;(2)用ξ,η分别表示这4个人中去A网和B网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列.题型三：超几何分布方法技巧解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.(2)在超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出随机变量X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列.例5一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字).(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和,求η的分布列.(2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E(ξ),D(ξ).题型四：离散型随机变量的分布列、均值和方差故η的分布列为

方法技巧求离散型随机变量的均值与方差的步骤

例6设X~N(10,1).(1)证明:P(1≤X≤2)=P(18≤X≤19).(2)设P(X≤2)=a,求P(10≤X≤18).(1)证明因为X~N(10,1),所以正态曲线f(x)关于直线x=10对称,而区间(1,2)和(18,19)关于直线x=10对称,故P(1≤X≤2)=P(18≤X≤19).题型五：正态分布的概率方法技巧正态分布的概率求法(1)利用“3σ”原则,记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)利用数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,因此常结合图象,利用对称性,解决某一区间内的概率.解析易错点01混淆“条件概率”与“交事件的概率”易错易混解析②易错点02对离散型随机变量的概念理解不清致误解解析A易错点03对题意理解不清易错点04求随机变量的均值时因分布列不准确致误解析B易错点05错用公式致误解解析B易错点06对二项分布理解不透彻致误解析0.896易错点07对“至少”与“至多”理解不清致误易错点08容易混淆二项分布和超几何分布解易错点09错用正态曲线的对称性1.（2023春•长宁区校级期末）设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现从这两个罐子中各摸1个球进行交换，那么这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为

．

押题预测

3.（2023春•普陀区校级期末）设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X≤1)=0.2，则P(X＜3)=_____．【解析】解：随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X≤1)=P(X≥3)=0.2，故P(X＜3)=1-P(X≥3)=1-0.2=0.8．故答案为：0.8．0.84.（2023春•普陀区校级期末）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：h)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．(1)求频率分布直方图中实数a,b的值；【解析】解：(1)由(b+0.22)×0.5×100=30，解得b=0.38，∵0.5×(0.14+a+0.42+0.58+0.38+0.22)=1，解得a=0.26．(2)每天学习时间在[6.0，6.5)的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电